Goncharovの余積のインデックスによる明示式

前の記事 で, $1$を含まないインデックスに対してGoncharovの余積のインデックスによる明示式を得た. 今回は一般のインデックスに対してそれを拡張したいと思う.

導出

前の記事 の記法をそのまま用いることにする. $(a_0,\dots,a_{N+1}):=(0,1,\{0\}^{k_1-1},\dots,1,\{0\}^{k_d-1},1)$として,
\begin{align} &\Delta(I(k_1,\dots,k_d))\\ &=\sum_{\substack{0\leq k\leq N\\0=i_0< i_1<\cdot< i_k< i_{k+1}=N+1}}\prod_{p=0}^kI(a_{i_p};a_{i_p+1},\dots,a_{i_{p+1}-1};a_{i_{p+1}})\otimes I(a_0;a_{i_1},\dots,a_{i_k};a_{N+1})\\ &=\sum_{0< s}\sum_{\substack{1\leq e_1,\dots,e_s,0\leq e_{s+1}\\1\leq f_1,\dots,f_s}}\sum_{\substack{0\leq k\leq N\\0=i_0< i_1<\cdots< i_k< i_{k+1}=N+1\\(a_{i_1},\dots,a_{i_k})=(\{1\}^{e_1},\{0\}^{f_1},\dots,\{1\}^{e_s},\{0\}^{f_s},\{1\}^{e_{s+1}})}}\prod_{p=0}^kI(a_{i_p};a_{i_p+1},\dots,a_{i_{p+1}-1};a_{i_{p+1}})\\ &\qquad{}\otimes I(\{1\}^{e_1-1},f_1+1,\dots,\{1\}^{e_s-1},f_s+1,\{1\}^{e_{s+1}}) \end{align}
となる. ここで, $a_{i_l}=a_{i_{l+1}}$かつ$i_l+1< i_{l+1}$の場合は
\begin{align} I(a_{i_l};a_{i_l+1},\dots,a_{i_{l+1}-1};a_{i_{l+1}})=0 \end{align}
となるので, $a_{i_l}=a_{i_{l+1}}$の場合は$i_l+1=i_{l+1}$である場合のみ考えればよい. そのとき
\begin{align} (i_1,\dots,i_k)=(l_1,\dots,l_1+e_1-1,r_1,\dots,r_1+f_1-1,\dots,l_s,\dots,l_s+e_s-1,r_s,\dots,r_s+f_s-1,l_{s+1},\dots,l_{s+1}+e_{s+1}-1) \end{align}
と表すことができる. ここで
\begin{align} a_{l_i+j}&=1,\qquad 0\leq j\leq e_i-1\\ a_{r_i+j}&=0,\qquad 0\leq j\leq f_i-1 \end{align}
である. これより
\begin{align} &\sum_{\substack{0\leq k\leq N\\0=i_0< i_1<\cdots< i_k< i_{k+1}=N\\(a_{i_1},\dots,a_{i_k})=(\{1\}^{e_1},\{0\}^{f_1},\dots,\{1\}^{e_s},\{0\}^{f_s},\{1\}^{e_{s+1}})}}\prod_{p=0}^kI(a_{i_p};a_{i_p+1},\dots,a_{i_{p+1}-1};a_{i_{p+1}})\\ &=\sum_{\substack{0< l_1< r_1<\cdots< l_s< r_s< l_{s+1}, l_{s+1}+e_{s+1}-1=N+1\\l_i+e_i-1< r_i\\r_i+f_i-1< l_{i+1}}}I(0;a_1,\dots,a_{i_l-1};1)\prod_{t=1}^sI(1;a_{l_{t}+e_t},\dots,a_{r_t-1};0)I(0;a_{r_t+f_t},\dots,a_{l_{t+1}-1};1) \end{align}
ここで,
\begin{align} (a_{l_t+e_t},\dots,a_{l_t-1})=(\{0\}^{k_1^{(t)}-1},1,\{0\}^{k_2^{(t)}-1},\dots,1,\{0\}^{k_{d_t}^{(t)}-1}) \end{align}
として, $\bk_t=(k_1^{(t)},\dots,k_{d_t}^{(t)})$と書いたとき, $l_t,l_{t+1}$を固定した和は
\begin{align} &\sum_{l_t+e_t-1< r_t< l_{t+1}-f_t+1}I(1;a_{l_t+e_t},\dots,a_{r_t-1};0)I(0;a_{r_t+f_t},\dots,a_{l_{t+1}-1};1)\\ &=\sum_{\substack{1\leq j\leq d_t\\0\leq a,b\\a+b+f_j=k_j^{(t)}-1}}I(1;\{0\}^{k_1^{(t)}-1},1,\dots,\{0\}^{k_{j-1}^{(t)}-1},1,\{0\}^a;0)I(0;\{0\}^b,1,\{0\}^{k_{j+1}^{(t)}-1},\dots,1,\{0\}^{k_{d_t}^{(t)}-1};1)\\ &=\sum_{\substack{1\leq j\leq d_t\\0\leq a,b\\a+b+f_j=k_j^{(t)}-1}}(-1)^{k_1^{(t)}+\cdots+k_{j-1}^{(t)}+a}I_a(k_{j-1}^{(t)},\dots,k_1^{(t)})I_b(k_{j+1}^{(t)},\dots,k_d^{(t)}) \end{align}
となる. これを代入して記号を整理すると,
\begin{align} &\Delta(I(k_1,\dots,k_d))\\ &=\sum_{\substack{0\leq s\\1\leq e_1,\dots,e_s,0\leq e_{s+1}\\(\bk_0,\{1\}^{e_1-1},\bk_1,\dots,\{1\}^{e_s-1},\bk_s,\{1\}^{e_{s+1}})=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_s\neq\varnothing }}I(\bk_0)\sum_{\substack{1\leq l_1\leq d_1\\1\leq f_1,0\leq a_1,b_1\\a_1+b_1+f_1=k_{l_1}^{(1)}-1}}\cdots\sum_{\substack{1\leq l_s\leq d_s\\1\leq f_s,0\leq a_s,b_s\\a_s+b_s+f_s=k_{l_s}^{(s)}-1}}\Bigg((-1)^{k_1^{(1)}+\cdots+k_{l_1}^{(1)}+a_1}I_{a_1}(k_{l_1-1}^{(1)},\dots,k_1^{(1)})I_{b_1}(k_{l_1+1}^{(1)},\dots,k_{d_1}^{(1)})\\ &\cdots\\ &\cdot (-1)^{k_1^{(s)}+\cdots+k_{l_s}^{(s)}+a_s}I_{a_s}(k_{l_s-1}^{(s)},\dots,k_1^{(s)})I_{b_s}(k_{l_s+1}^{(s)},\dots,k_{d_s}^{(s)})\Bigg)\otimes I(\{1\}^{e_1-1},f_1+1,\dots,\{1\}^{e_s-1},f_s+1,\{1\}^{e_{s+1}})\\ &=\sum_{\substack{0\leq s,e_1,\dots,e_{s+1}\\(\bk_0,\{1\}^{e_1},\bk_1,\dots,\{1\}^{e_s},\bk_s,\{1\}^{e_{s+1}})=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_s\neq\varnothing }}I(\bk_0)\sum_{\substack{1\leq l_1\leq d_1\\2\leq m_1,0\leq a_1,b_1\\a_1+b_1+m_1=k_{l_1}^{(1)}}}\cdots\sum_{\substack{1\leq l_s\leq d_s\\2\leq m_s,0\leq a_s,b_s\\a_s+b_s+m_s=k_{l_s}^{(s)}}}\Bigg((-1)^{k_1^{(1)}+\cdots+k_{l_1-1}^{(1)}+a_1}I_{a_1}(k_{l_1-1}^{(1)},\dots,k_1^{(1)})I_{b_1}(k_{l_1+1}^{(1)},\dots,k_{d_1}^{(1)})\\ &\cdots\\ &\cdot (-1)^{k_1^{(s)}+\cdots+k_{l_s-1}^{(s)}+a_s}I_{a_s}(k_{l_s-1}^{(s)},\dots,k_1^{(s)})I_{b_s}(k_{l_s+1}^{(s)},\dots,k_{d_s}^{(s)})\Bigg)\otimes I(\{1\}^{e_1},m_1,\dots,\{1\}^{e_s},m_s,\{1\}^{e_{s+1}}) \end{align}
となる. つまり以下を得る.

