ポワソン和公式(Poisson summation formula)について
Poisson和公式とは
Poisson和公式(Poisson summation formula)とは、ある条件を満たす函数$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$に対して、そのフーリエ変換$\hat{f}$により等式
$$
\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(m)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)
$$
が成り立つというものである.
この記事では、Poisson和公式にて函数$f$に課されている条件を弱めることで、主張をどのように詳細化できるかをみていく。
準備
函数$e$を、$e(t)=\exp(2\pi it)$とする。
$L^2$函数$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$のFourier変換(Fourier transform)$\hat{f}$とは、以下で与えられる。
$$
\hat{f}(\xi)\coloneqq\int_{\mathbb{R}}f(x)e(-x\xi)dx,\quad \xi\in\mathbb{R}.
$$
Fourier変換は線形変換である。特に、$L^2(\mathbb{R})$上のユニタリ作用素である。Fourier変換の諸性質については、 フーリエ変換 - Wikipedia や Fourier transform in nLab などにまとめられている。
$L^2$函数$f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$の畳み込み(convolution)$f\ast g$とは、以下で与えられる。
$$
(f\ast g)(x)\coloneqq\int_{\mathbb{R}}f(t)g(x-t)dt,\quad x\in\mathbb{R}.
$$
この畳み込みにより、$f,g\in L^1\cap L^2$であれば$\hat{fg}=\hat{f}\ast\hat{g}$が成り立つ。
函数$f$がSchwartz函数(Schwartz function)であるとは、$C^\infty$級であって任意の$a,b\in\mathbb{N}$に対して正定数$C_{a,b}>0$が存在して$\sup_{x\in\mathbb{R}}\abs{x^af^{(b)}(x)}\leq C_{a,b}$を満たすときいう.
定義より明らかにSchwartz函数は$L^2$函数であるため、Fourier変換を行える。特に、Schwartz函数に対してFourier変換を繰り返し適用することができ、Schwartz函数$f$について$\hat{\hat{f}}(x)=f(-x),x\in\mathbb{R}$が成り立つ。
Schwartz函数$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$に対して, 次が成り立つ.
$$
\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(m)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)
$$
$F(x)=\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(x+m)$とすると、$F$は周期$1$の周期函数のため、Fourier展開$F(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_ne(nx)$が可能である。ここで、各$n\in\mathbb{Z}$に対して、
\begin{align*}
a_n
&=\int_0^1F(x)e(-nx)dx
=\int_0^1\left(\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(x+m)\right)e(-nx)dx\\
&=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\int_0^1f(x+m)e(-nx)dx
=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\int_0^1f(x+m)e(-nx)d(x+m)\\
&=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\int_m^{m+1}f(t)e(-n(t-m))dt
=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\int_m^{m+1}f(t)e(-nt)dt\\
&=\int_{\mathbb{R}}f(t)e(-nt)dt=\hat{f}(n)
\end{align*}
より、
$$
\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(x+m)=F(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)e(nx)
$$
なため、$x=0$を代入し、
$$
\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(m)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)
$$
を得る。
本題
まず、有界区間上に制限したFourier変換を定義する。
$[-T,T]$上で可積分な函数$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$に対して, $f$の切断Fourier$\hat{f}_T$を
$$
\hat{f}_T(\xi)\coloneqq\int_{-T}^{T}f(x)e(-x\xi)dx,\quad\xi\in\mathbb{R}.
