ポンスレ束について

$P=[p_1:p_2:p_3], Q=[q_1:q_2:q_3]$とすると, $PQ', P'Q$の方程式はそれぞれ次のように表せる.
$$ PQ': \begin{vmatrix} p_1 & p_2 & p_3 \\ a^2q_2q_3 & b^2q_3q_1 & c^2q_1q_2 \\ x & y & z \\ \end{vmatrix} =0 $$
$$ P'Q: \begin{vmatrix} q_1 & q_2 & q_3 \\ a^2p_2p_3 & b^2p_3p_1 & c^2p_1p_2 \\ x & y & z \\ \end{vmatrix} =0 $$

上の2式を連立して, $Y=\left [y_1:y_2:y_3\right]$とすると, 次を得る.
\begin{align*} & y_1=(b^2p_1q_1-a^2p_2q_2)(a^2p_3q_3-c^2p_1q_1)(p_3q_2-p_2q_3)\\ & y_2=(c^2p_2q_2-b^2p_3q_3)(b^2p_1q_1-a^2p_2q_2)(p_1q_3-p_3q_1)\\ & y_3=(a^2p_3q_3-c^2p_1q_1)(c^2p_2q_2-b^2p_3q_3)(p_2q_1-p_1q_2)\\ \end{align*}

$Y$の等角共役は,
$ Y'=\left[\dfrac{a^2(c^2p_2q_2-b^2p_3q_3)}{p_3q_2-p_2q_3}:\dfrac{b^2(a^2p_3q_3-c^2p_1q_1)}{p_1q_3-p_3q_1}:\dfrac{c^2(b^2p_1q_1-a^2p_2q_2)}{p_2q_1-p_1q_2}\right] $ である.

このとき,
$$ \begin{vmatrix} y_1' & y'_2 & y'_3 \\ p_1 & p_2 & p_3 \\ q_1 & q_2 & q_3 \\ \end{vmatrix} =0, \ \ \ \begin{vmatrix} y'_1 & y'_2 & y'_3 \\ a^2p_2p_3 & b^2p_3p_1 & c^2p_1p_2 \\ a^2q_2q_3 & b^2q_3q_1 & c^2q_1q_2 \\ \end{vmatrix} =0 $$
であるから, 3点$Y',P,Q$と$Y',P',Q'$はそれぞれ共線. よって$X=Y'$より主張は従う.

重心座標において等角共役は$[x:y:z]\mapsto [a^2yz:b^2zx:c^2xy]$と表現できる. $m$の方程式を$px+qy+rz=0$とすれば, $m$の像は$pa^2yz+qb^2zx+rc^2xy=0$と表せ, これは円錐曲線の形なのでよい.

外接円上の点の等角共役は無限遠点であるから, 円$ABC$と$l$の共有点の個数と$l$の像が通る無限遠点の個数が一致する.

逆も同様なので, (1)$\Rightarrow$(2)のみ示す.
$C$を通りABに垂直な直線が$\mathcal{H}$と再び交わる点を$D$とし, $\mathcal{H}$の漸近線方向の無限遠点を$E,F$とする.
$H=AB\cup DE, K=CD\cup FA$として6点$A,B,C,D,E,F$にパスカルの定理を用いると, $KH\parallel BC$を得る.
$K$は三角形$ADH$の垂心なので, $AD\perp BC$を得る. よって, $D$は三角形$ABC$の垂心であり, 主張は示された.

$PQ$の等角共役を$\mathcal{H}$とし, $\mathcal{H}$と円$ABC$の第4の交点を$D$と定める.
次の3ステップに分けて主定理を証明する.
(1) $\mathcal{H}$の中心は$DH$の中点
(2) $P',Q'$はそれぞれ$Q,P$におけるシムソン線方向の無限遠点
(3) $P,Q$におけるシムソン線は$DH$の中点を通る

はじめに(1)を示す. 三角形$BCD$の垂心を$H_1$とすると, 補題4よりこれは$\mathcal{H}$上にある.
$BC$について$H,H_1$と対称な点はそれぞれ円$ABC$上にあるから, $AHH_1D$は平行四辺形である. よって, $D,H$は$\mathcal{H}$の中心について対称な点とわかるので主張は従う.
(1)の証明

次に(2)を示す. $Q$を通り$BC$に垂直な直線と円$ABC$が再び交わる点を$R$とすると, 『シムソン線であそぼう！』 の命題3より, $AR$は$Q$におけるシムソン線に平行である. 一方, $AP$と$AR$は$\angle A$の二等分線について対称なので, $P'$は$Q$におけるシムソン線方向の無限遠点である. 同様にして, $Q'$は$P$におけるシムソン線方向の無限遠点であることも言えるので, 主張は示された.

最後に(3)を示す. $P,Q$に補題2を用いると, $X=PQ\cap P'Q'$と$Y=PQ'\cap P'Q$は互いに等角共役である. $X$は$PQ$方向の無限遠点であるから, $Y=D$を得る. よって, $PD,QD$は$P,Q$におけるシムソン線にそれぞれ平行である. 一方, 『シムソン線であそぼう！』 の命題4より, $P,Q$におけるシュタイナー線は定点$H$を通る. よって, $P,Q$におけるシムソン線は$DH$の中点を通るので, これは漸近線に他ならない. 以上より主定理は示された.
漸近線など