この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。
以下、X を位相空間とします。
1. X 上の空間 位相空間 Y と写像 p:Y→X の組 (Y, p) が X 上の空間であるとは p が連続であることをいう。
2. X 上の被覆 X 上の空間 (Y, p) がX 上の被覆であるとは次の条件 (1), (2) を満たすことをいう:(1) 任意の x∈X に対して x の近傍 V と Y の開集合の族 {Ui}i∈I が存在してp−1(V)=⋃i∈IUi, Ui∩Uj=∅(i≠j)となる。(2) (1) の各 i∈I に対して p の Ui への制限は Ui から V への同相写像である。
この V を X における x の被覆近傍、Ui を Y における V のシートと呼ぶ。
3. X 上同型 (Y1, p1), (Y2, p2) を X 上の空間とする。(Y1, p1) と (Y2, p2) が X 上同型であるとは、同相写像 f:Y1→Y2 が存在して p1=p2∘f となることをいう。このとき、(Y1, p1)≃X(Y2, p2) と書く。この f を X 上 (Y1, p1) から (Y2, p2) への同型写像と呼ぶ。
Y1fp1Y2p2↻X
X 上の被覆 (Y, p) に対して以下が成り立つ:(1) p:Y→X は開写像である。よって被覆近傍は常に X の開集合である。(2) 任意の x∈X に対してファイバー p−1(x) は Y の部分空間として離散位相空間である。
I を離散位相空間、p:X×I→X を射影とする。このとき (X×I, p) は X 上の被覆である。これをX 上の自明な被覆という。
実際に (X×I, p) は X 上の被覆であることを示す。任意の x∈X をとる。X は x の近傍であり、p−1(X)=X×I=⋃i∈I(X×{i}) となる。Ui:=X×{i} とおくと Ui は X×I の開集合であり、p の Ui への制限は Ui から X への同相写像である。また i≠j ならば Ui∩Uj=∅ である。したがって X は X における x の被覆近傍である。
自明な被覆では X 自身が任意の x∈X に対する被覆近傍である。
局所的に自明な被覆であることは被覆の特徴づけになります。次の命題は参考文献 [1] Proposition 2.1.3 を参考にさせていただきました。
X 上の空間 (Y, p) に対して次は同値である。(1) (Y, p) は X 上の被覆である。(2) 任意の x∈X に対して x の近傍 V と V 上の自明な被覆 (V×I, q) が存在して (p−1(V), p)≃X(V×I, q) となる。
(1)⟹(2) ファイバー p−1(x) (x∈X) を例 1 の I として採用する。(2)⟹(1) 任意の x∈X に対して、X における x の被覆近傍は自明な被覆を経由することによって得られる。
(1)⟹(2) x∈X をとる。(Y, p) は X 上の被覆であるから、x の被覆近傍 V と V のシートの族 {Ui}i∈I が存在する。I に離散位相を入れ、pi:Ui→V×I, u↦(p(u), i)と定めると pi は連続かつ開写像である。f:⋃i∈IUi→V×Iを f(u)=pi(u) と定める。ただし i は u∈Ui となる i∈I である。Ui∩Uj=∅ (i≠j) であるから f は矛盾なく定義される。f が同相写像であることを示す。まず全単射であることと連続であることは f が各 pi の貼り合わせ( 命題 6.12 (連続写像の貼り合わせ) )であることからしたがう。f−1 が連続であることを示す。W を ⋃i∈IUi の開集合とするとf(W)=f(W∩⋃i∈IUi)=⋃i∈If(W∩Ui)=⋃i∈Ipi(W∩Ui)となる。pi は開写像であるから pi(W∩Ui) は V×I の開集合である。よって f−1 は連続である。
(2)⟹(1) 任意の x∈X をとる。このとき、x の近傍 V と V 上の自明な被覆 (V×I, q) が存在して (p−1(V), p)≃X(V×I, q) となる。f:p−1(V)→V×I をこの同型写像とする。V は X における x の近傍であるから x∈U⊂V となるような X の開集合 U が存在する。q−1(U)=⋃i∈I(U×{i}) であるから、Ui:=U×{i} とおくと p−1(U)=⋃i∈If−1(Ui) となる。f−1(Ui) は p−1(U) の開集合であるから Y の開集合である。また、f−1(Ui)∩f−1(Uj)=∅ (i≠j) である。よって U は x の X における被覆近傍、{f−1(Ui)}i∈I は U の Y におけるシートの族である。
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