DNAを構成する塩基が6種類や8種類ではないことの考察

$x$を$2$以上の偶数とする。
DNAを構成する塩基の種類が$x$種類であるとする。
長さ$n$のDNAを構成する時に、あらかじめ用意しておくべき塩基の個数を$N$とすると、$N=2nx$である。
長さ$n$のDNAで表現できる塩基配列のパターン数を$I$とすると、$I=x^n$である。
この時$n=\frac{N}{2x}$であるから$I=x^{\frac{N}{2x}}=(x^{\frac{1}{x}})^{\frac{N}{2}}$である。

$N$個のリソースで表現できるパターン数が$(x^{\frac{1}{x}})^{\frac{N}{2}}$であるため、$x^{\frac{1}{x}}$が大きいければ大きい程効率が良い。
正の実数$t$に対する関数$f(t)=t^{\frac{1}{t}}$を考えると、

• $(0,e]$で狭義単調増加
• $[e,∞)$で狭義単調減少
• $f(2)=f(4)=\sqrt{2}$

となるため、DNAを構成する塩基の種類が$6$種類や$8$種類であった場合、リソースに対する情報量が減り効率が悪い。

余談

この考え方の下では$3$進法が一番効率が良い。
平衡三進法$($ Balanced ternary $)$なる数記法があるらしい。