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大学数学基礎解説
文献あり

【ホモロジー代数 1】 アーベル圏の事前準備

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はじめまして!この記事では自己紹介とホモロジー代数における圏の特別な対象の性質について語っていきたいと思います

まえがき

大学1年生のいそべやんです。面白そうな数学の話題が好きで、特に解析的整数論に興味を持っています。今回は初投稿ではありますが、シリーズを通してホモロジー代数にまつわる補題(五項補題、蛇の補題...etc)について解説していきたいとおもいます...が、加群には触れません (*ただし気分によって変わる可能性あり)
 
この記事は圏論的に(つまりミッチェルの埋め込み定理を使わずに)ホモロジー代数の補題を証明することを目的としています。前提知識として簡単な圏論の知識が必要です。また解説の都合のため定義と性質が前後していたり、一般的に扱われている定義とは異なる弱い定義になっているものもあります。ご了承お願いします。厳密な定義、議論は参考文献[1][2][3]等を参照してください。

加群は出ない
必要な知識は簡単な圏の知識
一般的でない定義が出る

アーベル圏を知るまえに

早速ホモロジー代数について解説していきたいのですが、群論には群、環論には環、位相空間論には位相空間の定義が必要なように、ホモロジー代数にはアーベル圏(または加群)の定義が必要です。しかしアーベル圏の定義をするには特別な対象の定義が必要不可欠です。ということで第1回はこの「特別な対象、射、具体例、性質」について解説していきます。

零対象と零射

零対象

零対象

Cを圏とする。Cの対象Zが以下の条件を満たすとき零対象という。
(1)Cの任意の対象Xに対して、ZからXへの射が唯一存在する。
(2)Cの任意の対象Yに対して、YからZへの射が唯一存在する。

「射が唯一存在する」とはどういうことかというと、例えば(1)は|HomC(Z,X)|=1と表せるということですね。
つまり「全てのXに対して、ZからXへの射が1本しかないよ」と言うことです。

1を、対象を1のみ,射をid1のみの圏とする。この時、1は1の零対象になる
Grpを、対象を群,射を群準同型の圏とする。この時、自明群はGrpの零対象になる
Top.を、対象を基点付き位相空間,射を基点を保つ連続写像の圏とする。この時、基点のみの位相はTop.の零対象になる

これら零対象には普遍性があります。

ZZが零対象ならZZが成り立つ。

証明手法(任意)

証明
Zは零対象なので定義1の(1)よりu:ZZv:ZZが存在します。
ここでidZ,vuHom(Z,Z)となりますが、定義1の(1)より、ZからZへの射は1つしか存在しません。つまりidZ=vuとなります。vuも同様にidZと一致するので、ZZ

零対象には普遍性があることが分かったので零対象0と表記することにします。

零射

先ほど定義した0を用いて次のような特別な射を考えることができます。

零射

0を対象に持つ圏Cの射f:XYに対して、あるu:X0,v:0Yが存在して以下の図式が可換の時、fを零射と呼ぶ
XfuY0v

つまりf=vuと0を経由した形に変形できるヤツを零射と呼んでいるんですね。

1においてid11の零射になる
Grpにおいて全ての元を単位元に送る準同型写像はGrpの零射になる
Top.に対して全ての元を基点に送る連続写像はTop.の零射になる

実は零射は以下のようなことがわかっています。

(1)任意の対象X,Yに対して、ある零射f:XYが唯一存在する
(2)f:XYが零射なら、任意のg:WX,h:YZに対して、fg,hfは零射

(1)
定義1よりある射u:X0,v:0Yが存在するのでvuは零射となりXからYへの零射が存在する。
XvuuY0v
また射f:XYが零射ならある射u:X0,v:0Yが存在してf=vuと分解できる
XfuY0v
ここで定義1より零射と対象の射は1つしかないので、u=u,v=vとなるのでf=vuとなり射の一意性が示せた
Xf=vuu=uY0v=v
(2)
fは零射なので、あるu:X0,v:0Yが存在してf=vuとなる。よってug:W0,v:0Yを用いてfg=(vu)g=v(ug)となるのでfgは零射となる
WgugXufY0v
同様にu:X0,hv:0Zを用いて、hf=h(vu)=(hv)uとなるのでhfは零射
XfuYhZ0hvv

