東大数理院試1997年度専門問4解答
東大数理の院試（1997年度専門問4）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．代数の問題も数問解いてありますが，それだけをpdfにまとめて公開する気がしないので，ここで個別に書いておくことにします．
$p$を素数，$L$を$p$元体$\FF_p$上の一変数有理関数体$\FF_p(T)$とする．$S \in L$を
$$
S = \sum_{k = 1}^p T^{k(p - 1)}
= T^{p - 1} + T^{2(p - 1)} + \cdots + T^{p(p - 1)}
$$
とし，$K$を$L$の部分体$\FF_p(S)$とする．
$L$の$K$上の拡大次数$[L : K]$を求めよ．
$L$は$K$のガロア拡大であることを示せ．
ガロア群$\mathrm{Gal}(L / K)$の位数$p$の部分群はただ一つであることを示し，その部分群に対応する中間体を求めよ．
(1)
$f(X) = X^{p(p - 1)} + \cdots + X^{2(p - 1)} + X^{p - 1} - S$
は$T$を根に持つ．$f$は$S$の$1$次式だから$K[X] = \FF_p[X](S)$において既約．よって$f$は$T$の$K$上の最小多項式だから，$[L : K] = \deg f = p(p - 1).$
(2)
\begin{align*}
f(X)
&= \frac{X^{p - 1}(X^{p(p - 1)} - 1)}{X^{p - 1} - 1} - S
= \frac{X^{p - 1}(X^{p - 1} - 1)^p}{X^{p - 1} - 1} - S\\
&= X^{p - 1}(X^{p - 1} - 1)^{p - 1} - S
= (X^p - X)^{p - 1} - S
\end{align*}
である．また任意の$a \in \FF_p^\times, b \in \FF_p$に対し
$$
((aT + b)^p - (aT + b))^{p - 1}
= (aT^p + b - (aT + b))^{p - 1}
= (T^p - T)^{p - 1}
= S
$$
だから$f(aT + b) = 0.$ これと$|\FF_p^\times \times \FF_p| = (p - 1)p = \deg f$より
$$
f(X)
= \prod_{(a, b) \in \FF_p^\times \times \FF_p} (X - (aT + b)).
$$
よって$T$の$L$-共役元は$aT + b$で，これらは全て$L$の元だから$L / K$は正規かつ分離的．従って$L / K$は Galois 拡大．
(3)
$G = \mathrm{Gal}(L / K)$とおくと$|G| = \deg f = p(p - 1)$である．$G$の$p$-Sylow 部分群の個数を$n$とおくと，Sylow の定理より$n \equiv 1 \bmod p$かつ$n \mid p(p - 1).$ 第$1$式より$(n, p) = 1$だから$n \mid (p - 1).$ よって$n < p$なので$n = 1$である．その部分群を$H$とおく．$\{ \sigma_b(T) = T + b \, ; \, b \in \FF_p\}$は$G$の部分群で位数は$p$だから，これが$H$である．(2) の計算から$T^p - T \in L^H$なので $\FF_p(T^p - T) \subset L^H.$ 一方$S = (T^p - T)^{p - 1}$より
$$
[L^H : K]
= \frac{[L : K]}{[L : L^H]}
= \frac{|G|}{|H|}
= p - 1
= [\FF_p(T^p - T) : K]
$$
だから，$L^H = \FF_p(T^p - T).$
