多項式環の局所化と局所化の多項式環

$\sum\limits_{i = 0}^r (a_i / s_i) X^i \in R_\mathfrak{p}[X] \subseteq K[X]$とする. 任意の$i$に対し$s_i \in R \setminus \mathfrak{p}$だから$\prod\limits_{i = 0}^r s_i \in R \setminus \mathfrak{p}$, したがって$\sum\limits_{i = 0}^r (a_i / s_i) X^i = \bigg[\sum\limits_{i = 0}^r (a_i s / s_i) X^i\bigg] \Big/ s \in R[X]_{\mathfrak{p}[X]}$, ゆえに$K[X] \cap R[X]_{\mathfrak{p}[X]} \supseteq R_\mathfrak{p}[X]$.
逆の包含関係を示す. $K[X] \cap R[X]_{\mathfrak{p}[X]}$のすべての単項式が$R_\mathfrak{p}[X]$に入るならばそれらの和である$K[X] \cap R[X]_{\mathfrak{p}[X]}$の多項式も$R_\mathfrak{p}[X]$に入るから, $K[X] \cap R[X]_{\mathfrak{p}[X]}$の単項式$(a / s)X^n$が$R_\mathfrak{p}[X]$に入ることを示せば十分である. $(a / s) X^n \in R[X]_{\mathfrak{p}[X]}$だから, ある$f(X) = \sum\limits_{i = 0}^s a_i X^i \in R[X] \setminus \mathfrak{p}[X]$が存在して$f(X) (a / s) X^n \in R[X]$が成り立つ. すなわち, 任意の$i$に対して$s \mid a_i$が成り立つ. ある$i$が存在して$a_i \in R \setminus \mathfrak{p}$となり, $a a_i / s \in R$であるから, $f(X)$を$a_i$でおきかえてよい. $s \mid a_i$だから, $s \in \mathfrak{p}$とすると$a_i \in \mathfrak{p}$となり矛盾, したがって$(a / s) X^n \in R_\mathfrak{p}[X]$. ゆえに$K[X] \cap R[X]_{\mathfrak{p}[X]} = R_\mathfrak{p}[X]$である.