これにより零射には一意性があることが分かったので、XからYへの零射0XYまたは単に0と表します。

零対象と零射 まとめメモ

零対象を0と書く
XからYへの零射を0XY,0とかく
零射は合成しても零射

モノ射とエピ射

モノ射とエピ射

モノ射とエピ射

Cを圏としf:XYCの射とする。
(1)Cの任意の射g,g:WXに対して、fg=fgg=gが成り立つときfをモノ射と言いf:XYと書ける
(2)Cの任意の射h,h:YZに対して、hf=hfh=hが成り立つときfをエピ射と言いf:XYと書ける

モノ射(エピ射)は右から(左から)合成して射が一致するなら合成前でも一致するということですね。自分のモノ射のイメージは下みたいな感じです。
WfgfgYWggXfY
ファスナーを半分閉めるようにモノ射はcodf(=Y)からdomf(=X)までスッと射を一本にしても可換が成り立つ感じです

Setを、対象が集合,射が写像の圏とする。単射はSetのモノ射になり、全射はSetのエピ射になる。
また単射は1,Grp,Top.でモノ射になり、全射は1,Grp,Top.でエピ射になる。
Hausを、対象がハウスドルフ空間,射が連続写像となる圏とする。Q,Rに対して、包含写像i:QRHausのエピ射になる。

モノ射、エピ射には以下の性質が成り立ちます。

f:XY,g:YZを圏Cの射とする
(1)f,gがモノ射ならgfもモノ射
(2)gfがモノ射ならfもモノ射
(3)f,gがエピ射ならgfもエピ射
(4)gfがエピ射ならgもエピ射

(1)
h,h:WXgfh=gfhを満たすとする。
gはモノ射なので、fh=fh
fはモノ射なので、h=h
よってgfはモノ射
(2)
h,h:WXfh=fhを満たすとすれば
fh=fh
g(fh)=g(fh)
(gf)h=(gf)h
gfはモノ射なのでh=hとなる。
よってfはモノ射
(3)
h,h:ZWhgf=hgfを満たすとする。
fはモノ射なので、hg=hg
gはモノ射なので、h=h
よってgfはモノ射
(4)
h,h:ZWhg=hgを満たすとすれば先程と同様に
h(gf)=h(gf)
となり、gfはエピ射なのでh=hとなる。
よってgはエピ射

モノ射やエピ射は単射や全射を一般化したような概念になっていることがわかりました。実際に具体圏では単射(全射)はモノ射(エピ射)になります。一方でモノ射(エピ射)が単射(全射)になるとは限りません。実はモノ射といっても、正規モノ、正則モノ、分裂モノ...といった多くの種類が存在します。今回はアーベル圏の準備が目的ですのでここでは触れません。

モノ射とエピ射 まとめメモ

fがモノ射の時、射をと書ける
fがエピ射の時、射をと書ける
gfがモノ射fもモノ射、gfがエピ射  gもエピ射

直積 直和

直積

直積

X,Yを圏Cの対象とする。圏Cの対象Pと射p1:PX,p2:PYが以下の性質を満たす時、P,p1,p2X,Yの直積と言い特にp1,p2を射影という。
(1)任意の圏Cの対象Uと射f:UX,g:UYに対して、ある射u:UPがただ一つ存在して、以下の図式が可換になる。
Uf!ugXPp1p2Y

なんだかごちゃごちゃしていて見にくいですね...ですので、ステップごとに定義を述べて可換図式を書いていくので一緒に追っていきましょう。

ステップ1

まずX,Yが存在する。
XY
 

ステップ2

P,p1:PX,p2:PYの三つ組が直積であるとは、
XPp1p2Y
 

ステップ3

任意のUと射f:UX,g:UYに対して、
UfgXPp1p2Y
 

ステップ4

ある射u:UPがただ一つ存在して、
Uf!ugXPp1p2Y
 

ステップ5

下の図式が可換(つまりf=p1u,g=p2u)となる。
Uf!ugXPp1p2Y
 
ということでした。直積は「始域が共通でXYが終域の射のペア」から「Pが終域となる射」を作れるので、合成以外で射を作ることができるんですね!

