N以下の素数の個数の下限について（素数定理ではない）

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こんにちは。突然ですが、素数定理の初等的証明がエルデシュとセルバーグによって得られているのは、結構有名な話ではないかと思います。（下記wikipedia参照） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
もしかすると、私が今回与える証明も似た議論になっている可能性はあります。私はエルデシュとセルバーグの証明の中身までは知らないので何とも言えませんが、そちらを参照されるのもいいかと思います。私が以下で与える証明はあくまで、下限の評価であり、素数定理の証明ではないことに注意してください。

任意の自然数 $m$ に対し、
$1 + \frac{1}{2} + \dots \frac{1}{m} \leq 1 + \log m$

$\frac{1}{x}$ の $1$ から $m$ までの積分に $1$ を加えればよい。

自然数

N

以下の素数の個数の下限

$π (N)$ を $N$ 以下の素数の個数とすると、
$\frac{\log N!}{\log N (1 + \log \log N)} \leq π (N)$
となる。

$p$ を任意の素数、 $N$ を任意の自然数とする。このとき自然数 $n$ があり、
$p^{n} \leq N \leq p^{n + 1}$
$n \leq \frac{\log N}{\log p} \leq n + 1$
である。 $N!$ が $p$ で割れる回数を $t_{p}$ とおくと、補題より、
$t_{p} = ⌊ \frac{\log N}{\log p} ⌋ + ⌊ \frac{\log N}{2 \log p} ⌋ + \dots + ⌊ \frac{\log N}{n \log p} ⌋$
$\leq \frac{\log N}{\log p} (1 + \dots + \frac{1}{n})$
$\leq \frac{\log N}{\log p} (1 + \log \frac{\log N}{\log p})$
$\leq \frac{\log N}{\log p} (1 + \log \log N)$
$N$ 以下の素数の個数を $π (N)$ とおくと、
$\log N! = \sum_{すべての素数} t_{p} \log p$
$\leq \sum_{すべての素数} \log N (1 + \log \log N) = π (N) \log N (1 + \log \log N)$
したがって、
$\frac{\log N!}{\log N (1 + \log \log N)} \leq π (N)$