N以下の素数の個数の下限について（素数定理ではない）
こんにちは。突然ですが、素数定理の初等的証明がエルデシュとセルバーグによって得られているのは、結構有名な話ではないかと思います。（下記wikipedia参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
もしかすると、私が今回与える証明も似た議論になっている可能性はあります。私はエルデシュとセルバーグの証明の中身までは知らないので何とも言えませんが、そちらを参照されるのもいいかと思います。私が以下で与える証明はあくまで、下限の評価であり、素数定理の証明ではないことに注意してください。
任意の自然数$m$に対し、
$$
1+\frac{1}{2}+\dots \frac{1}{m}\leq 1 + \log m
$$
$\frac{1}{x}$の$1$から$m$までの積分に$1$を加えればよい。
$\pi(N)$を$N$以下の素数の個数とすると、
$$
\frac{\log N!}{\log N (1+\log \log N)} \leq\pi(N)
$$
となる。
$p$を任意の素数、$N$を任意の自然数とする。このとき自然数$n$があり、
$$
p^n\leq N \leq p^{n+1}
$$
$$
n \leq \frac{\log N}{\log p} \leq n+1
$$
である。$N!$が$p$で割れる回数を$t_p$とおくと、補題より、
$$
t_p=\lfloor \frac{\log N}{\log p} \rfloor +\lfloor \frac{\log N}{2\log p} \rfloor +\dots +\lfloor \frac{\log N}{n\log p} \rfloor
$$
$$
\leq \frac{\log N}{\log p}(1+\dots +\frac{1}{n})
$$
$$
\leq \frac{\log N}{\log p}(1 +\log \frac{\log N}{\log p})
$$
$$
\leq\frac{\log N}{\log p}(1 +\log \log N)
$$
$N$以下の素数の個数を$\pi(N)$とおくと、
$$
\log N! =\sum_{すべての素数} t_p\log p
$$
$$
\leq \sum_{すべての素数} \log N(1 +\log \log N) =\pi(N)\log N(1 +\log \log N)
$$
したがって、
$$
\frac{\log N!}{\log N (1+\log \log N)} \leq\pi(N)
$$
証明は以上になります。私は解析学をほとんど知らないのでこれ以上先には進めませんが、スターリングの公式などを使ってガチャガチャしたらもう少し見やすい表式が得られるかもしれません。最後まで読んでいただきありがとうございました。
