Deligneのp進多重ゼータ値3
前回の記事 の記法を引き続き用いる.
canonicalな対数的延長の存在
$X$上の接続$(E,\nabla)$がべき単であるとは, 接続で保たれるfiltration
\begin{align}
0=E_0\subset E_1\subset\cdots\subset E_r=E
\end{align}
が存在して, 各$1\leq i\leq r$に対し,
\begin{align}
(E_i/E_{i-1},\nabla)\simeq (\mathcal{O}_{X},d)
\end{align}
となることである.
前回の記事
でcanonicalな対数的延長の一意性を示した. 今回はその存在に関する以下の定理を示す.
$D_0^\times$上のべき単な接続$(E,\nabla)$は$z=0$にべき零な留数を持つ対数的延長を持つ.
ランク$1$の場合, $(E,\nabla)\simeq (\mathcal{O}_{D_0^\times}, d)$であるから, $(\mathcal{O}_{D_0},d)$が延長を与える. $(E,\nabla)$のランクを$r\geq 2$とする. 仮定からランク$r-1$の接続$(E',\nabla'), E'\subset E$があって,
\begin{align}
(E/E',\nabla)\simeq (\mathcal{O}_X,d)
\end{align}
となる. $r$に関する帰納法を用いる. $(E',\nabla')$のべき零な留数を持つ対数的延長が既に構成できているとする. $z=0$のまわりの局所基底$e=(e_1,\dots,e_{r-1})$をとって,
\begin{align}
\nabla'=d-C(z)\frac{dz}z,\qquad C(z)\in M_{r-1}(\QQ_p[[z]]),\qquad C(0)=N
\end{align}
と表し, $N$がべき零であるとする. 切断$s=ev$に対して
\begin{align}
\nabla' s&=\nabla'(ev)\\
&=(\nabla' e)v+e\,dv
\end{align}
と
\begin{align}
\nabla's=e\left(dv-C(z)v\frac{dz}z\right)
\end{align}
を比較して,
\begin{align}
\nabla' e&=-eC(z)\frac{dz}z
\end{align}
となることが分かる. 正則な行列
\begin{align}
H(z)=I+H_1z+H_2z^2+\cdots
\end{align}
による基底変換$e'=eH(z)$による行列を
\begin{align}
\nabla' e'&=-e'C^H(z)\frac{dz}z
\end{align}
とする. このとき
\begin{align}
\nabla' e'&=\nabla'(eH)\\
&=(\nabla'e)H+e\,dH\\
&=-eCH\frac{dz}z+eH'\,dz\\
&=e(-CH+zH')\frac{dz}z\\
&=e'(-H^{-1}CH+H^{-1}zH')\frac{dz}z
\end{align}
となる. よって, これらを比較して,
\begin{align}
C^H=H^{-1}CH-H^{-1}zH'
\end{align}
を得る. 以下, $H$を上手く選んで$C^H=N$とできることを示す. 方程式
\begin{align}
N=H^{-1}CH-H^{-1}zH'
\end{align}
は
\begin{align}
zH'&=CH-HN
\end{align}
と書き替えられる.
\begin{align}
C(z)=N+C_1z+C_2z^2+\cdots
\end{align}
と展開すると, $z^m$の係数を比較して,
\begin{align}
mH_m=NH_m-H_mN+C_m+\sum_{j=1}^{m-1}C_jH_{m-j}
\end{align}
となる. これは$\mathrm{ad}_N(X):=NX-XN$として
\begin{align}
(mI-\mathrm{ad}_N)(H_m)=C_m+\sum_{j=1}^{m-1}C_jH_{m-j}
\end{align}
と書き替えられる. $N$がべき零であることにより, $m\neq 0$に対し$mI-\mathrm{ad}_N$は可逆である. 実際$\mathrm{ad}_N^M=0$となる$M$について
\begin{align}
(mI-\mathrm{ad}_N)^{-1}&=\sum_{k=0}^{M-1}\frac{\mathrm{ad}_N^k}{m^{k+1}}
\end{align}
と展開できる. よって,
\begin{align}
H_m=(mI-\mathrm{ad}_N)^{-1}\left(C_m+\sum_{j=1}^{m-1}C_jH_{m-j}\right)
\end{align}
として, $H_1,H_2,\dots$は帰納的に定められる. これより形式的に
\begin{align}
H(z)\in\mathrm{GL}_{r-1}(\QQ_p[[z]])
\end{align}
が得られる. 構成から$H_m$の分母を評価できて, $C$が解析的であることによって, $H$も十分小さな円盤上で解析的であることが分かる. よって, 初めから$0$の近傍において,
\begin{align}
\nabla'=d-N\frac{dz}z
\end{align}
であるとしてよい. 仮定から$(e_1,\dots,e_{r-1})$に$(E/E',\nabla)\simeq(\mathcal{O}_{D_0^\times},d)$の水平な生成元$1$の持ち上げ$e_r$を加えて$E$の$z=0$のまわりの局所基底$(e_1,\dots,e_r)$に延長したとき, 接続$\nabla$は
\begin{align}
\nabla=d-\left(\begin{matrix}N&b(z)\\0&0\end{matrix}\right)\frac{dz}z,\qquad b(z)\in\mathcal{O}(D_0^\times)^{r-1}
\end{align}
と表される. $u(z)\in \mathcal{O}(D_0^\times)^{r-1}$をとり,
\begin{align}
\tilde{e}_r:=e_r+\sum_{i=1}^{r-1}e_iu_i(z)
\end{align}
とする.
