Deligneのp進多重ゼータ値2
前回の記事 の記法を引き続き用いる.
canonicalな対数的延長の一意性
\begin{align}
D_0:=\{z\in\CC_p; |z|_p<1\}
\end{align}
とする. $z=0$を除いた円盤
\begin{align}
D_0^{\times}:=\{z\in\CC_p; 0<|z|_p<1\}
\end{align}
上の接続$(E,\nabla)$を考える.
\begin{align}
\Omega_{D_0}^1(\log\{0\}):=\mathcal{O}_{\QQ_p}(D_0)\frac{dz}z
\end{align}
とする. ここで, 接続$(E,\nabla)$の$z=0$への対数的延長とは, $D_0$上のベクトル束$\overline{E}$と
\begin{align}
\overline{\nabla}: \overline{E}\to \overline{E}\otimes\Omega_{D_0}^1(\log\{0\})
\end{align}
であって, その$D_0^\times$への制限が元の$(E,\nabla)$に一致するようなもののことである. このとき, 局所基底を選んで
\begin{align}
\overline{\nabla}=d-M(z)\frac{dz}{z},\qquad M(z)\in M_r(\mathcal{O}_{\QQ_p}(D_0))
\end{align}
と行列によって表示したときの$M(0)$を
\begin{align}
\Omega(z):=M(z)\frac{dz}z
\end{align}
の留数という.
$(E,\nabla)$のべき零な留数を持つ対数的延長は一意的である.
2つの対数的延長$(\overline{E},\overline{\nabla}), (\overline{E}',\overline{\nabla}')$があるとする. 対数的延長$\ol{E},\ol{E}'$の$0$近傍での切断は有限自由$\QQ_p[[z]]$加群を与える. それをそれぞれ$L,L'$とする. $D_0^\times$への制限は
\begin{align}
\overline{E}|_{D_0^\times}\simeq E\simeq \overline{E}'|_{D_0^\times}
\end{align}
であるから, それぞれの基底$e=(e_1,\dots,e_r),e'=(e_1',\dots,e_r')$を取ると, ある$D_0^\times$上可逆な行列$G(z)$があって,
\begin{align}
e'=eG(z),\qquad G(z)\in\mathrm{GL}_r(\QQ_p((z)))
\end{align}
と表される. $G(z)$が$z=0$でも可逆であることが分かれば, $\overline{E}\simeq \overline{E}'$であることが分かる. $\overline{E}$の基底$e=(e_1,\dots,e_r)$に関して,
\begin{align}
\overline{\nabla}=d-C(z)\frac{dz}z,\qquad C(z)\in M_r(\QQ_p[[z]])
\end{align}
と表し, 留数を$N=C(0)$として,
\begin{align}
C(z)=N+zC_1(z)
\end{align}
と表す. 同様に, $e'$について,
\begin{align}
&\overline{\nabla}'=d-C'(z)\frac{dz}z,\qquad C'(z)\in M_r(\QQ_p[[z]])\\
&C'(z)=N'+zC_1'(z),\qquad N'=C'(0)
\end{align}
とする. $E$の切断$s$を
\begin{align}
s=e'v=eGv
\end{align}
と表す. $e$の基底では
\begin{align}
\nabla(eGv)&=e\left(d(Gv)-C(z)Gv\frac{dz}z\right)\\
&=e\left(G\,dv+(dG)v-C(z)Gv\frac{dz}z\right)
\end{align}
であり, $e'$の基底では
\begin{align}
\nabla(e'v)&=e'\left(dv-C'(z)v\frac{dz}z\right)\\
&=eG\left(dv-C'(z)v\frac{dz}z\right)\\
\end{align}
より, これらを比較すると
\begin{align}
dG-C(z)G\frac{dz}z=-GC'(z)\frac{dz}z
\end{align}
を得る. $G\in\mathrm{GL}_r(\QQ_p((z)))$より, Laurent展開
\begin{align}
G(z)=\sum_{m\leq n}G_nz^n,\qquad G_m\neq 0
\end{align}
代入すると
\begin{align}
\sum_{m\leq n}nG_nz^{n-1}-C(z)\sum_{m\leq n}G_nz^{n-1}=-\sum_{m\leq n}G_nz^{n-1}C'(z)
\end{align}
となる. この両辺の最低次数の部分を比較すると
\begin{align}
mG_m=NG_m-G_mN'
\end{align}
となる. $N,N'$はべき零であるから, 作用$T(X):=NX-XN'$もべき零である. よって, $T$の固有値は$0$しかないから,
\begin{align}
T(G_m)=mG_m,\qquad G_{m}\neq 0
\end{align}
より$m=0$が分かり, $G(z)\in M_r(\QQ_p[[z]])$であることが分かった. $e, e'$の役割を入れ替えて$e=e'G^{-1}$に対して同様の議論を適用すると, $G(z)^{-1}$も$z=0$で正則であることが分かるので, $G(0)$は可逆である. よって,
\begin{align}
(\overline{E},\overline{\nabla})\simeq (\overline{E}',\overline{\nabla}')
\end{align}
であることが分かる.
KZ方程式の場合
\begin{align}
\overline{E}_N&:=\mathcal{O}_{\QQ_p}(D_0)\otimes_{\QQ_p} V_N\\
\ol{\nabla}_N&:=d-\left(A\frac{dz}z+B\frac{dz}{z-1}\right)
\end{align}
とすれば, これは
\begin{align}
\ol{\nabla}_N:=d-\left(A+\frac{Bz}{z-1}\right)\frac{dz}{z}
\end{align}
と書けているので, 接続$(E^\dagger_N,\nabla_N^\dagger)$の対数的延長を与えていることが分かる. その留数は
\begin{align}
\left.A+\frac{Bz}{z-1}\right|_{z=0}=A
\end{align}
であり, べき零である. よって$(\ol{E}_N,\ol{\nabla}_N)$はcanonicalな対数的延長である. 定理1の意義は, この延長が$(E_N^\dagger,\nabla_N^\dagger)$から一意的に定まっているものであることを明確にすることにある.
