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大学数学基礎問題
代数的拡大の中間整域は体である
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$$\newcommand{pe}[0]{\mathfrak{p}}
\newcommand{Pe}[0]{\mathfrak{P}}
\newcommand{Qu}[0]{\mathfrak{Q}}
\newcommand{qu}[0]{\mathfrak{q}}
\newcommand{Spec}[0]{\mathop{\mathrm{Spec}}\nolimits}
$$
$K/k$を体の代数的拡大, $R$を$k$を含む$K$の部分環とする. このとき, $R$は体である.
$x\in R\setminus\{0\}$とすると, $x$は$k$上代数的であるから,
$$
x^{-1}\in k(x)=k[x]\subseteq R
$$
となる.
これから, 有限整域が体であることが示せる. 実際, 有限整域はその素体から分数体への拡大の中間整域であるが, これらの体は有限体であるから, この拡大は代数的である.
なお, この問は次の事実からも直ちに示される.
$A\subseteq B$を整域の整拡大とする. このとき, $A$が体であることと$B$が体であることは同値である.
投稿日：2023年10月21日
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代数学演習
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