1変数多重ポリログの双対性の連結和法による証明
\begin{align}
L(e_{z_1}e_0^{k_1-1}\cdots e_{z_r}e_0^{k_r-1}):=(-1)^r\sum_{0=n_0< n_1<\cdots< n_r}\prod_{i=1}^r\frac{z_r^{n_{i-1}-n_i}}{n_i^{k_i}}
\end{align}
とする. このとき, 以下の結果が知られている.
$e_0,e_1,e_z$からなるwordに対する反自己同型$\tau$を
\begin{align}
\tau(e_0):=e_z-e_1,\tau(e_1)=e_z-e_0,\tau(e_z)=e_z
\end{align}
によって定めると, 収束する範囲で$e_0,e_1,e_z$からなるword $w$に対して
\begin{align}
L(w)=L(\tau(w))
\end{align}
が成り立つ.
$x:=e_0, y_0:=-e_{1/z}, y_1:=e_{1/z}-e_1$とすると,
\begin{align}
\tau(x)&=y_1, \tau(y_0)=y_0, \tau(y_1)=x
\end{align}
となる. これを用いると,
\begin{align}
L(y_{\mu_1}x^{k_1-1}\cdots y_{\mu_r}x^{k_r-1})=\sum_{0=n_0< n_1<\cdots< n_r}\prod_{i=1}^r\frac{\mu_i+(-1)^{\mu_i}z^{n_i-n_{i-1}}}{n_i^{k_i}}
\end{align}
と書くことができる.
以下, この定理の連結和法を用いたYamamotoによる証明を紹介する. まず, 一つ超幾何級数に関する補題を用意する.
\begin{align} \F21{a,b}{c}{z}&=\F21{a,b+1}{c}{z}-\frac{a}cz\F21{a+1,b+1}{c+1}z\\ (c-a)\F21{a,b}{c+1}z&=c\F21{a,b}{c}{z}-a\F21{a+1,b}{c+1}z \end{align}
\begin{align}
\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}&=\frac{(a,b+1)_n}{n!(c)_n}-\frac ac\frac{(a+1,b+1)_{n-1}}{(n-1)!(c+1)_{n-1}}\\
(c-a)\frac{(a,b)_n}{n!(c+1)_n}&=c\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}-a\frac{(a+1,b)_n}{n!(c+1)_n}
\end{align}
であるからこれらに$z^n$を掛けて足し合わせればよい.
これらは超幾何級数の隣接関係式と呼ばれる関係式の例である.
コネクターを
\begin{align}
C(m,n):=\frac{m!n!}{(m+n)!}\F21{m,n}{m+n+1}z
\end{align}
として, 連結和を
\begin{align}
&Z(y_{\mu_1}x^{k_1-1}\cdots y_{\mu_r}x^{k_r-1};y_{\nu_1}x^{l_1-1}\cdots y_{\nu_s}x^{l_s-1})\\
&:=\sum_{\substack{0=m_0< m_1<\cdots< m_r\\0=n_0< n_1<\cdots< n_s}}\left(\prod_{i=1}^r\frac{\mu_i+(-1)^{\mu_i}z^{m_i-m_{i-1}}}{m_i^{k_i}}\right)C(m_r,n_s)\left(\prod_{j=1}^s\frac{\nu_j+(-1)^{\nu_j}z^{n_j-n_{j-1}}}{n_j^{l_j}}\right)
\end{align}
によって定義する. このとき, 以下が成り立つ
$w,v$を$y_0$または$y_1$から始まり, $x,y_0,y_1$からなるwordとするとき,
\begin{align}
Z(wy_0;v)&=Z(w;vy_0)\\
Z(wy_1;v)&=Z(w;vx)
\end{align}
が成り立つ.
これらは輸送関係式(transport relations)と呼ばれるもので, これらが示されれば境界条件$Z(w;\varnothing)=Z(\varnothing;w)=L(w)$によって定理1が従うことが分かる. 輸送関係式と境界条件から具体的にどのように定理が従うかについては, 多重ゼータ値の双対性の連結和法による証明 が参考になるかもしれない.
