院試を解く1 直積上の上限で定義される関数

今回は院試を解いていこうと思います.

東大平成25年 A5

$ϕ \neq I \subseteq R$ とし, 有界な関数 $f : R \times I \to R$ に対して $f_{sup} (x) = {sup}_{y \in I} f (x, y)$ により定める.
(1) $I = [0, 1]$ , $f$ が有界連続である時 $f_{sup}$ もまた連続であることを示せ.
(2) $I = (0, 1]$ のとき, 有界連続な $f$ であって $f_{sup}$ が連続でないものの例を挙げよ.

$x_{n} \to x$ , $x_{n}, x \in R$ とし, ${f_{sup} (x_{n})}$ の任意の部分列が $f_{sup} (x)$ に収束する部分列を持つことを示す.
${f_{sup} (x_{n_{k}})}_{k}$ を部分列とする. $[0, 1]$ のコンパクト性と $x$ を固定した時の $f (x, y)$ の連続性からある $y_{n_{k}} \in [0, 1]$ が存在して $f (x_{n_{k}}, y_{n_{k}}) = f_{sup} (x_{n_{k}})$ .
$[0, 1]$ の点列コンパクト性から $y_{n_{k}}$ の部分列 ${y_{m_{k}}}$ で $y_{m_{k}} \to y^{'}$ ( $k \to \infty$ ) $y^{'} \in [0, 1]$ となるものが存在する.このとき上限の性質から $f (x, y^{'}) \leq f_{sup} (x)$ .同様に
$f_{sup} (x) = f (x, y)$ , $y \in [0, 1]$ と置くことが出来る. $f$ の連続性から任意の $ϵ > 0$ に対し $(x, y)$ のある近傍 $U$ が存在して
$f (x, y) - ϵ < f (s, t)$ ( $(s, t) \in U$ )が成立する. ${(s, t) \in R \times [0, 1] : (s - x)^{2} + (t - y)^{2} < δ^{2}} \subseteq U$ として $(x - x_{m_{k}})^{2} < \frac{δ^{2}}{2}$ なる $k$ に対して $f (x, y) - ϵ < f (x_{m_{k}}, y) \leq f_{sup} (x_{m_{k}}) = f (x_{m_{k}}, y_{m_{k}})$ .
$x_{m_{k}} \to x$ , $y_{m_{k}} \to y^{'}$ より $f (x, y) - ϵ \leq f (x, y^{'})$ .
よって $f_{sup} (x) = f (x, y^{'})$ となり, 連続.
(2) $f (x, y) = \frac{(y - x)^{2}}{(y - x)^{2} + y^{2}}$ は $R \times I$ で連続. $y = x$ で $0$ , $y \neq x$ で $1$ 以下なので有界. $f_{sup} (x)$ は $y = x$ で $1$ 以上, $x = 0$ で $\frac{1}{2}$ だから不連続.

投稿日：2024年1月4日

更新日：2024年1月4日

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