数学構成論第一部(4)

集合$X$に対し, $X \subset \varnothing$と仮定する.
このとき$x \in X \Rightarrow x \in \varnothing$が成り立つ.
$x \in \varnothing \Rightarrow \bot$であるから, $\Rightarrow$の推移律より$x \in X \Rightarrow \bot$.
$\bot E$規則より$\bot \Rightarrow x \in X$が成り立ち, $x \in X \Leftrightarrow \bot$.
よって, $x \in X \Leftrightarrow x \in \varnothing$となるため, $X = \varnothing$.

$X \times \varnothing = \{(x, y) \mid x \in X \land y \in \varnothing\}$となる.
$x \in X \land y \in \varnothing \Leftrightarrow \bot$であるから, $X \times \varnothing = \varnothing$となる.
$\varnothing \times X= \{(x, y) \mid x \in \varnothing \land y \in X\}$となる.
$x \in \varnothing \land y \in X \Leftrightarrow \bot$であるから, $\varnothing \times X = \varnothing$となる.

命題2により, $R_1 \subset \varnothing$, $R_2 \subset \varnothing$となるので,
命題1より$R_1 = \varnothing, R_2 = \varnothing$

$((1) \Rightarrow (2))$
$f:\text{inj.}$とする.$\forall A \subset X [f^{-1}(f(A)) \subset A]$を示す.
$A \subset X, x \in f^{-1}(f(A))$をとる.$f(x) \in f(A)$から$\exists a \in A [f(x) = f(a)]$.$f:\text{inj.}$から$x = a \in A$.
よって$\forall A \subset X [f^{-1}(f(A)) \subset A]$
$((2) \Rightarrow (3))$
$\forall A \subset X [f^{-1}(f(A)) = A]$とし, 集合$W$と$g_1, g_2:W \to X:\text{写像}$が$f \circ g_1 = f \circ g_2$をみたすとする.
$w \in W$をとり, $A = \{g_1(w)\}, B = \{g_2(w)\} \subset X$とおく.
$f(A) = f(B)$から$\{g_1(w)\} = A = f^{-1}(f(A)) = f^{-1}(f(B)) = B = \{g_2(w)\}$となり,
$g_1(w) = g_2(w)$から$g_1 = g_2$.
よって$f:\text{mono}$.
$((3) \Rightarrow (1))$
$f:\text{mono}$とする.$x_1, x_2 \in X$を$f(x_1) = f(x_2)$をみたすようにとる.
$W = \{s, t\}$と$g_1, g_2:W \to X:\text{写像}$を$w \in W$に対し
$g_1(w) = \begin{cases} x_1 & (w = s) \\ x_2 & (w = t) \\ \end{cases} g_2(w) = \begin{cases} x_2 & (w = s) \\ x_1 & (w = t) \\ \end{cases} $と定める.$f(x_1) = f(x_2)$から$f \circ g_1(w) = f(x_1) = f \circ g_2(w)$となるため$g_1 = g_2$となり$x_1 = g_1(a) = g_2(a) = x_2$.
よって$f:\text{inj.}$

$((1) \Rightarrow (2))$
$f:\text{epi}$とする.$B \subset f(f^{-1}(B))$を示す.
$Z = \{s, t\}$と$g_1, g_2:Y \to Z$を$y \in Y$に対し
$g_1(y) = s, g_2(y) = \begin{cases} s & (y \in f(f^{-1}(B)) \cup B^c) \\ t & (y \in B \setminus f(f^{-1}(B))) \end{cases} $と定める.
$x \in X$に対し, $f(x) \in B$なら$x \in f^{-1}(B)$から$f(x) \in f(f^{-1}(B))$となり, $g_2 \circ f(x) = s$.
$f(x) \in B^c$なら$g_2 \circ f(x) = s$.どちらの場合も$g_1 \circ f = g_2 \circ f$となる.
$f:\text{epi}$から$g_1 = g_2$となり$\forall y \in Y [g_2(y) = s]$.
$g_2(y) = t$となる$y \in Y$がないことがわかるので, $B \setminus f(f^{-1}(B)) = \varnothing$.
よって$B \subset f(f^{-1}(B))$.
$((2) \Rightarrow (3))$
$\forall B \subset Y [f(f^{-1}(B)) = B]$とする.$y \in Y$をとる.$B = \{y\}$と定めると, $f(f^{-1}(\{y\})) = B = \{y\}$となる.$f^{-1}(\{y\}) = \varnothing$とすると$f(\varnothing) = \varnothing \neq \{y\}$となり矛盾.よって$f^{-1}(\{y\}) \neq \varnothing$となり, $\text{Im}f = Y$.
よって$f:\text{surj.}$
$((3) \Rightarrow (1))$
$f:\text{surj.}$とする.集合$Z$と$g_1, g_2:Y \to Z:\text{写像}$が$g_1 \circ f = g_2 \circ f$をみたすとする.$f:\text{surj.}$から$\forall y \in Y \exists x \in X [f(x) = y]$.
$g_1 \circ f(x) = g_2 \circ f(x)$なので$g_1(y) = g_2(y)$から$g_1 = g_2$.
よって$f:\text{epi}$.