$$
として定義する。
特に$f$がSchwartz函数なら各$\xi\in\mathbb{R}$に対して$\lim_{T\to\infty}\hat{f}_T(\xi)=\hat{f}(\xi)$となる。
これらを用いて、Poisson和公式を以下のように詳細化する。
$M,N,r\in\mathbb{N}$、$T,\delta\in\mathbb{R}$、$p\in[1,\infty]$として次の条件を満たすように取る。
$$
T=N+\delta,\quad r\geq 2
$$
このとき、$[-T,T]$上の$C^\infty$級函数$f$に対して次が成り立つ。
\begin{gather*}
\sum_{\abs{n}\leq N}f(n)=\sum_{\abs{m}\leq M}\hat{f}_T(m)+E_{N,M,\delta}(f)+R_{N,M,\delta}(f),\\
I=\{x\in\mathbb{R}\colon N<\abs{x}\leq T\},\\
\abs{E_{N,M,\delta}(f)}\ll_p\|f\|_{L^\infty(I)}\begin{cases}
(\delta{M})^{1/p},&p<\infty\\
\ln{M},&p=\infty
\end{cases},\\
\abs{R_{N,M,\delta}(f)}\ll_r\left(\sum_{j=0}^{r}\delta^{-(r-j)}\|f^{(j)}\|_{L^1([-T,T])}\right)M^{-(r-1)}
\end{gather*}
証明
準備
$N\in\mathbb{N}$と$\delta$について$T=N+\delta$とする。滑らかな階段函数$\rho\colon\mathbb{R}\to[0,1]$(i.e. $\rho$は$C^\infty$級かつ$\rho(x)=0(x\leq 0)$かつ$\rho(x)=1(x\geq 1$))に対して、函数$W_{N,\delta}$を
$$
W_{N,\delta}(x)\coloneqq\rho\left(\frac{T+x}{\delta}\right)\rho\left(\frac{T-x}{\delta}\right),\quad x\in\mathbb{R}
$$
とすると、次が成り立つ。
$W_{N,\delta}$に対して、次がそれぞれ成り立つ。
(1) $W_{N,\delta}$は$C^\infty$級函数である。
(2) $\operatorname{supp}W_{N,\delta}\subseteq[-T,T]$.
(3) $W_{N,\delta}\equiv 1$ on $[-N,N]$.
(4) $\|W_{N,\delta}^{(k)}\|_{\infty}\ll_k\delta^{-k},\ (k\in\mathbb{N})$.
特に、$W_{N,\delta}$はコンパクトな台を持つ$C^\infty$級函数である。
(1)～(3)は定義より明らかなため、(4)のみ示す。
$k\in\mathbb{N}$を任意に取り固定する。このとき、$s=\pm1$として
\begin{align*}
\left(\rho\left(\frac{T+sx}{\delta}\right)\right)^{(k)}
&=\frac{s}{\delta}\left(\rho^\prime\left(\frac{T+sx}{\delta}\right)\right)^{(k-1)}\\
&=\left(\frac{s}{\delta}\right)^2\left(\rho^{\prime\prime}\left(\frac{T+sx}{\delta}\right)\right)^{(k-2)}\\
&=\cdots\\
&=\left(\frac{s}{\delta}\right)^{k-1}\left(\rho^{(k-1)}\left(\frac{T+sx}{\delta}\right)\right)^{\prime}\\
&=\left(\frac{s}{\delta}\right)^{k}\rho^{(k)}\left(\frac{T+sx}{\delta}\right)
\end{align*}
なため、Leibniz則より、
$$
W_{N,\delta}^{(k)}(x)
=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\left(\rho\left(\frac{T+x}{\delta}\right)\right)^{(k-j)}\left(\rho\left(\frac{T-x}{\delta}\right)\right)^{(j)}
=\delta^{-k}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}(-1)^j\rho^{(k-j)}\left(\frac{T+x}{\delta}\right)\rho^{(j)}\left(\frac{T-x}{\delta}\right)
$$
なため、$C_k>0$が存在して$\|W_{N,\delta}^{(k)}\|_{\infty}\leq C_k\delta^{-k}$となる。
主定理の証明
$fW_{N,\delta}$はSchwarz函数なため、Poisson和公式より
$$
\sum_{\abs{n}\leq N}f(n)
=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)W_{N,\delta}(n)
=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\widehat{fW_{N,\delta}}(m)
$$
が成り立つ。ここで、$M\in\mathbb{N}$に対して、
$$
\sum_{m\in\mathbb{Z}}\widehat{fW_{N,\delta}}(m)
=\underbrace{\sum_{\abs{m}\leq M}\widehat{fW_{N,\delta}}(m)}_{\text{有限和}}+\underbrace{\sum_{\abs{m}>M}\widehat{fW_{N,\delta}}(m)}_{R}
