位数$p^2$の群の分類
以下では$p$を素数とします.位数$p^2$の群を分類します.
位数が$p$の自然数べきである群を$p$群という.
次の補題を用います.
$G$を$p$群とする.このとき中心は$Z(G)\neq\{e\}$.
$G$の位数を$p^n$とする.各共役類の元の個数を$h_1,\ h_2,\ \dots,h_k$と置くと類等式から
$p^n=h_1+\cdots +h_k$
$h_1$を$e$の共役類とすると左辺は$p$の倍数だから右辺も同様である.ここで, $g$の共役類の元の個数は中心化による剰余$G/Z(g)$の元の個数に等しいから各$h_l$は$p$の約数である.よって$h_1$の他にも$Z(g)$が自明となる元が存在する.それを$a$と置く. $a$は$G$の中心の元である.
$G$を位数$p^2$の群とすると, $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$か
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$に同型である.
補題を用いて$a\in Z(G)\backslash \{e\}$を取る. $a$の位数は$p^2$か$p$である. $p^2$なら$G$は$a$で生成され$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$に同型である.
$a$の位数が$p$であるとする. $a$が中心の元であることから$a$が生成する部分群は正規. $G/< a>$は位数$p$だから巡回群同型ある.その生成元を$b< a>$と置く.$G/< a>$は$\{< a>,\ b< a>,\ \dots,\ b^{p-1}< a>\}$と表され, $G$の元は$a^ib^j$($0\leq i,\ j,\leq n$)の形である. $a$は中心の元だから$b$の位数が$p^2$なら巡回群に同型であり, $p$なら$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$に同型である.
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