東大数理院試過去問解答例(2022A03)
ここでは東大数理の修士課程の院試の2022A03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
実数$a,b\in\mathbb{R}$について積分値
$$
\int_0^\infty\frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}dx
$$
を計算しなさい。
まず関数
$$
f_R(t)=\int_0^R\frac{\sin tx}{x}dx
$$
を考える。この関数は$R\to\infty$で、関数
$$
g(t):=\begin{cases}
\frac{\pi}{2}&(t>0)\\
0&(t=0)\\
-\frac{\pi}{2}&(t<0)
\end{cases}
$$
に各点収束する。よってFubiniの定理・有界収束定理から
$$
\begin{split}
\int_0^\infty \frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}dx&=\int_0^\infty\int_a^b\frac{\sin tx}{x}dtdx\\
&=\lim_{R\to\infty}\int_0^R\int_a^b\frac{\sin tx}{x}dtdx\\
&=\lim_{R\to\infty}\int_a^b\int_0^R\frac{\sin tx}{x}dxdt\\
&=\int_a^b \lim_{R\to\infty}\int_0^R\frac{\sin tx}{x}dxdt\\
&=\int_a^bg(t)dt
&=\color{red}\frac{\pi}{2}(|b|-|a|)
\end{split}
$$
が従う。
複素解析的に計算することも可能です。元々この方針の解答を用意していましたが、 こちら で簡潔な解答を見つけたので、後者を修正した上で載せることにしました。