接基点
$z=0$で極を持たない$\QQ_p$係数の有理関数全体を$\mathcal{O}_{\QQ_p,0}(\PP^1)$を表すこととする. $f,g\in\mathcal{O}_{\QQ_p,0}(\PP^1)$に対し, Leibniz則
\begin{align}
D(fg)=f(0)D(g)+D(f)g(0)
\end{align}
を満たす$\QQ_p$線形写像$D$全体がなす空間として, $0$における接線$T_0\PP_{\QQ_p}^1$を定義する. $f\in\mathcal{O}_{\QQ_p,0}(\PP^1)$に対し,
\begin{align}
f(z)-f(0)=zu(z)
\end{align}
となるような$u\in\mathcal{O}_{\QQ_p,0}(\PP^1)$がある. よって,
\begin{align}
Df(z)=D(z)u(0)=D(z)f'(0)
\end{align}
となる. よって$T_0\PP_{\QQ_p}^1$は1次元であり, 座標$z$を用いて基底を$\left.\frac{\partial}{\partial z}\right|_{z=0}$に取れる. これは$\left.\frac{\partial}{\partial z}\right|_{z=0}(z)=1$を満たすものである. 接基点を
\begin{align}
\overrightarrow{01}:=\left.\frac{\partial}{\partial z}\right|_{z=0}\in T_0\PP_{\QQ_p}^1
\end{align}
と定義する. これは$z=0$における$1$の方向を向く接ベクトルである. 基底$\left.\frac{\partial}{\partial z}\right|_{z=0}$に関する座標を$t$として,
\begin{align}
T_0^\times:=T_0\PP_{\QQ_p}^1\setminus\{0\}\simeq \QQ_p^\times
\end{align}
と同一視すると, $\overrightarrow{01}$は$t=1$に対応する. 全く同様に, $z=1$における接線$T_1\PP_{\QQ_p}^1$から
\begin{align}
\overrightarrow{10}=-\left.\frac{\partial}{\partial z}\right|_{z=1}
\end{align}
を定義する. これは$z=1$における$0$の方向を向く接ベクトルであり,
\begin{align}
T_1^\times:=T_1\PP_{\QQ_p}^1\setminus\{1\}\simeq \QQ_p^\times
\end{align}
と同一視すると, $t=-1$に対応する.
接線上でのKZ方程式
\begin{align}
\overline{E}_N=\mathcal{O}_{\QQ_p}(D_0)\otimes_{\QQ_p} V_N
\end{align}
の$0$における茎は
\begin{align}
(\overline{E}_N)_{(0)}=\mathcal{O}_{\QQ_p,0}(D_0)\otimes_{\QQ_p} V_N
\end{align}
である. よって, そのファイバーは
\begin{align}
(\ol{E}_N)_0&=(\overline{E}_N)_{(0)}/z(\overline{E}_N)_{(0)}\\
&\simeq (\mathcal{O}_{\QQ_p,0}(D_0)/z\mathcal{O}_{\QQ_p,0}(D_0))\otimes_{\QQ_p} V_N\\
&\simeq \QQ_p\otimes_{\QQ_p} V_N\\
&\simeq V_N
\end{align}
となる. これを接線上に一定に広げて,
\begin{align}
E_{N,0}^{\tan}:=\mathcal{O}_{\QQ_p}(T_0^\times)\otimes_{\QQ_p} V_N
\end{align}
とする. ここで, $T_0^\times$には先ほどの座標$t$が入っている. $z=\varepsilon t$として$\varepsilon\to 0$とすると
\begin{align}
A\frac{dz}z+B\frac{dz}{z-1}=A\frac{dt}{t}+B\frac{\varepsilon\,dt}{\varepsilon t-1}\to A\frac{dt}t\qquad(\varepsilon\to 0)
\end{align}
となるから, これを元に接線上での接続を
\begin{align}
\nabla_{N,0}^{\tan}:=d-A\frac{dt}t
\end{align}
によって定義する. このようにして, 接線$T_0^\times$上の接続$(E_{N,0}^{\tan},\nabla_{N,0}^{\tan})$が得られる. 接基点$\overrightarrow{01}$におけるファイバーを
\begin{align}
\omega_{\overrightarrow{01}}(E_N^\dagger,\nabla_N^\dagger):=E_{N,0}^{\tan} |_{t=1}=\mathcal{O}_{\QQ_p}(T_0^\times)|_{t=1}\otimes V_N\simeq V_N
\end{align}
と定める. これにより, $(E^\dagger_N,\nabla_N^\dagger)$の接基点$\overrightarrow{01}$におけるファイバーが$V_N$であるという解釈が得られた. 全く同様の議論を$z=1$における接線に対して行うことにより, その接線上での接続
\begin{align}
E_{N,1}^{\tan}&:=\mathcal{O}_{\QQ_p}(T_1^\times)\otimes_{\QQ_p} V_N\\
\nabla_{N,1}^{\tan}&:=d-B\frac{dt}{t}
\end{align}
と接基点$\overrightarrow{10}$におけるファイバー
\begin{align}
\omega_{\overrightarrow{10}}(E_N^\dagger,\nabla^\dagger_N):=E_{N,1}^{\tan} |_{t=-1}\simeq V_N
\end{align}
が得られる.