1において1,id1,id1は対象11の直積になる
Setにおいて集合の直積と射影の組X×Y,Pr1,Pr2は集合X,Yの直積になる
Grpにおいて群の直積と射影の組G1×G2,Pr1,Pr2は群G1,G2の直積になる

また直積には普遍性があります。

P,p1,p2,P,p1,p2X,Yの直積とする。この時、PP

証明
PX,Y直積なので、直積の普遍性よりu:PPが存在して、以下の図式が可換
Pp1up2XPp1p2Y
同様にPX,Y直積なので、直積の普遍性よりu:PPが存在して、以下の図式が可換になる
Pp1up2XPup1p2YPp1p2
よってuuは以下の図式を可換にする。
Pp1uup2XPp1p2Y
ところで以下の図式も可換である
Pp1idPp2XPp1p2Y
定義4の(1)から可換にするような射は一つしかない。
つまり|{hHom(P,P)|p1=p1h,p2=p2h}|=1である。よってidP=uuと分かった。同様にidP=uuとわかるのでPPとなる。

直積には普遍性があることが分かったのでXYの直積をX×Y、射影をPr1:X×YX,Pr2:X×YYとし、f:UX,g:UYX×Y,Pr1,Pr2を可換にするような射をf×g:UX×Yと記述することにする。(つまり下の図のように記述する)
Uff×ggXX×YPr1Pr1Y

直和

直和

X,Yを圏Cの対象とする。圏Cの対象Qと射q1:XQ,q2:YQが以下の性質を満たす時、Q,q1,q2X,Yの直和と言い、特にq1,q2を入射という。
(1)任意の圏Cの対象Vと射f:XV,g:YVに対して、ある射v:QVがただ一つ存在して、以下の図式が可換になる。
VXfq1Q!vYgq2

またごちゃごごちゃしていて見にくいですね...同様に、ステップごとに定義を述べて可換図式を書いていきましょう。

ステップ1

まずX,Yが存在する。
XY
 

ステップ2

Q,q1:XQ,p2:YQの三つ組が直積であるとは、
Xq1QYq2
 

ステップ3

任意のVと射f:XV,g:YVに対して、
VXfq1QYgq2
 

ステップ4

ある射v:QVがただ一つ存在して、
VXfq1Q!vYgq2
 

ステップ5

下の図式が可換(つまりf=vq1,g=vq2)となる。
VXfq1Q!vYgq2
 
ということでした。直和の定義をよく見ると直積と似ていますね。直和の定義は実は直積の定義の矢印を反対にした双対なんです。

1において1,id1,id1は対象11の直和になる
Setにおいて集合の直和と入射の組X⨿Y,i1,i2は集合X,Yの直和になる
Vectを、対象をベクトル空間,射を線形写像とする。圏Vectにおいてベクトルの直和と入影の組V1V2,i1,i2はベクトルV1,V2の直和になる

直和には直積と同様に普遍性があります。

Q,q1,q2,Q,q1,q2X,Yの直和とする。この時、QQ

証明
Q,QX,Yの直和なので、直和の普遍性よりv:QQ,v:QQが存在して、以下の図式が可換になる
QXq1q1QvvYq2q2
ところで以下の図式も可換である
QXq1q1QidQYq2q2
定義5の(1)から可換にするような射は一つしかないのでidQ=vvと分かった。同様にidQ=vvとわかるのでQQとなる。

直和にも普遍性があることが分かったのでXYの直和をXY、入射をi1:XXY,i2:YXYとし、f:XV,g:YVX×Y,i1,i2を可換にするような射をfg:XYVと記述することにする。(つまり下の図のように記述する)
VXfi1XYfgYgi2

直積と直和 まとめメモ

XYの直積をX×Y、射影をPr1:X×YX,Pr2:X×YYと書く
XYの直積をXY、入射をi1:XXY,i2:YXYと書く
f:UX,g:UYX×Y,Pr1,Pr2を可換にするような射をf×g:UX×Yと書く
f:XV,g:YVX×Y,i1,i2を可換にするような射をfg:XYVと書く

核と余核

Cを0を持つ圏とする。Cの射f:XYに対して、対象と射の組K,kが以下の条件を満たすとき、K,kfの核という
(1)fk0KYとなる。つまり以下の図式が可換
Kk0K0Xf000YY
(2)対象と射のペアK,k(1)を満たすとする。この時ある射u:KKがただ一つ存在して、以下の図式が可換となる。
KkXK!uk