\begin{align}
G=\left(\begin{matrix}I&u\\0&1\end{matrix}\right)
\end{align}
として, $(e_1,\dots,e_{r-1},\tilde{e_r})$に関する接続行列を考えると, 先ほどの$C^H$のときと全く同様の議論により, それは
\begin{align}
G^{-1}\left(\begin{matrix}N&b\\0&0\end{matrix}\right)G-G^{-1}zG'
\end{align}
と表される. それは
\begin{align}
\left(\begin{matrix}N&b_{\mathrm{new}}(z)\\0&0\end{matrix}\right)
\end{align}
という形をしており,
\begin{align}
G^{-1}=\left(\begin{matrix}I&-u\\0&1\end{matrix}\right)
\end{align}
となることを用いて直接計算すると
\begin{align}
b_{\mathrm{new}}(z)&=b+Nu-zu'\\
&=b-\left(z\frac{d}{dz}-N\right)u
\end{align}
となる. この$b_{\mathrm{new}}$を正則にするように$u$を選べることを示せば良い.
\begin{align}
b(z)&=\sum_{n\in\ZZ}b_nz^n
\end{align}
として,
\begin{align}
u(z)&=\sum_{n<0}u_nz^n
\end{align}
という形のものを取るとする(先ほどの$u_i$と記号が被っているが, 以降はこの意味で用いる).
\begin{align}
b_{\mathrm{new}}=b-\left(z\frac{d}{dz}-N\right)u
\end{align}
の負べきの項が$0$であるという条件は
\begin{align}
(nI-N)u_n=b_n,\qquad n<0
\end{align}
と表され, $nI-N$は可逆であるから
\begin{align}
u_n=(nI-N)^{-1}b_n
\end{align}
と定めれば良いことが分かる. $N^M=0$となる$M$を取ると,
\begin{align}
(nI-N)^{-1}=\sum_{j=0}^{M-1}\frac{N^j}{n^{j+1}}
\end{align}
となり, 行列ノルムを$||\cdot||_p$と表すとすると,
\begin{align}
||(nI-N)^{-1}||_p\leq \max_{0\leq j\leq M-1}\left|\left|\frac{N^j}{n^{j+1}}\right|\right|_p\\
\leq \left(\max_{0\leq j\leq M-1}||N^j||_p\right) |n|_p^{-M}
\end{align}
であり,
\begin{align}
|n|_p^{-1}=p^{v_p(n)}\leq |n|
\end{align}
であるから, $||(nI-N)^{-1}||_p$の増大度は高々多項式程度である. よって,
\begin{align}
u(z)=\sum_{n<0}(nI-N)^{-1}b_nz^n
\end{align}
も$D_0^\times$上で解析的である. よって, この$e_1,\dots,e_{r-1},\tilde{e}_r$に関して接続は
\begin{align}
\nabla=d-\left(\begin{matrix}N&b_{\mathrm{new}}(z)\\0&0\end{matrix}\right)\frac{dz}z
\end{align}
が得られ,
\begin{align}
b_{\mathrm{new}}=b-\left(z\frac{d}{dz}-N\right)u
\end{align}
よりこれは$z=0$で解析的である. よって, この基底$e_1,\dots,e_{r-1},\tilde{e_r}$に関して$E$を$z=0$に延長すれば, $0$の十分小さな近傍に対する対数的延長が得られ, この近傍から$0$を除いた部分でこの延長を元の$E$と貼り合わせることによって$D_0$上の対数的延長が得られる. この$z=0$での留数
\begin{align}
\left(\begin{matrix}N&b_{\mathrm{new}}(0)\\0&0\end{matrix}\right)
\end{align}
はべき零であるから, 示すべきことが得られた.
