2F1に関するKummerの定理, Gaussの第二定理, Baileyの定理

超幾何級数のEuler積分表示より,
\begin{align} \F21{a,b}{1+a-b}{-1}&=\frac{\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(1-b)}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{-b}(1+x)^{-b}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(1-b)}\int_0^1x^{a-1}(1-x^2)^{-b}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(1-b)}\frac{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma(1-b)}{\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)} \end{align}
と示される.

超幾何級数のEuler積分表示において, $t\mapsto 1-t$と変数変換すると
\begin{align} \F21{a,b}{c}{x}&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt\\ &=(1-x)^{-a}\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1t^{c-b-1}(1-t)^{b-1}\left(1-\frac{x}{x-1}t\right)^{-a}\,dt\\ &=(1-x)^{-a}\F21{a,c-b}{c}{\frac{x}{x-1}} \end{align}
となって示される.

Pfaffの変換公式より,
\begin{align} \F21{a,b}{\frac{a+b+1}2}{\frac 12}&=2^a\F21{a,\frac{1+a-b}{2}}{\frac{a+b+1}2}{-1} \end{align}
ここで, Kummerの定理とLegendreの倍角公式を用いると,
\begin{align} \F21{a,\frac{1+a-b}2}{\frac{a+b+1}2}{-1}&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)}{2^a\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)} \end{align}
となって示される.

Pfaffの変換公式より,
\begin{align} \F21{a,1-a}{c}{\frac 12}&=2^a\F21{a+c-1,a}{c}{-1} \end{align}
ここで, Kummerの定理とLegendreの倍角公式を用いて,
\begin{align} \F21{a+c-1,a}{c}{-1}&=\frac{\Gamma\left(\frac{a+c+1}2\right)\Gamma(c)}{\Gamma(a+c)\Gamma\left(\frac{1+c-a}2\right)}\\ &=2^{-a}\frac{\Gamma\left(\frac{c}2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+c-a}2\right)} \end{align}
となるから定理を得る.