位数$p^2$の群の分類

$G$の位数を$p^n$とする.各共役類の元の個数を$h_1,h_2,\dots ,h_k$と置くと類等式から
$p^n=h_1+\cdots +h_k$
$h_1$を$e$の共役類とすると左辺は$p$の倍数だから右辺も同様である.ここで, $g$の共役類の元の個数は中心化による剰余$G/Z(g)$の元の個数に等しいから各$h_l$は$p$の約数である.よって$h_1$の他にも$Z(g)$が自明となる元が存在する.それを$a$と置く. $a$は$G$の中心の元である.

補題を用いて$a\in Z(G)\mathrm{\setminus }\{e\}$を取る. $a$の位数は$p^2$か$p$である. $p^2$なら$G$は$a$で生成され$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$に同型である.
$a$の位数が$p$であるとする. $a$が中心の元であることから$a$が生成する部分群は正規. $G/<a>$は位数$p$だから巡回群同型ある.その生成元を$b<a>$と置く.$G/<a>$は$\{<a>,b<a>,\dots ,b^{p-1}<a>\}$と表され, $G$の元は$a^i{b}^j$($0\le i,j,\le n$)の形である. $a$は中心の元だから$b$の位数が$p^2$なら巡回群に同型であり, $p$なら$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$に同型である.