東大数理院試1997年度専門問4解答

(1)
$f(X)=X^{p(p-1)}+\cdots +X^{2(p-1)}+X^{p-1}-S$
は$T$を根に持つ．$f$は$S$の$1$次式だから$K[X]={\mathbb{F}}_p[X](S)$において既約．よって$f$は$T$の$K$上の最小多項式だから，$[L:K]=\mathrm{deg}f=p(p-1).$

(2)
$$\begin{array}{rl}f(X)& =\frac{X^{p-1}(X^{p(p-1)}-1)}{X^{p-1}-1}-S=\frac{X^{p-1}(X^{p-1}-1{)}^p}{X^{p-1}-1}-S\\ & =X^{p-1}(X^{p-1}-1{)}^{p-1}-S=(X^p-X{)}^{p-1}-S\end{array}$$
である．また任意の$a\in {\mathbb{F}}_p^{\times },b\in {\mathbb{F}}_p$に対し
$$((aT+b{)}^p-(aT+b){)}^{p-1}=(a{T}^p+b-(aT+b){)}^{p-1}=(T^p-T{)}^{p-1}=S$$
だから$f(aT+b)=0.$ これと$|{\mathbb{F}}_p^{\times }\times {\mathbb{F}}_p|=(p-1)p=\mathrm{deg}f$より
$$f(X)=\prod _{(a,b)\in {\mathbb{F}}_p^{\times }\times {\mathbb{F}}_p}(X-(aT+b)).$$
よって$T$の$L$-共役元は$aT+b$で，これらは全て$L$の元だから$L/K$は正規かつ分離的．従って$L/K$は Galois 拡大．

(3)
$G=\mathrm{Gal}(L/K)$とおくと$|G|=\mathrm{deg}f=p(p-1)$である．$G$の$p$-Sylow 部分群の個数を$n$とおくと，Sylow の定理より$n\equiv 1modp$かつ$n\mid p(p-1).$ 第$1$式より$(n,p)=1$だから$n\mid (p-1).$ よって$n<p$なので$n=1$である．その部分群を$H$とおく．$\{{\sigma }_b(T)=T+b;b\in {\mathbb{F}}_p\}$は$G$の部分群で位数は$p$だから，これが$H$である．(2) の計算から$T^p-T\in L^H$なので ${\mathbb{F}}_p(T^p-T)\subset L^H.$ 一方$S=(T^p-T{)}^{p-1}$より
$$[L^H:K]=\frac{[L:K]}{[L:L^H]}=\frac{|G|}{|H|}=p-1=[{\mathbb{F}}_p(T^p-T):K]$$
だから，$L^H={\mathbb{F}}_p(T^p-T).$