$\PP_{\QQ_p}^1$への延長
$X:=\PP_{\QQ_p}^1\setminus\{0,1,\infty\}$とする. $X$上のべき単接続を$D_0^\times$上に制限したものに対し, 定理1から$D_0$上のcanonicalな対数的延長が得られる. 定理1は$z=0$におけるものであるが, $z=1,\infty$を中心とする円盤に対しても全く同様に成り立つので, それらのまわりのcanonicalな対数的延長が得られる. よって, $z=0,1,\infty$それぞれのまわりで得られたcanonicalな対数的延長を張り合わせて, $X$上のべき単接続$(E,\nabla)$の$\PP_{\QQ_p}^1$へのcanonicalな対数的延長$(E_{\mathrm{can}},\nabla_{\mathrm{can}})$が得られる. $E$のfiltration
\begin{align}
0=E_0\subset E_1\subset\cdots\subset E_r=E
\end{align}
で$(E_i/E_{i-1})\simeq (\mathcal{O}_X,d)$となるものに対し, canonicalな対数的延長を考えると,
\begin{align}
0=(E_0)_{\mathrm{can}}\subset(E_1)_{\mathrm{can}}\subset\cdots\subset (E_r)_{\mathrm{can}}=E_{\mathrm{can}}
\end{align}
であって,
\begin{align}
((E_i)_{\mathrm{can}}/(E_{i-1})_{\mathrm{can}},\nabla_{\mathrm{can}})\simeq (\mathcal{O}_{\PP^1},d)
\end{align}
が得られる.
正確には定理1は解析的な定理であるから, 得られるのは$X$の$\PP^1_{\QQ_p}$への延長ではなく$X^{\mathrm{an}}$の$\PP^{1,\mathrm{an}}_{\QQ_p}$への延長である. しかしながら, 代数的な場合についても少し修正すれば同様の議論が回るので, それについては一旦省略することにして, 次に進みたいと思う.
$X$上のべき単接続$(E,\nabla)$の$\PP_{\QQ_p}^1$へのcanonicalな対数的延長$(E_{\mathrm{can}},\nabla_{\mathrm{can}})$について,
\begin{align}
E_{\mathrm{can}}\simeq \mathcal{O}_{\PP_{\QQ_p}^1}^r
\end{align}
が成り立つ. ここで, $r$は$E$のランクである.
$r$に関する帰納法を用いる. $r=1$のときは明らか. $r\geq 2$とする. $\mathcal{O}_{\PP_{\QQ_p}^1}$を単に$\mathcal{O}$と表すこととして, 帰納法の仮定から$(E_{r-1})_{\mathrm{can}}\simeq \mathcal{O}^{r-1}$より, $F:=E_{\mathrm{can}}$として, 完全列
\begin{align}
0\longrightarrow \mathcal{O}^{r-1}\overset{\iota}{\longrightarrow} F\overset{q}{\longrightarrow}\mathcal{O}\longrightarrow 0
\end{align}
がある. ベクトル束は局所的に自由であるから,
\begin{align}
0\longrightarrow \mathcal{O}^{r-1}|_{U_i}\overset{\iota}{\longrightarrow} F|_{U_i}\overset{q}{\longrightarrow}\mathcal{O}|_{U_i}\longrightarrow 0
\end{align}
が分裂するように$\PP_{\QQ_p}^1$の開被覆$\{U_i\}_{i\in I}$をとり, $q:F|_{U_i}\to\mathcal{O}|_{U_i}$の右逆写像$s_i:\mathcal{O}|_{U_i}\to F|_{U_i}$をとると,
\begin{align}
q\circ s_i=q\circ s_j=id_{\mathcal{O}|_{U_i\cap U_j}}
\end{align}
である. よって
\begin{align}
q\circ(s_i-s_j)=0
\end{align}
であるから, $\iota\circ a_{ij}=s_i-s_j$となる$a_{ij}:\mathcal{O}|_{U_{ij}}\to\mathcal{O}^{r-1}|_{U_{ij}}$が一意に存在する. $\iota$は単射であり,
\begin{align}
\iota(a_{ij}+a_{jk}+a_{ki})=(s_i-s_j)+(s_j-s_k)+(s_k-s_i)=0
\end{align}
であるから, $a_{ij}+a_{jk}+a_{ki}=0$となり, $a_{ij}$はČech$1$-cocycleである. 一方
\begin{align}
H^1(\PP_{\QQ_p}^1,\mathcal{O}^{r-1})\simeq H^1(\PP_{\QQ_p}^1,\mathcal{O})^{r-1}
\end{align}
であり, よく知られている結果
\begin{align}
H^1(\PP_{\QQ_p}^1,\mathcal{O})=0
\end{align}
により, $b_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}^{r-1})$があって, $a_{ij}=b_j|_{U_{ij}}-b_i|_{U_{ij}}$と表される. $s_i':=s_i+\iota\circ b_i$とすると, これは任意の$i,j\in I$に対し
\begin{align}
s_i'-s_j'&=(s_i-s_j)+\iota(b_i-b_j)\\
&=\iota(a_{ij}+b_i-b_j)\\
&=0
\end{align}
となるから, $s_i'$は貼り合わさって$q:F\to \mathcal{O}$の右逆写像$s':\mathcal{O}\to F$を与える. よって, 完全列
\begin{align}
0\longrightarrow \mathcal{O}^{r-1}\overset{\iota}{\longrightarrow} F\overset{q}{\longrightarrow}\mathcal{O}\longrightarrow 0
\end{align}
は分裂することが分かり, $F\simeq \mathcal{O}^r$を得る.
