文献あり

被覆について

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被覆

　この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

　以下、 $X$ を位相空間とします。

$1.$ $X$ 上の空間
　位相空間 $Y$ と写像 $p : Y \to X$ の組 $(Y, p)$ が $X$ 上の空間であるとは $p$ が連続であることをいう。

$2.$ $X$ 上の被覆
　 $X$ 上の空間 $(Y, p)$ が $X$ 上の被覆であるとは次の条件 $(1), (2)$ を満たすことをいう：
$(1)$ 任意の $x \in X$ に対して $x$ の近傍 $V$ と $Y$ の開集合の族 ${U_{i}}_{i \in I}$ が存在して
$p^{- 1} (V) = ⋃_{i \in I} U_{i}, U_{i} \cap U_{j} = \emptyset (i \neq j)$
となる。
$(2)$ $(1)$ の各 $i \in I$ に対して $p$ の $U_{i}$ への制限は $U_{i}$ から $V$ への同相写像である。

　この $V$ を $X$ における $x$ の被覆近傍、 $U_{i}$ を $Y$ における $V$ のシートと呼ぶ。

$3.$ $X$ 上同型
　 $(Y_{1}, p_{1}), (Y_{2}, p_{2})$ を $X$ 上の空間とする。 $(Y_{1}, p_{1})$ と $(Y_{2}, p_{2})$ が $X$ 上同型であるとは、同相写像 $f : Y_{1} \to Y_{2}$ が存在して $p_{1} = p_{2} \circ f$ となることをいう。このとき、 $(Y_{1}, p_{1}) ≃_{X} (Y_{2}, p_{2})$ と書く。この $f$ を $X$ 上 $(Y_{1}, p_{1})$ から $(Y_{2}, p_{2})$ への同型写像と呼ぶ。

$Y_{1} f p_{1} Y_{2} p_{2} ↻ X$

　 $X$ 上の被覆 $(Y, p)$ に対して以下が成り立つ：
$(1)$ $p : Y \to X$ は開写像である。よって被覆近傍は常に $X$ の開集合である。
$(2)$ 任意の $x \in X$ に対してファイバー $p^{- 1} (x)$ は $Y$ の部分空間として離散位相空間である。

　 $I$ を離散位相空間、 $p : X \times I \to X$ を射影とする。このとき $(X \times I, p)$ は $X$ 上の被覆である。これを $X$ 上の自明な被覆という。

Memo

　実際に $(X \times I, p)$ は $X$ 上の被覆であることを示す。任意の $x \in X$ をとる。 $X$ は $x$ の近傍であり、 $p^{- 1} (X) = X \times I = ⋃_{i \in I} (X \times {i})$ となる。 $U_{i} := X \times {i}$ とおくと $U_{i}$ は $X \times I$ の開集合であり、 $p$ の $U_{i}$ への制限は $U_{i}$ から $X$ への同相写像である。また $i \neq j$ ならば $U_{i} \cap U_{j} = \emptyset$ である。したがって $X$ は $X$ における $x$ の被覆近傍である。

Note

　自明な被覆では $X$ 自身が任意の $x \in X$ に対する被覆近傍である。

　局所的に自明な被覆であることは被覆の特徴づけになります。次の命題は参考文献 [1] Proposition 2.1.3 を参考にさせていただきました。

　 $X$ 上の空間 $(Y, p)$ に対して次は同値である。
$(1)$ $(Y, p)$ は $X$ 上の被覆である。
$(2)$ 任意の $x \in X$ に対して $x$ の近傍 $V$ と $V$ 上の自明な被覆 $(V \times I, q)$ が存在して $(p^{- 1} (V), p) ≃_{X} (V \times I, q)$ となる。

概略

$(1) ⟹ (2)$
　ファイバー $p^{- 1} (x) (x \in X)$ を例 1 の $I$ として採用する。
$(2) ⟹ (1)$
　任意の $x \in X$ に対して、 $X$ における $x$ の被覆近傍は自明な被覆を経由することによって得られる。

詳細

$(1) ⟹ (2)$
　 $x \in X$ をとる。 $(Y, p)$ は $X$ 上の被覆であるから、 $x$ の被覆近傍 $V$ と $V$ のシートの族 ${U_{i}}_{i \in I}$ が存在する。 $I$ に離散位相を入れ、
$p_{i} : U_{i} \to V \times I, u \mapsto (p (u), i)$
と定めると $p_{i}$ は連続かつ開写像である。
$f : ⋃_{i \in I} U_{i} \to V \times I$
を $f (u) = p_{i} (u)$ と定める。ただし $i$ は $u \in U_{i}$ となる $i \in I$ である。 $U_{i} \cap U_{j} = \emptyset (i \neq j)$ であるから $f$ は矛盾なく定義される。 $f$ が同相写像であることを示す。まず全単射であることと連続であることは $f$ が各 $p_{i}$ の貼り合わせ（命題 6.12 (連続写像の貼り合わせ) ）であることからしたがう。 $f^{- 1}$ が連続であることを示す。 $W$ を $⋃_{i \in I} U_{i}$ の開集合とすると
$f (W) = f (W \cap ⋃_{i \in I} U_{i}) = ⋃_{i \in I} f (W \cap U_{i}) = ⋃_{i \in I} p_{i} (W \cap U_{i})$
となる。 $p_{i}$ は開写像であるから $p_{i} (W \cap U_{i})$ は $V \times I$ の開集合である。よって $f^{- 1}$ は連続である。

$(2) ⟹ (1)$
　任意の $x \in X$ をとる。このとき、 $x$ の近傍 $V$ と $V$ 上の自明な被覆 $(V \times I, q)$ が存在して $(p^{- 1} (V), p) ≃_{X} (V \times I, q)$ となる。 $f : p^{- 1} (V) \to V \times I$ をこの同型写像とする。 $V$ は $X$ における $x$ の近傍であるから $x \in U \subset V$ となるような $X$ の開集合 $U$ が存在する。 $q^{- 1} (U) = ⋃_{i \in I} (U \times {i})$ であるから、 $U_{i} := U \times {i}$ とおくと $p^{- 1} (U) = ⋃_{i \in I} f^{- 1} (U_{i})$ となる。 $f^{- 1} (U_{i})$ は $p^{- 1} (U)$ の開集合であるから $Y$ の開集合である。また、 $f^{- 1} (U_{i}) \cap f^{- 1} (U_{j}) = \emptyset (i \neq j)$ である。よって $U$ は $x$ の $X$ における被覆近傍、 ${f^{- 1} (U_{i})}_{i \in I}$ は $U$ の $Y$ におけるシートの族である。