局所化とテンソル積が可換になる例
まずはAtiyah&Macdonald『可換代数入門』命題3.7を証明抜きで紹介します。
$M,N$を$A$加群とするとき$S^{-1}A$加群の同型写像$f:S^{-1}M\otimes_{S^{-1}A} S^{-1}N\to S^{-1}(M\otimes_A N)$
が存在して、次の式を満たすものがある。
$f((m/s)\otimes(n/t))=(m\otimes n)/st$
特に$p$を素イデアルとするとき、$A_p$加群として次の同型が成り立つ。
$M_p\otimes_{A_p} N_p\cong (M\otimes_A N)_p$
今回示すのはこれに似た以下の命題です。
可換環$B$が準同型$f:A\to B$により$A$代数とみなせるとする。$M$を$A$加群、$q$を$B$の素イデアルとする。このとき$B_q$加群として以下の同型が成り立つ。
$B_q \otimes_A M \cong (B\otimes_A M)_q$
また、$p=f^{-1}(q)$とするとこれは$A$の素イデアルで、$A_p$加群として以下の同型が成り立つ。
$B_q\otimes_A M \cong B \otimes_A M_p \cong (B\otimes_A M)_p$
$B_q$加群として、
$(B \otimes_A M)_q \cong B_q\otimes_B B \otimes_A M \cong B_q\otimes_A M$
$A_p$加群として、
$(B\otimes_A M)_p\cong B\otimes_A M_p \cong B\otimes_A A_p \otimes_A M$
したがって、
$B\otimes_A A_p \cong B_q$
を示せばよい。
$\phi:B\times A_p\to B_q\,;\phi((b,a/s))=bf(a)/f(s)$
と定義する。$a/s$と$a^{\prime}/s^{\prime}$が同値なら、ある$t\in A-p$があり、
$(as^{\prime}-a^{\prime}s)t=0$
であるから、
$(f(a)f(s^{\prime})-f(a^{\prime})f(s))f(t)=0 $
が成り立つ。よって、$\phi$はwell-definedである。また$\phi$は$A$双線形であるから、
$g:B\otimes_A A_p\to B_q\,;\phi(b\otimes a/s)=bf(a)/f(s)$
が引き起こされる。次に
$h: B_p\to B\otimes_A A_p\,;h(b/s)=b\otimes(1/t)$
と定義する。ただし$t\in A_p$は$f(t)=s$となる任意の元である。
$t,t^{\prime}\in A_p$を$f(t)=f(t^{\prime})=s$となる任意の元とすると、
$b\otimes (1/t)=b\otimes (t^{\prime}/tt^{\prime})=bs\otimes(1/tt^{\prime})=b\otimes (1/t^{\prime})$
だから、$h$はwell-definedである。$g,h$は互いに逆写像の関係にある。よって、
$B\otimes_A A_p \cong B_q$
（また明らかに、この同型は$A_p$代数の同型でもある。）
$B\otimes_AM$が$(B,A)$複加群であることの面白さが如実に表れている命題になったかと思います。証明してみて、改めてテンソル積の有用性を感じました。最後まで閲覧ありがとうございました。