1つ目の等式は
\begin{align}
\sum_{m< a}\frac{z^{a-m}}aC(a,n)=\sum_{n< b}\frac{z^{b-n}}{b}C(m,b)
\end{align}
を示せばよい. これは補題1の1つ目の等式を用いると,
\begin{align}
\sum_{m< a}\frac{z^{a-m}}aC(a,n)&=\sum_{m< a}z^{a-m}\frac{(a-1)!n!}{(a+n)!}\F21{a,n}{a+n+1}z\\
&=\sum_{m< a}z^{a-m}\frac{(a-1)!n!}{(a+n)!}\left(\F21{a,n+1}{a+n+1}z-\frac{a}{a+n+1}z\F21{a+1,n+1}{a+n+2}z\right)\\
&=\sum_{m< a}\left(z^{a-m}\frac{(a-1)!n!}{(a+n)!}\F21{a,n+1}{a+n+1}z-z^{a+1-m}\frac{a!n!}{(a+n+1)!}\F21{a+1,n+1}{a+n+2}z\right)\\
&=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}z\F21{m+1,n+1}{m+n+2}z
\end{align}
が$m,n$に関して対称であることから示される. 次に, 2つ目の等式は
\begin{align}
\sum_{m< a}\frac{1-z^{a-m}}aC(a,n)&=\frac 1nC(m,n)
\end{align}
を示せばよい. 補題1の2つ目の等式を用いると,
\begin{align}
\sum_{m< a}\frac 1aC(a,n)&=\sum_{m< a}\frac{(a-1)!n!}{(a+n)!}\F21{a,n}{a+n+1}z\\
&=\sum_{m< a}\frac{(a-1)!(n-1)!}{(a+n)!}\left((a+n)\F21{a,n}{a+n}z-a\F21{a+1,n}{a+n+1}z\right)\\
&=\sum_{m< a}\left(\frac{(a-1)!(n-1)!}{(a+n-1)!}\F21{a,n}{a+n}z-\frac{a!(n-1)!}{(a+n)!}\F21{a+1,n}{a+n+1}z\right)\\
&=\frac{m!(n-1)!}{(m+n)!}\F21{m+1,n}{m+n+1}z
\end{align}
である. よって先ほどの等式と合わせて,
\begin{align}
\sum_{m< a}\frac{1-z^{a-m}}{a}C(a,n)&=\frac{m!(n-1)!}{(m+n)!}\F21{m+1,n}{m+n+1}z-\frac{m!n!}{(m+n+1)!}z\F21{m+1,n+1}{m+n+2}z\\
&=\frac{m!(n-1)!}{(m+n)!}\F21{m,n}{m+n+1}z\\
&=\frac 1nC(m,n)
\end{align}
となって示される. ここで2つ目の等号は補題1による.
特に
\begin{align}
T(k_1,\dots,k_r;z):=L(y_1x^{k_1-1}\cdots y_1x^{k_r-1})
\end{align}
とすると, $\bk$の双対インデックス$\bk$に対して,
\begin{align}
T(\bk;z)&=T(\bk^{\dagger};z)
\end{align}
が成り立つことが分かる. 特に, $z=-1$としたもの
\begin{align}
T(\bk)=T(\bk;-1)
\end{align}
は多重$T$値と呼ばれているlevel2の多重ゼータ値である. その場合のコネクターは
\begin{align}
\frac{m!n!}{(m+n)!}\F21{m,n}{m+n+1}{-1}
\end{align}
である. これがKaneko-Tsumuraによって示されている等式
\begin{align}
1-\sum_{0< a,b}T(\{1\}^{a-1},b+1)x^ay^b&=\frac{\Gamma(1-x)\Gamma(1-y)}{\Gamma(1-x-y)}\F21{-x,-y}{1-x-y}{-1}
\end{align}
の右辺に負の整数を入れたものと一致しているのは偶然ではなさそうである.
