今回は院試を解いていこうと思います.
$\phi\neq I\subseteq\mathbb{R}$とし, 有界な関数$f:\mathbb{R}\times I\to\mathbb{R}$に対して$f_{\text{sup}}(x)=\text{sup}_{y\in I}f(x,\ y)$により定める.
(1)$I=[0,\ 1]$, $f$が有界連続である時$f_{\text{sup}}$もまた連続であることを示せ.
(2)$I=(0,\ 1]$のとき, 有界連続な$f$であって$f_{\text{sup}}$が連続でないものの例を挙げよ.