多項式環の局所化と局所化の多項式環

$\sum _{i=0}^r(a_i/s_i)X^i\in R_{\mathfrak{p}}[X]\subseteq K[X]$とする. 任意の$i$に対し$s_i\in R\setminus \mathfrak{p}$だから$\prod _{i=0}^r{s}_i\in R\setminus \mathfrak{p}$, したがって$\sum _{i=0}^r(a_i/s_i)X^i=[\sum _{i=0}^r(a_{i}s/s_i)X^i]/s\in R[X{]}_{\mathfrak{p}[X]}$, ゆえに$K[X]\cap R[X{]}_{\mathfrak{p}[X]}\supseteq R_{\mathfrak{p}}[X]$.
逆の包含関係を示す. $K[X]\cap R[X{]}_{\mathfrak{p}[X]}$のすべての単項式が$R_{\mathfrak{p}}[X]$に入るならばそれらの和である$K[X]\cap R[X{]}_{\mathfrak{p}[X]}$の多項式も$R_{\mathfrak{p}}[X]$に入るから, $K[X]\cap R[X{]}_{\mathfrak{p}[X]}$の単項式$(a/s)X^n$が$R_{\mathfrak{p}}[X]$に入ることを示せば十分である. $(a/s)X^n\in R[X{]}_{\mathfrak{p}[X]}$だから, ある$f(X)=\sum _{i=0}^s{a}_i{X}^i\in R[X]\setminus \mathfrak{p}[X]$が存在して$f(X)(a/s)X^n\in R[X]$が成り立つ. すなわち, 任意の$i$に対して$s\mid a_i$が成り立つ. ある$i$が存在して$a_i\in R\setminus \mathfrak{p}$となり, $a{a}_i/s\in R$であるから, $f(X)$を$a_i$でおきかえてよい. $s\mid a_i$だから, $s\in \mathfrak{p}$とすると$a_i\in \mathfrak{p}$となり矛盾, したがって$(a/s)X^n\in R_{\mathfrak{p}}[X]$. ゆえに$K[X]\cap R[X{]}_{\mathfrak{p}[X]}=R_{\mathfrak{p}}[X]$である.