
&&&
$K/k$を体の代数的拡大, $R$を$k$を含む$K$の部分環とする. このとき, $R$は体である. 
&&&

&&&prf 
$x\in R\setminus\{0\}$とすると, $x$は$k$上代数的であるから, 
$$
\TextCenter
x^{-1}\in k(x)=k[x]\subseteq R
$$
となる. 
&&&

　これから, 有限整域が体であることが示せる. 実際, 有限整域はその素体から分数体への拡大の中間整域であるが, これらの体は有限体であるから, この拡大は代数的である. 
　なお, この問は次の事実からも直ちに示される. 

&&&
$A\subseteq B$を整域の整拡大とする. このとき, $A$が体であることと$B$が体であることは同値である. 
&&&









代数的拡大の中間整域は体である

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