Jordan分解

代数閉体上のJordan分解の存在

$k$を代数的閉体とし, $k^n$を$n$次元$k$ベクトル空間とする.
$g\in \operatorname{GL}_n(k)$が生成する$k$代数$k[g]\subset \operatorname{End}_k(k^n)$は$k$上有限次元なので, Artin環である. したがって$k$代数の同型
$$k[g]\cong A_1\times \cdots \times A_r$$
がある. $A_i=(A_i, \mathfrak{m}_i)$はArtin局所環で, 剰余体は$A_i/\mathfrak{m_i}=k$である（代数的閉体なので）. この同型に対応する分解を$k[g]=k[g]e_1\times\cdots\times k[g]e_r$とする. ここで$e_i$たちはidempotentsであり, $e_ie_j=0$ ($i\neq j$), $\sum e_i=1$を満たす.
したがって$V_i=\{ e_i(v) \mid v \in k^n \}$ とおくと, 直和分解$k^n=V_1\oplus \cdots \oplus V_r$が得られる. $e_i \in k[g]$なので, 各$V_i$は$k[g]$-加群であることに注意する.
$g$の$i$番目の剰余を$\alpha_i \in k$とする, すなわち, 射影$k[g]\to A_i/\mathfrak{m}_i=k$による$g$の像を考える. すると, $(g-\alpha_i)e_i\in \mathfrak{m}_i$なので, $(g-\alpha_i)e_i$はnilpotentである. すなわち, 十分大きい$N$に対して$(g-\alpha_i)^N e_i=0$, よって$(g-\alpha_i)\mid_{V_i}$はnilpotentである.
さて, $g$は可逆なので, 各$\alpha_i \neq 0$である. $g_s\in \operatorname{GL}_n(k)$を各$V_i$上$\alpha_i$倍として定める. すると$g_s$はseparable（または, semisimple）である.
各$i$に対して$(g-g_s)\mid_{V_i}=(g-\alpha_i)\mid_{V_i}$はnilpotentであるから, $g-g_s$はnilpotentである. よって$ g_s^{-1}g-1$はnilpotentであるから, $g_u:=g_s^{-1}g$はunipotentであり, $g=g_sg_u$が成り立つ.
ここで, 作り方から$g_s=\sum\alpha_i e_i\in k[g]$である. また, $g_s^{-1}=\sum \alpha_i^{-1} e_i\in k[g]$であるので, $g_u=g_s^{-1}g \in k[g]$であり, $g_sg_u=g_ug_s$がなりたつ.
まとめると,