核の定義はなかなか厄介です。一体なぜこのような定義にしたのでしょうか?「ベクトル空間の核」から「圏の核」の定義へ一般化することを目指して追っていきましょう。

f:VWを線形写像としたときのベクトル空間の核の定義は
Kerf:={vV|f(v)=0}でした。この定義では元を取る集合論的な定義ですから、このままでは圏論ぽく一般化できません...
なので圏論チックに射(写像)だけを使って定義することを目指しましょう!
ベクトルの核の定義からf|Kerf:KerfWは元を全て0へ送る写像になっていることが分かります。実は全ての元を0へ送る写像はVect上の零射になっています!(Vectの零対象がベクトル空間{0}であることから従う)...①
またf|Kerfは包含写像k:KerfVを用いてf|Kerf=fkと書けますね!...②
これら①②から核の条件(1)を満たしてほしいことが分かります。
しかしこの条件では足りません...例えば、0,00Vとしても(1)の条件を満たしてしまいます。こういった核モドキ達をはじくために条件(2)があるんですね。
実際に(1)(2)の条件を課すことによって核に普遍性が生まれます。

K,k,K,kf:XYの核の時、KKとなる。

K,kfの核なので定義6の(1)よりfk=0KY
Kk0K0Xf000YY
またK,kfの核なので定義6の(2)より、ある射u:KKが存在して、以下の図式が可換
KkXKuk
同様にK,kfの核なので定義6の(2)より、ある射u:KKが存在して、以下の図式が可換
KkKukXKuk
よってuuにより以下の図式が可換になる
KkXKuuk
ところで以下の図式も可換になる
KkXKidKk
ここで定義6の(2)より射は一個しか存在しないのでidK=uuとわかる。同様にidK=uuとわかるのでKK

普遍性があることがわかったので核をKerf,kerfとあらわすことにします。
核にはうれしい性質が多くあります。

f:XYの核をKerf,kerfとする。
(1)kerfはモノ射
(2)fがモノ射ならKer(f)は零対象

(1)
g,h:WKerfkerfg=kerfhを満たすとする。kerfg=kerfh=αとおくと、
fα=f(kerfh)=(fkerf)h=0Kerf Xh=0W Xとなる。よって核の定義より、以下の図式を可換にする射u:WKerfが唯一つ存在する。
KerfkerfXW!uα
ところでkerfg=kerfh=αだったので以下の図式も可換である。
KerfkerfXWgα KerfkerfXWhα
図式を可換にするような射は一つしか存在しないのでg=u=hとなり、kerfはモノ射である。

(2)
0Kerfが同型であればよい。
核の定義よりfkerf=0Kerf Yとなる
Kerfkerf0Kerf YXfY
また零射の性質よりf0Kerf X=0Kerf Yとなる。
Kerf0Kerf X0Kerf YXfY
ここでfはモノ射よりkerf=0Kerf Xとなる
Kerff0Kerf XfkerfYKerf0Kerf XkerfXfY
また定理7(1)より0Kerf X(=kerf)はモノ射であるので、idKerf=0KerfKerfである。
Kerf0Kerf X0KerfKerf0Kerf XidKerfXKerf0KerfKerfidKerfKerf0Kerf XX
よって00Kerf0Kerf0=000=id0,0Kerf000Kerf=0KerfKerf=idKerfとわかり、0Kerf

余核

余核

Cを0を持つ圏とする。Cの射f:XYに対して、対象と射の組J,jが以下の条件を満たすとき、J,jfの余核という
(1)jf0XJとなる。つまり以下の図式が可換
X0X0f000JYjJ
(2)対象と射のペアJ,j(1)を満たすとする。この時ある射u:JJがただ一つ存在して、以下の図式が可換となる。
YjjJ!uJ

余核の定義は核の定義と似ていますね。実は核の定義から矢印を反対にして定義しなおすと余核になります。

核と同じように余核にも普遍性が生まれます。

J,j,J,jf:XYの余核の時、JJとなる。

J,jfの余核なので定義7の(1)よりjj=0XJ
X0X0f000JYjJ
またJ,jfの余核なので定義7の(2)より、ある射u:JJが存在して、以下の図式が可換
YjjJ!uJ
同様にJ,jfの余核なので定義7の(2)より、ある射u:JJが存在して、uuにより以下の図式が可換になる
YjjJuuJ
ところで以下の図式も可換になる
YjjJidJJ
ここで定義7の(2)より射は一個しか存在しないのでidJ=uuとわかる。同様にidJ=uuとわかるのでJJ

