局所化とテンソル積が可換になる例

まずはAtiyah&Macdonald『可換代数入門』命題3.7を証明抜きで紹介します。

(Atiyah&Macdonald 命題3.7)

$M, N$ を $A$ 加群とするとき $S^{- 1} A$ 加群の同型写像 $f : S^{- 1} M \otimes_{S^{- 1} A} S^{- 1} N \to S^{- 1} (M \otimes_{A} N)$
が存在して、次の式を満たすものがある。
$f ((m / s) \otimes (n / t)) = (m \otimes n) / s t$

特に $p$ を素イデアルとするとき、 $A_{p}$ 加群として次の同型が成り立つ。
$M_{p} \otimes_{A_{p}} N_{p} ≅ (M \otimes_{A} N)_{p}$

今回示すのはこれに似た以下の命題です。

可換環 $B$ が準同型 $f : A \to B$ により $A$ 代数とみなせるとする。 $M$ を $A$ 加群、 $q$ を $B$ の素イデアルとする。このとき $B_{q}$ 加群として以下の同型が成り立つ。
$B_{q} \otimes_{A} M ≅ (B \otimes_{A} M)_{q}$
また、 $p = f^{- 1} (q)$ とするとこれは $A$ の素イデアルで、 $A_{p}$ 加群として以下の同型が成り立つ。
$B_{q} \otimes_{A} M ≅ B \otimes_{A} M_{p} ≅ (B \otimes_{A} M)_{p}$

$B_{q}$ 加群として、
$(B \otimes_{A} M)_{q} ≅ B_{q} \otimes_{B} B \otimes_{A} M ≅ B_{q} \otimes_{A} M$
$A_{p}$ 加群として、
$(B \otimes_{A} M)_{p} ≅ B \otimes_{A} M_{p} ≅ B \otimes_{A} A_{p} \otimes_{A} M$
したがって、
$B \otimes_{A} A_{p} ≅ B_{q}$
を示せばよい。

$ϕ : B \times A_{p} \to B_{q}; ϕ ((b, a / s)) = b f (a) / f (s)$
と定義する。 $a / s$ と $a^{'} / s^{'}$ が同値なら、ある $t \in A - p$ があり、
$(a s^{'} - a^{'} s) t = 0$
であるから、
$(f (a) f (s^{'}) - f (a^{'}) f (s)) f (t) = 0$
が成り立つ。よって、 $ϕ$ はwell-definedである。また $ϕ$ は $A$ 双線形であるから、
$g : B \otimes_{A} A_{p} \to B_{q}; ϕ (b \otimes a / s) = b f (a) / f (s)$
が引き起こされる。次に
$h : B_{p} \to B \otimes_{A} A_{p}; h (b / s) = b \otimes (1 / t)$
と定義する。ただし $t \in A_{p}$ は $f (t) = s$ となる任意の元である。
$t, t^{'} \in A_{p}$ を $f (t) = f (t^{'}) = s$ となる任意の元とすると、
$b \otimes (1 / t) = b \otimes (t^{'} / t t^{'}) = b s \otimes (1 / t t^{'}) = b \otimes (1 / t^{'})$
だから、 $h$ はwell-definedである。 $g, h$ は互いに逆写像の関係にある。よって、
$B \otimes_{A} A_{p} ≅ B_{q}$
（また明らかに、この同型は $A_{p}$ 代数の同型でもある。）