Thomae, Kummerによる3F2の二項変換公式

$1+a+b+c=d+e+f+n$として, Whippleの${}_4F_3$変換公式
\begin{align} \F43{a,b,c,-n}{d,e,f}1=\frac{(e-a,f-a)_n}{(e,f)_n}\F43{a,d-b,d-c,-n}{d,1-n+a-e,1-n+a-f}1 \end{align}
において, $n,f$以外の変数を固定して$n\to\infty$とすることによって示される.

ベータ積分により,
\begin{align} \F32{a,b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(e)}{\Gamma(c)\Gamma(e-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(d)_n}\int_0^1x^{n+c-1}(1-x)^{e-c-1}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(e)}{\Gamma(c)\Gamma(e-c)}\int_0^1x^{c-1}(1-x)^{e-c-1}\F21{a,b}dx\,dx \end{align}
ここで, Eulerの変換公式
\begin{align} \F21{a,b}dx=(1-x)^{d-a-b}\F21{d-a,d-b}dx \end{align}
より,
\begin{align} &\frac{\Gamma(e)}{\Gamma(c)\Gamma(e-c)}\int_0^1x^{c-1}(1-x)^{e-c-1}\F21{a,b}dx\,dx\\ &=\frac{\Gamma(e)}{\Gamma(c)\Gamma(e-c)}\int_0^1x^{c-1}(1-x)^{d+e-a-b-c-1}\F21{d-a,d-b}dx\,dx\\ &=\frac{\Gamma(e)}{\Gamma(c)\Gamma(e-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(d-a,d-b)_n}{n!(d)_n}\int_0^1x^{n+c-1}(1-x)^{d+e-a-b-c-1}dx\,dx\\ &=\frac{\Gamma(e)\Gamma(d+e-a-b-c)}{\Gamma(e-c)\Gamma(d+e-a-b)}\F32{d-a,d-b,c}{d,d+e-a-b}1 \end{align}
となって示される.