超幾何関数の積

\begin{align} e^{-x}\F11{a}{b}{x}&=\sum_{0\leq n}(-x)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(a)_k}{k!(b)_k(n-k)!} \end{align}
ここで, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align} \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(a)_k}{k!(b)_k(n-k)!}=\frac{(b-a)_n}{(b)_n} \end{align}
であるから定理を得る.

定理1より左辺は偶関数であるから, 奇数次の項がない. よって,
\begin{align} &e^{-\frac x2}\F11{a}{2a}{x}\\ &=\sum_{0\leq n}x^{2n}\sum_{k=0}^{2n}\frac{(a)_{2n-k}}{(-2)^kk!(2n-k)!(2a)_{2n-k}} \end{align}
ここで,
\begin{align} &\sum_{k=0}^{2n}\frac{(a)_{2n-k}}{(-2)^kk!(2n-k)!(2a)_{2n-k}}\\ &=\frac{(a)_{2n}}{(2n)!(2a)_{2n}}\F21{-2n,1-2n-2a}{1-2n-a}{\frac 12} \end{align}
ここで, Gaussの第二定理
\begin{align} \F21{a,b}{\frac{a+b+1}2}{\frac 12}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)} \end{align}
より,
\begin{align} \F21{-2n,1-2n-2a}{1-2n-a}{\frac 12}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(1-2n-a\right)}{\Gamma\left(\frac{1}2-n\right)\Gamma\left(1-n-a\right)}\\ &=\frac{\left(\frac 12,a\right)_n}{(a)_{2n}} \end{align}
である. よって,
\begin{align} &e^{-\frac x2}\F11{a}{2a}{x}\\ &=\sum_{0\leq n}x^{2n}\frac{\left(\frac 12,a\right)_n}{(2n)!(2a)_{2n}}\\ &=\F01{-}{a+\frac 12}{\frac{x^2}{16}} \end{align}
となって示される.

まず,
\begin{align} &\F01{-}{a}{x}\F01{-}{b}{x}\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!(a)_k(n-k)!(b)_{n-k}} \end{align}
である. ここで, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!(a)_k(n-k)!(b)_{n-k}}\\ &=\frac 1{n!(b)_n}\F21{1-n-b,-n}{a}{1}\\ &=\frac 1{n!(b)_n}\frac{(a+b+n-1)_n}{(a)_n}\\ &=\frac{4^n\left(\frac{a+b-1}2,\frac{a+b}2\right)_n}{n!(a,b,a+b-1)_n} \end{align}
となって示される.

奇数次の項が$0$なので,
\begin{align} &\F11{a}{b}{x}\F11{a}{b}{-x}\\ &=\sum_{0\leq n}x^{2n}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{(a)_k}{k!(b)_k}\frac{(a)_{2n-k}}{(2n-k)!(b)_{2n-k}} \end{align}
ここで,
\begin{align} &\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{(a)_k}{k!(b)_k}\frac{(a)_{2n-k}}{(2n-k)!(b)_{2n-k}}\\ &=\frac{(a)_{2n}}{(2n)!(b)_{2n}}\F32{-2n,a,1-2n-b}{1-2n-a,b}{1} \end{align}
である. Dixonの和公式
\begin{align} \F32{a,b,c}{1+a-b,1+a-c}{1}&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(1+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)} \end{align}
において$a\to -2n$として,
\begin{align} \F32{-2n,b,c}{1-2n-b,1-2n-c}{1}&=\frac{\Gamma(1-2n-b)\Gamma(1-2n-c)\Gamma\left(1-n-b-c\right)}{\Gamma\left(1-n-b\right)\Gamma\left(1-n-c\right)\Gamma(1-2n-b-c)}\lim_{a\to -2n}\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)}{\Gamma(1+a)}\\ &=\frac{\Gamma(1-2n-b)\Gamma(1-2n-c)\Gamma\left(1-n-b-c\right)}{\Gamma\left(1-n-b\right)\Gamma\left(1-n-c\right)\Gamma(1-2n-b-c)}(-1)^n\frac{(2n)!}{n!} \end{align}
$b\mapsto 1-2n-b,c\mapsto a$として,
\begin{align} &\F32{-2n,a,1-2n-b}{1-2n-a,b}{1}\\ &=\frac{\Gamma(b)\Gamma(1-2n-a)\Gamma\left(b+n-a\right)}{\Gamma\left(b+n\right)\Gamma\left(1-n-a\right)\Gamma(b-a)}(-1)^n\frac{(2n)!}{n!}\\ &=\frac{(a,b-a)_n}{(a)_{2n}(b)_n}\frac{(2n)!}{n!} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\F11{a}{b}{x}\F11{a}{b}{-x}\\ &=\sum_{0\leq n}x^{2n}\frac{(a,b-a)_n}{n!(b)_n(b)_{2n}}\\ &=\F23{a,b-a}{b,\frac b2,\frac{b+1}2}{\frac{x^2}{4}} \end{align}

定理2と定理3より,
\begin{align} \F11{a}{2a}{x}\F11{b}{2b}{-x}&=\F01{-}{a+\frac 12}{\frac{x^2}{16}}\F01{-}{b+\frac 12}{\frac{x^2}{16}}\\ &=\F23{\frac{a+b}2,\frac{a+b+1}2}{a+\frac 12,b+\frac 12,a+b}{\frac{x^2}4} \end{align}
である.

左辺は偶関数より, 奇数次の項がない. よって,
\begin{align} \F02{-}{a,b}{x}\F02{-}{a,b}{-x}&=\sum_{0\leq n}x^{2n}\sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^k}{k!(a,b)_k(n-k)!(a,b)_{n-k}}\\ &=\sum_{0\leq n}x^{2n}\frac{1}{(2n)!(a,b)_{2n}}\F32{-2n,1-2n-a,1-2n-b}{a,b}{1} \end{align}

ここで, 定理3の証明に用いた等式,
\begin{align} \F32{-2n,b,c}{1-2n-b,1-2n-c}{1}&=(-1)^n\frac{\Gamma(1-2n-b)\Gamma(1-2n-c)\Gamma\left(1-n-b-c\right)}{\Gamma\left(1-n-b\right)\Gamma\left(1-n-c\right)\Gamma(1-2n-b-c)}\frac{(2n)!}{n!} \end{align}
を用いると,
\begin{align} \F32{-2n,1-2n-a,1-2n-b}{a,b}{1}&=(-1)^n\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(a+b+3n-1\right)}{\Gamma\left(a+n\right)\Gamma\left(b+n\right)\Gamma(a+b+2n-1)}\frac{(2n)!}{n!}\\ &=(-1)^n\frac{(a+b-1)_{3n}}{(a,b)_n(a+b-1)_{2n}}\frac{(2n)!}{n!}\\ \end{align}
である. よって,
\begin{align} \F02{-}{a,b}{x}\F02{-}{a,b}{-x}&=\sum_{0\leq n}(-1)^nx^{2n}\frac{(a+b-1)_{3n}}{n!(a,b)_n(a,b,a+b-1)_{2n}}\\ &=\F38{\frac{a+b-1}3,\frac{a+b}3,\frac{a+b+1}3}{a,b,\frac a2,\frac {a+1}2,\frac b2,\frac{b+1}2,\frac{a+b-1}2,\frac{a+b}2}{-\frac{27}{64}x^2} \end{align}
となって示される.