フーリエ級数展開でζ(3)をつついてみる。

こんにちは。今回は前回のやつのおまけ的なもので、フーリエ級数展開で$\zeta(3)$をつついてみるお話です。もちろん、この方法ではうまく求められません。しかし、実際に計算しているところを見たことがないので記事にしました。ではやっていきましょう！

本題

今回、$f(x)=x^3,T=2\pi$でフーリエ級数展開する。
このとき、
\begin{align*} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x^3dx\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{16}{4}\pi^4\\ &=4\pi^3 \end{align*}
また、$a_k$と$b_k$は部分積分を繰り返すことで次の様に計算できる。
\begin{align*} a_k&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x^3\cos(kx)dx\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{12}{k^2}\pi^2\\ &=\frac{12}{k^2}\pi\\ b_k&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x^3\sin(kx)dx\\ &=\frac{1}{\pi}\left(\frac{12}{k^3}\pi-\frac{8}{k^2}\pi^3\right)\\ &=\frac{12}{k^3}-\frac{8}{k}\pi^2 \end{align*}
以上より、
\begin{align*} x^3&=2\pi^3+\sum_{k=1}^{\infty}\cos(kx)\cdot\frac{12}{k^2}\pi+\sin(kx)\left(\frac{12}{k^3}-\frac{8}{k}\pi^2\right) \end{align*}
ここで、$x=\pi$とか、$x=0$とすると大事なところが消えてしまうので、$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$として悪あがきをしましょう。級数を$\cos$の項と$\sin$の項で分けます。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{12}{k^2}\pi\cos\frac{k\pi}{2} \end{align*}
このとき、$\displaystyle \cos\frac{k\pi}{2}$は$k$が奇数のときに$0$となるため、偶数のときのみを考える。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{12}{k^2}\pi\cos\frac{k\pi}{2}&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{12}{(2k)^2}\pi\cos(k\pi)\\ &=-3\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\\ &=-\frac{3}{2}\pi\zeta(2)\\ &=-\frac{\pi^3}{4} \end{align*}
$\sin$の項は、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\sin\frac{k\pi}{2}\left(\frac{12}{k^3}-\frac{8}{k}\pi^2\right) \end{align*}
このとき、$\sin\frac{k\pi}{2}$は$k$が偶数のときに$0$となるため、奇数のときのみを考える。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\sin\frac{k\pi}{2}\left(\frac{12}{k^3}-\frac{8}{k}\pi^2\right)&=\sum_{k=1}^{\infty}\sin\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)\left(\frac{12}{(2k-1)^3}-\frac{8}{2k-1}\pi^2\right)\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}-\cos(k\pi)\left(\frac{12}{(2k-1)^3}-\frac{8}{2k-1}\pi^2\right)\\ &=12\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^3}-8\pi^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\\ &=12\beta(3)-8\pi^2\beta(1) \end{align*}
ここで、$\displaystyle\beta(1)=\frac{\pi}{4}\:,\:\beta(3)=\frac{\pi^3}{32}$を用いると
\begin{align*} 12\beta(3)-8\pi\beta(1)&=\frac{3}{8}\pi^3-2\pi^3 \end{align*}
これを右辺と合わせると、
\begin{align*} \frac{\pi^3}{8}&=2\pi^3-\frac{\pi^3}{4}+\frac{3}{8}\pi^3-2\pi^3\\ \frac{\pi^3}{8}&=\frac{\pi^3}{8} \end{align*}
む、$\zeta(3)$の元がディリクレのベータ関数に巻き取られて定数と化していました。このせいで$\zeta(3)$はうまく計算できていないんですね。なぜこれじゃうまくいかないのかが知れて大満足です。ほな、さいなら！