$$
と有限和を取り出し、
$$
\sum_{\abs{m}\leq M}\widehat{fW_{N,\delta}}(m)
=\sum_{\abs{m}\leq M}\hat{f}_T(m)+E
$$
と分解する。ここで$F=f\cdot(W_{N,\delta}-1)$とすると、
\begin{align*}
E
&=\sum_{\abs{m}\leq M}\widehat{fW_{N,\delta}}(m)-\sum_{\abs{m}\leq M}\hat{f}_T(m)\\
&=\sum_{\abs{m}\leq M}\left(\widehat{(fW_{N,\delta})}_T(m)-\hat{f}_T(m)\right)\\
&=\sum_{\abs{m}\leq M}\hat{F}_T(m)
\end{align*}
であって、Dirichlet核$D_M(x)=\sum_{\abs{m}\leq M}e(-mx)$により$\sum_{\abs{m}\leq M}\hat{F}_T(m)=\int_{\abs{x}\leq T}F(x)D_M(x)dx$であって、$\abs{x}\leq N$において$F(x)=0$なため、
$$
E=\int_{N<\abs{x}\leq T}f(x)(W_{N,\delta}(x)-1)D_M(x)dx
$$
を得る。
$E$について
条件$1/p+1/q=1$を満たす$1\leq p,q\leq\infty$に対して、Hölderの不等式により
$$
\abs{E}\leq\|f\|_{L^p(I)}\|D_M\|_{L^q(I)},\quad I=\{x\in\mathbb{R}\colon N<\abs{x}\leq T\}
$$
であって、$\|D_M\|_{L^q(I)}\leq(2\delta)^{1/p}\|D_M\|_{L^q([0,1])}$より、
$$
\abs{E}\leq\|f\|_{L^\infty(I)}\cdot(2\delta)^{1/p}\|D_M\|_{L^q([0,1])}
$$
となる。なお、Dirichlet核については
$$
\|D_M\|_{L^q([0,1])}\asymp
\begin{cases}
\ln(2M+1),&q=1\\
(2M+1)^{1-1/q},&1< q<\infty\\
2M+1,&q=\infty
\end{cases}
$$
が成り立つ。よって、
$$
\abs{E}\ll_p
\|f\|_{L^\infty(I)}
\begin{cases}
(\delta M)^{1/p},&1\leq p<\infty.\\
\ln{M},&p=\infty.
\end{cases}
$$
$R$について
$r\geq 2$なる$r\in\mathbb{N}$ととる。このとき、$h=fW_{N,\delta}$とするとLeibniz則より
$$
h^{(r)}=\sum_{j=0}^r\binom{r}{j}f^{(j)}\,W_{N,\delta}^{(r-j)}
$$
なため、$\operatorname{supp}W_{N,\delta}\subseteq[-T,T]$より定数$C_r>0$が存在して、
$$
\|h^{(r)}\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C_r\sum_{j=0}^{r}\delta^{-(r-j)}\|f^{(j)}\|_{L^1([-T,T])}
$$
となるため、$\widehat{h}(m)=\frac{1}{(2\pi im)^r}\widehat{h^{(r)}}(m)$より
$$
\abs{R}
\leq\sum_{\abs{m}>M}\abs{\widehat{h}(m)}
\leq\frac{\|\widehat{h^{(r)}}\|_{L^1(\mathbb{R})}}{(2\pi)^r}\sum_{\abs{m}>M}\frac{1}{\abs{m}^r}
\leq\frac{2}{(2\pi)^r(r-1)}\|\widehat{h^{(r)}}\|_{L^1(\mathbb{R})}M^{-(r-1)}.
$$
すなわち、
$$
\abs{R}
\leq\frac{2C_r}{(2\pi)^r(r-1)}\left(\sum_{j=0}^{r}\delta^{-(r-j)}\|f^{(j)}\|_{L^1([-T,T])}\right)M^{-(r-1)}.
$$
を得る。
系
主定理において、特に$f$がSchwarz函数であれば、次が成り立つ。
$$
\lim_{N,M\to\infty}E_{N,M,\delta}(f)=\lim_{N,M\to\infty}R_{N,M,\delta}(f)=0
$$
主定理において、$\theta\in\mathbb{R}$として$\abs{\theta}<(2\pi\delta)^{-1}$とすると、$[-T,T]$上の$C^\infty$級函数$f$に対して次が成り立つ。
\begin{gather*}
\sum_{\abs{n}\leq N}f(n)e(n\theta)=\sum_{\abs{m}\leq M}\hat{f}_T(m-\theta)+E_{N,M,\delta,\theta}(f)+R_{N,M,\delta,\theta}(f),\\
I=\{x\in\mathbb{R}\colon N<\abs{x}\leq T\},\\
\abs{E_{N,M,\delta,\theta}(f)}\ll_p\|f\|_{L^\infty(I)}\begin{cases}
(\delta{M})^{1/p},&p<\infty\\
\ln{M},&p=\infty
\end{cases},\\
\abs{R_{N,M,\delta,\theta}(f)}\ll_r\left(\sum_{j=0}^{r}\delta^{-(r-j)}\|f^{(j)}\|_{L^1([-T,T])}\right)M^{-(r-1)}
\end{gather*}
