Bessel関数の積の級数表示と積分表示
Bessel関数は
\begin{align}
J_a(z)&:=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+a+1)}\left(\frac z2\right)^{2m+a}\\
&=\frac 1{\Gamma(a+1)}\left(\frac z2\right)^a\F01{-}{a+1}{-\frac{z^2}4}
\end{align}
によって定義される. まず, 2つのBessel関数の積は以下のようになる.
\begin{align} J_{\mu}(z)J_{\nu}(z)&=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m\Gamma(\mu+\nu+2m+1)}{m!\Gamma(\mu+\nu+m+1)\Gamma(\mu+m+1)\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac z2\right)^{\mu+\nu+2m} \end{align}
前の記事
の定理3より,
\begin{align}
J_{\mu}(z)J_{\nu}(z)&=\frac 1{\Gamma(\mu+1)\Gamma(\nu+1)}\left(\frac z2\right)^{\mu+\nu}\F01{-}{\mu+1}{-\frac{z^2}4}\F01{-}{\nu+1}{-\frac{z^2}4}\\
&=\frac 1{\Gamma(\mu+1)\Gamma(\nu+1)}\left(\frac z2\right)^{\mu+\nu}\F23{\frac{\mu+\nu+1}2,\frac{\mu+\nu+2}2}{\mu+1,\nu+1,\mu+\nu+1}{-z^2}\\
&=\left(\frac z2\right)^{\mu+\nu}\sum_{0\leq m}\frac{(\mu+\nu+1)_{2m}}{m!\Gamma(\mu+m+1)\Gamma(\nu+m+1)(\mu+\nu+1)_m}\left(-\frac{z^2}4\right)^m\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m\Gamma(\mu+\nu+2m+1)}{m!\Gamma(\mu+\nu+m+1)\Gamma(\mu+m+1)\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac z2\right)^{\mu+\nu+2m}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
\begin{align} J_{\mu}(z)J_{\nu}(z)&=\frac 2{\pi}\int_0^{\frac{\pi}2}J_{\mu+\nu}(2z\cos\theta)\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta \end{align}
Cauchyによるベータ積分
\begin{align}
\int_0^{\frac{\pi}2}\cos^{\mu+\nu+2m}\theta\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta&=\frac{\pi\Gamma(\mu+\nu+2m+1)}{2^{\mu+\nu+2m+1}\Gamma(\mu+m+1)\Gamma(\nu+m+1)}
\end{align}
と定理1より,
\begin{align}
J_{\mu}(z)J_{\nu}(z)&=\frac{2}{\pi}\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^mz^{\mu+\nu+2m}}{m!\Gamma(\mu+\nu+m+1)}\int_0^{\frac{\pi}2}\cos^{\mu+\nu+2m}\theta\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta\\
&=\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}2}J_{\mu+\nu}(2z\cos\theta)\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta\\
\end{align}
となって示すべきことが得られる.
特に$\mu=\nu$のとき, 以下の公式を得る.
\begin{align} J_{\nu}(z)^2&=\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}2}J_{2\nu}(2z\cos\theta)\,d\theta \end{align}
特に$\nu$が整数のとき, これはNeumannによって示された積分表示である.
変形Bessel関数
変形Bessel関数は
\begin{align}
I_{\nu}(z)&=\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!\Gamma(\nu+n+1)}\left(\frac z2\right)^{2n+\nu}
\end{align}
と定義される. これはBessel関数を用いて
\begin{align}
I_{\nu}(z)&=i^{-\nu}J_{\nu}(iz)
\end{align}
と表されるので, 定理1, 定理2を変形Bessel関数に書き換えることができる. それは以下のようになる.
\begin{align} I_{\mu}(z)I_{\nu}(z)&=\sum_{0\leq m}\frac{\Gamma(\mu+\nu+2m+1)}{m!\Gamma(\mu+\nu+m+1)\Gamma(\mu+m+1)\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac z2\right)^{\mu+\nu+2m} \end{align}
\begin{align} I_{\mu}(z)I_{\nu}(z)&=\frac 2{\pi}\int_0^{\frac{\pi}2}I_{\mu+\nu}(2z\cos\theta)\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta \end{align}