普遍性があることがわかったので余核をCokerf,cokerfとあらわすことにします。
ところで余核とは何でしょうか?例えば、線形写像f:VWに対して、fの余核とは商空間W/Imfのことです。つまりfの終域(=W)のうちfの像(=Imf)をつぶしたような空間が余核ということなんですね
こうした余核にも核と同じようにうれしい性質があります。

f:XYの余核をCokerf,cokerfとする。
(1)cokerfはエピ射
(2)fがエピ射ならCoker(f)は零対象

(1)
g,h:CokerfZgcokerf=hcokerfを満たすとする。gcokerf=hcokerf=βとおくと、
βf=gcokerff=0XZとなる。よって余核の定義より、以下の図式を可換にする射u:CokerfZが唯一つ存在する。
YβcokerfCokerfuZ
ところでgcokerf=hcokerf=βだったので以下の図式も可換である。
YβcokerfCokerfgZ YβcokerfCokerfhZ

図式を可換にするような射は一つしか存在しないのでg=u=hとなり、cokerfはエピ射である。

(2)
0Cokerfが同型であればよい。
余核の定義よりcokerff=0X Cokerfとなる
Xf0X CokerfYcokerfCokerf
また零射の性質より0Y cokerff=0X Cokerfとなる。
Xf0X CokerfY0Y cokerfCokerf
ここでfはエピ射よりcokerf=0Y Cokerfとなる
X0Y cokerffcokerffCokerfXfY0Y CokerfcokerfCokerf
また定理9(1)より0Y Cokerf(=cokerf)はエピ射であるので、idCokerf=0CokerfCokerfである。よって00Cokerf0Cokerf0=000=id0,0Cokerf000Cokerf=0CokerfCokerf=idCokerfとわかり、0Cokerf

像と余像

ところで核の反対語といえば何を思い浮かべますか?自分としては核の反対語は「像」という感じなんですが実際の核の双対は余核といわれるものでした。では「像」はどのように定義されるでしょうか?
実は、核と余核を駆使すると、像を作ることができるんです!

像 余像

(1)Imf:=Ker(cokerf),imf:=ker(cokerf)を像という
(1)Coimf:=Coker(kerf),coimf:=coker(kerf)を余像という

そして像と余像は以下の性質を持ちます。

f:XYに対して、fの像と余像が存在するなら、以下の図式を可換にする射z:CoimfImfが唯一存在する。
XfcoimfYCoimfzImfimf

証明手法(任意)

核の定義からfkerfは零射である。
Coimf=Coker(kerf)より余像はkerfの余核なので、以下の図式を可換にするような射u:CoimfYが存在して、以下の図式を可換にする。
XcoimffYCoimfu
またcokerf0Coimf Ycoimf=0X Cokerf=cokerff=cokerfucoimfであるが、coimf:=coker(kerf)なので、余核はエピ射より、cokerf0Coimf Y=cokerfu=0Coimf CokerfまたImf:=Ker(cokerf)より、像はcokerfの核でもあるので、以下の図式を可換にするような射z:CoimfImfが唯一存在する。
XfcoimfYCoimfzImfimf

ところで今定義した像は果たして我々が知っている像の定義になるでしょうか?
ベクトル空間で検証してみましょう
線形写像f:VWに対して、fの余核とはW/Imfでした。
ここでcokerf:WCokerf(=W/Imf)の核とは何でしょうか?
そう!Imfですね!ですからImf:=Ker(cokerf)となるんですね~

核と余核 まとめメモ

核と余核の射は合成すると零射になる。
核,余核の射はモノ射,エピ射となる。
核モドキから核への(可換にするような)射が唯一存在する。
余核から余核モドキへの(可換にするような)射が唯一存在する。

おわりに

今回はお読みいただきありがとうございました。初投稿ということで分かりにくい説明や誤字も多かいかもしれません。ですが、さらに成長して数学に挑んでいきたいです!次回はアーベル圏の定義とその具体例に入ります。

参考文献

[1]
中岡宏行, 圏論の技法, 日本評論社, 2015
[2]
志甫淳, 層とホモロジー, 共立出版, 2024
投稿日:20241113
更新日:2024125
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投稿者

大学一年生です。解析的整数論とホモロジー代数に興味があります。抜けが多い性格なので、誤植とかあるかもしれません💦よろしくお願いします。

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