$((1) \Rightarrow (2))$
$y \in Y$に対し$f:\text{surj.}$から$f^{-1}(\{y\}) \neq \varnothing$.
$x_1, x_2 \in f^{-1}(\{y\}) \Rightarrow f(x_1) = y = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$となり$\exists! x \in X [x \in f^{-1}(\{y\})]$がいえる.
$g$を$y \in Y$に対し$g(y) \in f^{-1}(\{y\})$をみたすようにとると, $g:Y \to X$は写像となる.
$x \in X$に対し$f:\text{inj.}$から$g \circ f(x) = g(f(x)) = x$から$g \circ f = \text{id}_X$.
$y \in Y$に対し$f \circ g(y) = f(g(y)) = y$から$f \circ g = \text{id}_Y$.
$((2) \Rightarrow (3))$
$h$として$g$をとればよい.
$((3) \Rightarrow (1))$
$\exists g:Y \to X:\text{写像} [g \circ f = \text{id}_X] \land \exists h:Y \to X:\text{写像} [f \circ h = \text{id}_Y]$とする.
$y \in Y$に対し$x = h(y)$とおく.
$f(x) = f(h(y)) = y$から, $f:\text{surj.}$
$x_1, x_2 \in X$に対し$f(x_1)=f(x_2)$とする.$x_1 = g(f(x_1)) = g(f(x_2)) = x_2$となる.
$x_1 = x_2$から, $f:\text{inj.}$
よって, $f:\text{bij.}$

$f:\text{surj.}$から, $f:\text{epi}$となり, $g = h$.

$W = \varnothing$のときは空写像がただひとつであることから成り立つ.
$w \in W$がとれるとき, $(h \circ g) \circ f(w) = (h \circ g)(f(w)) = h(g(f(w))) = h(g \circ f(w)) = h \circ (g \circ f)(w)$となる.

$W$を集合, $f, g:W \to A$を写像とし, $\iota \circ f = \iota \circ g$が成り立つと仮定する.
$W = \varnothing$のときは空写像がただひとつであることから成り立つ.
$w \in W$に対し, $f(w) = \iota(f(w)) = \iota \circ f(w) = \iota \circ g(w) = \iota(g(w)) = g(w)$となるため, $f = g$.
よって, $\iota:\text{mono}$.

$f:\text{inj.}$により$f^{-1}(\Im f) = f^{-1}(f(X)) = X$であるから, 写像は$f:X \to \Im f$となる.
ここで, $\Im (f\mid_{\Im f}) = \Im f$であるから, $f:\text{surj.}$となる.
よって, $f:\text{bij.}$がいえる.

$(\Rightarrow)$
$x, y \in X$に対し$x \sim y$とする.
$z \in X$をとり, $x \sim z$とすると, 対称律から$z \sim x$であり, 仮定から$x \sim y$であり, 推移律から$z \sim y$がいえ, 対称律から$y \sim z$が従うので, $[x] = [y]$が成り立つ.
$(\Leftarrow)$
$x, y \in X$に対し$[x] = [y]$とすると, 反射律から$x \in [x] = [y]$となり, $x \sim y$がいえる.

命題11より$[x] = [y]$であるから, 写像の定義により$f([x]) = f([y])$が成り立つ.

$Y$を集合, $f, g:X / \sim \to Y$を写像であって, $f \circ \pi = g \circ \pi$をみたすものとする.
$C \in X / \sim$とすると, $\exists x \in X [[x] = C]$が成り立つ.
ひとつ$[x] = C$をみたす$x \in X$をとれば, $[x] = \pi(x)$であるから,
$f(C) = f(\pi(x)) = f \circ \pi (x) = g \circ \pi (x) = g(\pi(x)) = g(C)$が成り立ち, $f = g$.
よって, $\pi:\text{epi}$.