ちょっとした積分

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はじめに

$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{π}{2} を既知として、 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{2 n + 1} x}{x} d x を求める \end{array}$

本題

\sum_{}

の表記法について

$k_{1} ～ k_{n}$ を適当な数として
$f (k_{1} \pm k_{2} \pm \dots \pm k_{n})$
で表される $2^{n - 1}$ 個の数の総和を
$\sum_{} f (k_{1} \pm k_{2} \pm \dots \pm k_{n})$ と書くこととします

$\sin^{2 n + 1} x = \frac{(- 1)^{n}}{4^{n}} \sum_{k = 0}^{2 n} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \sin (2 n - 2 k + 1) x$

n変数のsinの積和公式から
$\prod_{i = 1}^{2 n + 1} \sin (a_{i}) = \frac{(- 1)^{n}}{4^{n}} \sum \sin (a_{1} \pm a_{2} \pm \dots \pm a_{2 n + 1}) (- 1)^{M} (M は \pm の部分で - を選んだ回数)$
となるので $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{2 n + 1} = x$ とすれば
$\begin{aligned} \sin^{2 n + 1} x & = \frac{(- 1)^{n}}{4^{n}} \sum \sin \underset{2 n + 1 個}{\underset{⏟}{(1 \pm 1 \pm \dots \pm 1)}} x \cdot (- 1)^{M} \\ = \frac{(- 1)^{n}}{4^{n}} ((\binom{2 n}{0}) \sin (2 n + 1) x - (\binom{2 n}{1}) \sin (2 n - 1) x + \dots + (\binom{2 n}{2 n}) \sin (- 2 n + 1) x) (M = 0, 1, \dots, 2 n をそれぞれ考える) \\ = \frac{(- 1)^{n}}{4^{n}} \sum_{k = 0}^{2 n} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \sin (2 n - 2 k + 1) x ◼ \end{aligned}$

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{2 n + 1} x}{x} d x = \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} \frac{π}{2}$

命題1から
$\begin{aligned} (- 1)^{n} 4^{n} \sin^{2 n + 1} x & = \sum_{k = 0}^{2 n} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \sin (2 n - 2 k + 1) x \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \sin (2 n - 2 k + 1) x + \sum_{k = n + 1}^{2 n} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \sin (2 n - 2 k + 1) x \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \sin (2 n - 2 k + 1) x + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{2 n}{2 n - k}) (- 1)^{k} \sin (- 2 n + 2 k + 1) x (2 n - k \to k) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \sin (2 n - 2 k + 1) x - \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \sin (2 n - 2 k - 1) x \\ = (- 1)^{n} (\binom{2 n}{n}) \sin x + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} (\sin (2 n - 2 k + 1) x - \sin (2 n - 2 k - 1) x) \end{aligned}$
と変形できるため

$\begin{aligned} (- 1)^{n} 4^{n} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{2 n + 1} x}{x} d x & = (- 1)^{n} (\binom{2 n}{n}) \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \int_{0}^{\infty} (\frac{\sin (2 n - 2 k + 1) x}{x} - \frac{\sin (2 n - 2 k - 1) x}{x}) d x \\ = (- 1)^{n} (\binom{2 n}{n}) \frac{π}{2} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{2 n}{k}) (- 1)^{k} \int_{0}^{\infty} (\frac{\sin x}{x} - \frac{\sin x}{x}) d x ∵ 0 < a に対し \int_{0}^{\infty} \frac{\sin a x}{x} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x \\ = (- 1)^{n} (\binom{2 n}{n}) \frac{π}{2} \end{aligned}$
$\underset{―}{∴ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{2 n + 1} x}{x} d x = \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} \frac{π}{2}}$