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大学数学基礎解説
文献あり

被覆について

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被覆

 この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

 以下、X を位相空間とします。

1. X 上の空間
 位相空間 Y と写像 p:YX の組 (Y, p)X 上の空間であるとは p が連続であることをいう。


2. X 上の被覆
 X 上の空間 (Y, p)X 上の被覆であるとは次の条件 (1), (2) を満たすことをいう:
(1) 任意の xX に対して x の近傍 VY の開集合の族 {Ui}iI が存在して
p1(V)=iIUi, UiUj=(ij)
となる。
(2) (1) の各 iI に対して pUi への制限は Ui から V への同相写像である。

 この VX における x の被覆近傍UiY における V のシートと呼ぶ。


3. X 上同型
 (Y1, p1), (Y2, p2)X 上の空間とする。(Y1, p1)(Y2, p2)X 上同型であるとは、同相写像 f:Y1Y2 が存在して p1=p2f となることをいう。このとき、(Y1, p1)X(Y2, p2) と書く。この fX(Y1, p1) から (Y2, p2) への同型写像と呼ぶ。

Y1fp1Y2p2X

 X 上の被覆 (Y, p) に対して以下が成り立つ:
(1) p:YX は開写像である。よって被覆近傍は常に X の開集合である。
(2) 任意の xX に対してファイバー p1(x)Y の部分空間として離散位相空間である。

 I を離散位相空間、p:X×IX を射影とする。このとき (X×I, p)X 上の被覆である。これをX 上の自明な被覆という。


Memo

 実際に (X×I, p)X 上の被覆であることを示す。任意の xX をとる。Xx の近傍であり、p1(X)=X×I=iI(X×{i}) となる。Ui:=X×{i} とおくと UiX×I の開集合であり、pUi への制限は Ui から X への同相写像である。また ij ならば UiUj= である。したがって XX における x の被覆近傍である。


Note

 自明な被覆では X 自身が任意の xX に対する被覆近傍である。

 局所的に自明な被覆であることは被覆の特徴づけになります。次の命題は参考文献 [1] Proposition 2.1.3 を参考にさせていただきました。

 X 上の空間 (Y, p) に対して次は同値である。
(1) (Y, p)X 上の被覆である。
(2) 任意の xX に対して x の近傍 VV 上の自明な被覆 (V×I, q) が存在して (p1(V), p)X(V×I, q) となる。

概略

(1)(2)
 ファイバー p1(x) (xX) を例 1 の I として採用する。
(2)(1)
 任意の xX に対して、X における x の被覆近傍は自明な被覆を経由することによって得られる。

詳細

(1)(2)
 xX をとる。(Y, p)X 上の被覆であるから、x の被覆近傍 VV のシートの族 {Ui}iI が存在する。I に離散位相を入れ、
pi:UiV×I, u(p(u), i)
と定めると pi は連続かつ開写像である。
f:iIUiV×I
f(u)=pi(u) と定める。ただし iuUi となる iI である。UiUj= (ij) であるから f は矛盾なく定義される。f が同相写像であることを示す。まず全単射であることと連続であることは f が各 pi の貼り合わせ( 命題 6.12 (連続写像の貼り合わせ) )であることからしたがう。f1 が連続であることを示す。WiIUi の開集合とすると
f(W)=f(WiIUi)=iIf(WUi)=iIpi(WUi)
となる。pi は開写像であるから pi(WUi)V×I の開集合である。よって f1 は連続である。

(2)(1)
 任意の xX をとる。このとき、x の近傍 VV 上の自明な被覆 (V×I, q) が存在して (p1(V), p)X(V×I, q) となる。f:p1(V)V×I をこの同型写像とする。VX における x の近傍であるから xUV となるような X の開集合 U が存在する。q1(U)=iI(U×{i}) であるから、Ui:=U×{i} とおくと p1(U)=iIf1(Ui) となる。f1(Ui)p1(U) の開集合であるから Y の開集合である。また、f1(Ui)f1(Uj)= (ij) である。よって UxX における被覆近傍、{f1(Ui)}iIUY におけるシートの族である。

参考文献

投稿日:202359
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pha
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