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大学数学基礎問題

代数的拡大の中間整域は体である

可換環論,代数学,体論
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$$\newcommand{pe}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{Pe}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{Qu}[0]{\mathfrak{Q}} \newcommand{qu}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Spec}[0]{\mathop{\mathrm{Spec}}\nolimits} $$

$K/k$を体の代数的拡大, $R$を$k$を含む$K$の部分環とする. このとき, $R$は体である.

$x\in R\setminus\{0\}$とすると, $x$は$k$上代数的であるから,
$$ x^{-1}\in k(x)=k[x]\subseteq R $$
となる.

　これから, 有限整域が体であることが示せる. 実際, 有限整域はその素体から分数体への拡大の中間整域であるが, これらの体は有限体であるから, この拡大は代数的である.
　なお, この問は次の事実からも直ちに示される.

$A\subseteq B$を整域の整拡大とする. このとき, $A$が体であることと$B$が体であることは同値である.

投稿日：2023年10月21日

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