【提案】数列がどれくらい収束しやすいかを考えたい話

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どうも,k_xです.いまから,二つの数列をお見せします.どちらの方が"収束しやすそう"だと思いますか？
${a_{n}} = {0, 1, 0, 1, 0,,,} {b_{n}} = {0, 2, - 2, 4, - 4, 6, - 6, 8, - 8,,,}$
もちろんどちらも振動列なので収束しやすそうなどという言葉を使うのはおかしいのですが,僕にはなんとなく ${a_{n}}$ のほうが収束しやすそうだな〜という感覚があります.
この感覚を定式化する話です.つまり,一般に使われている数学用語ではなく,僕が勝手に何か言ってるだけです.
目次

1,チェザロ操作を定義する
2,数列の収束しやすさを定義する
3,諸予想

1,チェザロ操作を定義する

チェザロ操作

${a_{n}, k}$ を実数列とする.(正整数kによって数列が一つ決まるみたいな感覚で見てください) ${a_{n}, k}$ にチェザロ操作をした数列 ${a_{n}, k + 1}$ を以下で与える.
$a_{n, k + 1} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i, k}}{n}$

要するに数列にチェザロ操作をするというのは元の数列の第i項までの平均を取ったものを第i項とする数列をつくるということです.
例として冒頭の数列 ${a_{n}}$ にチェザロ操作をすると ${0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},,,}$ という数列が出来ます.そしてこれは $\frac{1}{2}$ に収束する数列です.このように,収束列でない数列もチェザロ操作をすれば収束列になることがあります.収束列にチェザロ操作をすると同じ値に収束する収束列になることと,発散列にチェザロ操作をしても発散列であることを考えると収束列になるために必要なチェザロ操作の回数が少なければ少ないほど収束しやすいと考えられそうです.(斜体で書いたところはチェザロ平均の性質から直ちに分かります.気になったら調べてみてください)