え！！ 『極限不使用』で『絶対収束級数』を！？
ということで、極限を用いずに絶対収束級数とその値を定義付けることができるのでやってきます。
この記事においては$\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$です。
極限が使えないことの影響は
『有限個の項に対しては総和が計算できること』
『$\mathbb{R}$の空でない有界部分集合は上限と下限を持つ』
の二つに押し付けていきます。
集合$X$に対して、$X$の有限部分集合の全体を$P^*(X)$と書く。
実数列$\{a_n\}_{n=1}^\infty$に対して以下は同値
- $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$が絶対収束する
- $A=\{\sum\limits_{n\in F}a_n\ |\ F\in P^*(\mathbb{N})\}$が有界集合 (ただし$F= \varnothing $の場合は$\sum\limits_{n\in F}a_n=0$と定める)
【(1)$\Rightarrow$(2)】
$\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|=M$とする。
この時任意の$F\in P^*(\mathbb{N})$に対して$|\sum\limits_{n\in F}a_n|\leq\sum\limits_{n\in F}|a_n|\leq\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|=M$となるため$A$は有界である。
【(2)$\Rightarrow$(1)】
$A\subset[-R,R]$となる$R\gt0$を取る。
$N\in\mathbb{N}$を任意に取る。
$F=\{n\in\{1,2,...,N\}\ |\ a_n\gt0\},G=\{n\in\{1,2,...,N\}\ |\ a_n\lt0\}$と定めると、
$\sum\limits_{n=1}^N|a_n|=\sum\limits_{n\in F}a_n-\sum\limits_{n\in G}a_n\leq R-(-R)=2R$となるため$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$は絶対収束する。$\square$
$\{a_n\}_{n=1}^\infty$を実数列とし、$\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n|\lt\infty$とする。$A=\{\sum\limits_{n\in F}a_n\ |\ F\in P^*(\mathbb{N})\}$とする。
この時$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sup A+\inf A,\ \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|=\sup A-\inf A$である。
$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\alpha,\ \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|=M$とする。$S=\{n\in\mathbb{N}\ |\ a_n\gt0\},\ T=\{n\in\mathbb{N}\ |\ a_n\lt0\}$と定める。
$\varepsilon\gt0$を任意に取る。
ある$F_0\in P^*(S),\ G_0\in P^*(T)$が存在して、任意の$F\in P^*(S),\ G\in P^*(T)$に対して$F_0\subset F,\ G_0\subset G$ならば$\sum\limits_{n\in F}a_n\gt\sup A-\frac{\varepsilon}{3}, \sum\limits_{n\in G}a_n\lt\inf A+\frac{\varepsilon}{3}$となる。
$N_0\geq\max(F_0\cup G_0)$が存在して、任意の$N\in\mathbb{N}$に対して、$N\geq N_0$ならば$|\alpha-\sum\limits_{n=1}^N a_n|\lt\frac{\varepsilon}{3},\ \sum\limits_{n=1}^N |a_n|\gt M-\frac{\varepsilon}{3}$となる。
$F=\{n\in\{1,2,...,N_0\}\ |\ a_n\gt0\},G=\{n\in\{1,2,...,N_0\}\ |\ a_n\lt0\}$とする。
この時$F_0\subset F,\ G_0\subset G,\ \sum\limits_{n=1}^{N_0} a_n=\sum\limits_{n\in F}a_n+\sum\limits_{n\in G}a_n,\ \sum\limits_{n=1}^{N_0} |a_n|=\sum\limits_{n\in F}a_n-\sum\limits_{n\in G}a_n$であるから
$|\alpha-(\sup A+\inf A)|=|(\alpha-\sum\limits_{n=1}^{N_0} a_n)+(\sum\limits_{n\in F}a_n-\sup A)+(\sum\limits_{n\in G}a_n-\inf A)|\leq|\alpha-\sum\limits_{n=1}^{N_0} a_n|+(\sup A-\sum\limits_{n\in F}a_n)+(\sum\limits_{n\in G}a_n-\inf A)\lt\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon$
$|M-(\sup A-\inf A)|=|(M-\sum\limits_{n=1}^{N_0} |a_n|)+(\sum\limits_{n\in F}a_n-\sup A)-(\sum\limits_{n\in G}a_n-\inf A)|\leq(M-\sum\limits_{n=1}^{N_0} |a_n|)+(\sup A-\sum\limits_{n\in F}a_n)+(\sum\limits_{n\in G}a_n-\inf A)\lt\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon$
となる。
よって示された。$\square$
上記2つの命題によって、実数の絶対収束級数の定義は以下のように言い換えられます。
$\{a_n\}_{n=1}^\infty$を実数列とする。
この時『$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$が絶対収束する$\Leftrightarrow A=\{\sum\limits_{n\in F}a_n\ |\ F\in P^*(\mathbb{N})\}$が有界集合』で、$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$が絶対収束する時$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sup A+\inf A$である。
複素数列についても、実軸と虚軸に射影してから上限・下限を取れば良いので、次のようになります。
$\{a_n\}_{n=1}^\infty$を複素数列とする。
この時『$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$が絶対収束する$\Leftrightarrow A=\{\sum\limits_{n\in F}a_n\ |\ F\in P^*(\mathbb{N})\}$が有界集合』で、$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$が絶対収束する時$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=(\sup\Re A+\inf\Re A)+i(\sup\Im A+\inf\Im A)$である。
おまけ
$\{\sum\limits_{n\in F}a_n\ |\ F\in P^*(\mathbb{N})\}$をよく見ると、『別に添え字集合が高々可算な集合である必要はない』ことが分かります。
しかし絶対収束を考える分には高々可算な集合を考えれば十分であることが、次の命題で示せます。
$\Lambda$を適当な無限集合とし、$\lambda\in\Lambda$に対して$a_\lambda$を実数とする。
この時$A=\{\sum\limits_{\lambda\in F}a_\lambda\ |\ F\in P^*(\Lambda)\}$が有界集合ならば、高々可算個の$\lambda\in\Lambda$を除いて$a_\lambda=0$である。
$\varepsilon\gt0$とする。
$\Lambda^+_\varepsilon=\{\lambda\in\Lambda\ |\ a_\lambda\geq\varepsilon\}$と定めると、$A$が有界であることから$\Lambda^+_\varepsilon$は有限集合である。
(もし$\Lambda^+_\varepsilon$が無限集合になるならば、$\sum\limits_{\lambda\in F}a_\lambda$を際限なく大きくすることができるため矛盾する。)
同様に$\Lambda^-_\varepsilon=\{\lambda\in\Lambda\ |\ a_\lambda\leq-\varepsilon\}$も有限集合である。
従って$\{\lambda\in\Lambda\ |\ a_\lambda\neq0\}=\bigcup\limits_{n=1}^\infty (\Lambda^+_{\frac{1}{n}}\cup \Lambda^-_{\frac{1}{n}})$は高々加算集合である。$\square$
おわり
