Whippleの3F2和公式, 6F5和公式
\begin{align} \F32{a,1-a,c}{e,1+2c-e}1&=2^{1-2c}\pi\frac{\Gamma(e)\Gamma(1+2c-e)}{\Gamma\left(\frac{e+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+e-a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-e+a}2\right)\Gamma\left(1+c-\frac{e+a}2\right)} \end{align}
まず,
Thomaeの${}_3F_2$変換公式
\begin{align}
\F32{a,b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-a-b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(d+e-a-b)\Gamma(d+e-a-c)}\F32{d-a,e-a,d+e-a-b-c}{d+e-a-b,d+e-a-c}1
\end{align}
より,
\begin{align}
\F32{a,1-a,c}{e,1+2c-e}{1}&=\frac{\Gamma(e)\Gamma(1+2c-e)\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(1+c-a)\Gamma(2c)}\F32{e-a,1+2c-e-a,c}{1+c-a,2c}1
\end{align}
ここで,
Watsonの${}_3F_2$和公式
より,
\begin{align}
\F32{e-a,1+2c-e-a,c}{1+c-a,2c}1&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma(1+c-a)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma(a)}{\Gamma\left(\frac{e-a+1}2\right)\Gamma\left(1+c-\frac {e+a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-e+a}2\right)\Gamma\left(\frac{e+a}2\right)}
\end{align}
であるから, これを代入して, Legendreの倍角公式$\Gamma(c)\Gamma\left(c+\frac 12\right)=2^{1-2c}\sqrt{\pi}\Gamma(2c)$を用いて整理すると,
\begin{align}
\F32{a,1-a,c}{e,1+2c-e}{1}&=\frac{\Gamma(e)\Gamma(1+2c-e)\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(1+c-a)\Gamma(2c)}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma(1+c-a)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma(a)}{\Gamma\left(\frac{e-a+1}2\right)\Gamma\left(1+c-\frac {e+a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-e+a}2\right)\Gamma\left(\frac{e+a}2\right)}\\
&=2^{1-2c}\pi\frac{\Gamma(e)\Gamma(1+2c-e)}{\Gamma\left(\frac{e+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+e-a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-e+a}2\right)\Gamma\left(1+c-\frac{e+a}2\right)}
\end{align}
を得る.
\begin{align} &\F65{a,1+\frac a2,b,1-b,c,1-c}{\frac a2, 1+a-b,a+b,1+a-c,a+c}{-1}\\ &=2^{1-2a}\pi\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)\Gamma(a+c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a)\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{a+b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{2+a-b-c}2\right)}\\ \end{align}
$N$を非負整数として, Whippleの${}_7F_6$変換公式
\begin{align}
&\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N}1\\
&=\frac{(1+a,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e)_N}\F43{1+a-b-c,d,e,-N}{1+a-b,1+a-c,d+e-N-a}1
\end{align}
において$N\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\F65{a,1+\frac a2,b,c,d,e}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e}{-1}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)}\F32{1+a-b-c,d,e}{1+a-b,1+a-c}1
\end{align}
を得る. よってWhippleの${}_3F_2$和公式より,
\begin{align}
&\F65{a,1+\frac a2,b,1-b,c,1-c}{\frac a2,1+a-b,a+b,1+a-c,a+c}{-1}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(a+c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(a)}\F32{a,c,1-c}{1+a-b,a+b}1\\
&=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(a+c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(a)}2^{1-2a}\pi\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma\left(\frac{a+b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{2+a-b-c}2\right)}\\
&=2^{1-2a}\pi\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)\Gamma(a+c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a)\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{a+b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{2+a-b-c}2\right)}\\
\end{align}
となって示される.
Whippleは以下のような和公式も示している.
\begin{align} &\F65{a,1+\frac a2,c,1+a-2c,d,1+2a-2c-d}{\frac a2,1+a-c,2c,1+a-d,2c+d-a}{-1}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(2c+d-a)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{d+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-d}2\right)\Gamma\left(1+a-c-\frac d2\right)\Gamma\left(2c-a+\frac d2\right)} \end{align}
定理2の証明で用いたWhippleの変換公式より,
\begin{align}
&\F65{a,1+\frac a2,c,1+a-2c,d,1+2a-2c-d}{\frac a2,1+a-c,2c,1+a-d,2c+d-a}{-1}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(2c+d-a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(2c-a)}\F32{c,d,1+2a-2c-d}{1+a-c,2c}{1}
\end{align}
である. ここで,
Watsonの${}_3F_2$和公式
より,
\begin{align}
&\F32{c,d,1+2a-2c-d}{1+a-c,2c}{1}\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(2c-a\right)}{\Gamma\left(\frac{d+1}2\right)\Gamma\left(1+a-c-\frac d2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-d}2\right)\Gamma\left(2c-a+\frac d2\right)}
\end{align}
これを代入して定理を得る.
