多項式環における零因子について

　$A$が零環ならば，明らかに$A[X_1,\cdots,X_n]$も零環である．
　ゆえに，$A[X_1,\cdots,X_n]$に零因子は存在しないため，空虚の真が成立する．
　よって以下，$A$は非零環であると仮定する．

Step1. $n=1$の場合

　$X:=X_1$と書く．
　$f \in A[X]$は$A[X]$の零因子なので，
　$$\exists g(X) \in A[X], g \neq 0, fg=0.$$
　ここで，このような$g$の中で，次数は最小になるように取っておく．
　すなわち，
$$\forall \tilde{g} \in A[X], (\tilde{g} \neq 0, f \tilde{g} = 0) \implies \deg g \leq \deg \tilde{g}.$$

　このとき，$a_i, b_j \in A$を用いて$f:=\sum_{i=0}^n a_i X^{n-i}, g:=\sum_{j=0}^m b_j X^{m-j}$とおく．
すなわち，

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n, \\ g=b_0X^m+b_1X^{m-1}+\cdots+b_m. \end{array} \right. \end{eqnarray}

　ただし，$a_0 \neq 0, b_0 \neq 0$である．

　ここで，各$k=0,1,\cdots,n$に対し$a_kg=0$を帰納的に示す．

　$k=0$の場合，$fg=0$の最高次係数を比較して，$a_0b_0=0$．
　すると，$a_0g=\sum_{j=1}^m a_0b_jX^{m-j}$であって，$\deg (a_0g) < \deg g$である．
　一方で，$f \cdot (a_0g) = a_0 \cdot (fg) = a_0\cdot 0 = 0 $．
　よって，$g$の次数の最小性により，$a_0 g = 0$でなくてはならない．

　$k>0$の場合，$a_0g=a_1g=\cdots=a_{k-1}g=0$と仮定する．
　$\tilde{f}:=f-\sum_{i=0}^{k-1}a_i X^{n-i} = \sum_{i=k}^n a_i X^{n-i}$とおく．
　すると$\tilde{f}g = fg-\sum_{i=0}^{k-1}a_i g \cdot X^{n-i} = 0$である．
　ここで，この最高次係数を比較することで，$a_kb_0 = 0$が従う．
　$a_kg = \sum_{j=1}^m a_k b_j X^{m-j}$であって，$\deg(a_kg) < \deg g$である．
　また，$f \cdot (a_k g) = a_k \cdot (fg) = a_k \cdot 0 = 0$．
　よって，$g$の次数の最小性より，$a_kg = 0 $が従う．

　以上より，$a_0g = a_1g = \cdots = a_n g = 0$が従う．
　特に，$a_0 b_0 = a_1b_0 = \cdots = a_n b_0 = 0$である．
　したがって，$b_0 f =0$である．
　ここで，$b_0 \neq 0$であるから，$n=1$の場合は示された．

Step2: $n$が一般の場合

　$f \in A[X_1,\cdots,X_n]$を零因子とする．
　このとき，$\exists g \in A[X_1,\cdots,X_n] \setminus \{0\}, fg = 0$．

　$N:=\max \{\deg f, \deg g\}+1$とおく．
　ただし，$f=0$の場合は$\deg f =-\infty$と解釈できるが，$\deg g \geq 0$なので$N \geq 1$である．
　もし$N=1$なら$\deg g = 0$であり，すなわち$g \in A$とわかり，この場合も明らか．
　よって，$N \geq 2$と仮定してよい．

　次の準同型を考える．ただし$A[T]$は$T$を不定元とする一変数多項式環である．
$$\varphi:A[X_1,\cdots,X_n] \to A[T], X_i \mapsto T^{N^{i-1}}.$$
(これは代入写像なので環準同型である．)

　さて，$N$次未満の多項式$h \in A[X_1,\cdots,X_n]$に対し，$\varphi(h)=0 \implies h=0$を示す．
　$\because$ マルチインデックス$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$及び係数$\lambda_\alpha \in A$を用いて$h(X_1,\cdots,X_n)=\sum_{\alpha} \lambda_\alpha X_1^{\alpha_1}\cdot \cdots \cdot X_n^{\alpha_n}$と表しておく．
　$\varphi(h) = 0$より，$\sum_{\alpha} \lambda_\alpha T^{\alpha_1+\alpha_2 N + \cdots + \alpha_n N^{n-1}}= 0$である．
　ここで，各$\alpha_i$について，$\alpha_i \leq \alpha_1+ \cdots + \alpha_n < N $であるから，マルチインデックス$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$が相異なれば$N$進数の一意性により$\alpha_1+\alpha_2 N + \cdots + \alpha_n N^{n-1} $も相異なる．
　($N$進法の定義のため$N\geq 2$を用いていることに注意しておく．)
　ゆえに，$\lambda_\alpha=0$が従う．
　したがって，$h=0$が従う．

　これを用いて，今$g\neq 0, \deg g < N$より，$\varphi(g) \neq 0$．
　一方$fg=0$より$\varphi(f)\varphi(g) = 0$である．
　ゆえに，$\varphi(f)$は$A[T]$の零因子である．
　よって$n=1$の場合の結果を用いて，$\exists a \in A \setminus \{0\}, a\varphi(f)= 0$．
　ここで，$a \in A$より$\varphi(a)=a$に注意して，$\varphi(a f) = a \varphi(f)=0$である．
　今，$\deg (af) \leq \deg f < N$なので，$af = 0$が従う．
　以上より，$\exists a \in A \setminus \{0\}, af = 0$が得られた．$\square$