院試を解く1 直積上の上限で定義される関数

今回は院試を解いていこうと思います.

東大平成25年 A5

$\phi\neq I\subseteq\mathbb{R}$とし, 有界な関数$f:\mathbb{R}\times I\to\mathbb{R}$に対して$f_{\text{sup}}(x)=\text{sup}_{y\in I}f(x,\ y)$により定める.
(1)$I=[0,\ 1]$, $f$が有界連続である時$f_{\text{sup}}$もまた連続であることを示せ.
(2)$I=(0,\ 1]$のとき, 有界連続な$f$であって$f_{\text{sup}}$が連続でないものの例を挙げよ.

$x_n\to x$, $x_n,\ x\in\mathbb{R}$とし, $\{f_{\text{sup}}(x_n)\}$の任意の部分列が$f_{\text{sup}}(x)$に収束する部分列を持つことを示す.
$\{f_{\text{sup}}(x_{n_k})\}_k$を部分列とする. $[0,\ 1]$のコンパクト性と$x$を固定した時の$f(x,\ y)$の連続性からある$y_{n_k}\in [0,\ 1]$が存在して$f(x_{n_k},\ y_{n_k})=f_{\text{sup}}(x_{n_k})$.
$[0,\ 1]$の点列コンパクト性から$y_{n_k}$の部分列$\{y_{m_k}\}$で$y_{m_k}\to y^{\prime}$($k\to\infty$)$y^{\prime}\in[0,\ 1]$となるものが存在する.このとき上限の性質から$f(x,\ y^{\prime})\leq f_{\text{sup}}(x)$.同様に
$f_{\text{sup}}(x)=f(x,\ y)$, $y\in [0,\ 1]$と置くことが出来る. $f$の連続性から任意の$\epsilon>0$に対し$(x,\ y)$のある近傍$U$が存在して
$f(x,\ y)-\epsilon< f(s,\ t)$($(s,\ t)\in U$)が成立する.$\{(s,\ t)\in \mathbb{R}\times[0,\ 1]:(s-x)^2+(t-y)^2<\delta^2\}\subseteq U$として$(x-x_{m_k})^2<\frac{\delta^2}{2}$なる$k$に対して$f(x,\ y)-\epsilon< f(x_{m_k},\ y)\leq f_{\text{sup}}(x_{m_k})=f(x_{m_k},\ y_{m_k})$.
$x_{m_k}\to x$, $y_{m_k}\to y^{\prime}$より$f(x,\ y)-\epsilon\leq f(x,\ y^{\prime})$.
よって$f_{\text{sup}}(x)=f(x,\ y^{\prime})$となり, 連続.
(2)$f(x,\ y)=\frac{(y-x)^2}{(y-x)^2+y^2}$は$\mathbb{R}\times I$で連続.$y=x$で$0$, $y\neq x$で$1$以下なので有界. $f_{\text{sup}}(x)$は$y=x$で$1$以上, $x=0$で$\frac{1}{2}$だから不連続.

投稿日：2024年1月4日

更新日：2024年1月4日

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