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東大数理院試1997年度専門問4解答

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$$\newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{FF}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{NN}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{PP}[0]{\mathbb{P}} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{RR}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

東大数理の院試(1997年度専門問4)の解答です.
自分が作った解答は ここ に置いてあります.代数の問題も数問解いてありますが,それだけをpdfにまとめて公開する気がしないので,ここで個別に書いておくことにします.

(東大数理1997年専門問4)

$p$を素数,$L$$p$元体$\FF_p$上の一変数有理関数体$\FF_p(T)$とする.$S \in L$
$$ S = \sum_{k = 1}^p T^{k(p - 1)} = T^{p - 1} + T^{2(p - 1)} + \cdots + T^{p(p - 1)} $$
とし,$K$$L$の部分体$\FF_p(S)$とする.

  1. $L$$K$上の拡大次数$[L : K]$を求めよ.

  2. $L$$K$のガロア拡大であることを示せ.

  3. ガロア群$\mathrm{Gal}(L / K)$の位数$p$の部分群はただ一つであることを示し,その部分群に対応する中間体を求めよ.

(1)
$f(X) = X^{p(p - 1)} + \cdots + X^{2(p - 1)} + X^{p - 1} - S$
$T$を根に持つ.$f$$S$$1$次式だから$K[X] = \FF_p[X](S)$において既約.よって$f$$T$$K$上の最小多項式だから,$[L : K] = \deg f = p(p - 1).$

(2)
\begin{align*} f(X) &= \frac{X^{p - 1}(X^{p(p - 1)} - 1)}{X^{p - 1} - 1} - S = \frac{X^{p - 1}(X^{p - 1} - 1)^p}{X^{p - 1} - 1} - S\\ &= X^{p - 1}(X^{p - 1} - 1)^{p - 1} - S = (X^p - X)^{p - 1} - S \end{align*}
である.また任意の$a \in \FF_p^\times, b \in \FF_p$に対し
$$ ((aT + b)^p - (aT + b))^{p - 1} = (aT^p + b - (aT + b))^{p - 1} = (T^p - T)^{p - 1} = S $$
だから$f(aT + b) = 0.$ これと$|\FF_p^\times \times \FF_p| = (p - 1)p = \deg f$より
$$ f(X) = \prod_{(a, b) \in \FF_p^\times \times \FF_p} (X - (aT + b)). $$
よって$T$$L$-共役元は$aT + b$で,これらは全て$L$の元だから$L / K$は正規かつ分離的.従って$L / K$は Galois 拡大.

(3)
$G = \mathrm{Gal}(L / K)$とおくと$|G| = \deg f = p(p - 1)$である.$G$$p$-Sylow 部分群の個数を$n$とおくと,Sylow の定理より$n \equiv 1 \bmod p$かつ$n \mid p(p - 1).$$1$式より$(n, p) = 1$だから$n \mid (p - 1).$ よって$n < p$なので$n = 1$である.その部分群を$H$とおく.$\{ \sigma_b(T) = T + b \, ; \, b \in \FF_p\}$$G$の部分群で位数は$p$だから,これが$H$である.(2) の計算から$T^p - T \in L^H$なので $\FF_p(T^p - T) \subset L^H.$ 一方$S = (T^p - T)^{p - 1}$より
$$ [L^H : K] = \frac{[L : K]}{[L : L^H]} = \frac{|G|}{|H|} = p - 1 = [\FF_p(T^p - T) : K] $$
だから,$L^H = \FF_p(T^p - T).$

投稿日:20231229

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delta
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大学院入試の解答のまとめ(記事にしたもの含む)は下のURLから

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