空でないインデックス$(k_1,\dots,k_d)$に対し,
\begin{align} \widehat{I}_m(k_1,\dots,k_d):=\sum_{\substack{1\leq l\leq d\\0\leq a,b\\a+b+m=k_l}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{l-1}+a}I_a(k_{l-1},\dots,k_1) I_b(k_{l+1},\dots,k_d) \end{align}
と書くことにすると, これは簡潔に
\begin{align} \Delta(I(\bk))&=\sum_{\substack{0\leq s,e_1,\dots,e_{s+1} \\2\leq m_1,\dots,m_s\\(\bk_0,\{1\}^{e_1},\bk_1,\dots,\{1\}^{e_s},\bk_s,\{1\}^{e_{s+1}})=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_s\neq\varnothing}}I(\bk_0)\widehat{I}_{m_1}(\bk_1)\cdots\widehat{I}_{m_s}(\bk_s)\otimes I(\{1\}^{e_1},m_1,\dots,\{1\}^{e_s},m_s,\{1\}^{e_{s+1}}) \end{align}
と表すことができる. これはさらにシャッフル代数の対蹠関係式より,
\begin{align} \widehat{I_1}(\bk)&=\begin{cases} 1&& \bk=(1)\\ 0&& \mathrm{otherwise} \end{cases} \end{align}
となることに着目すれば,
\begin{align} \Delta(I(\bk))=\sum_{\substack{0\leq s, 1\leq m_1,\dots,m_s\\(\bk_0,\bk_1,\dots,\bk_s)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_s\neq\varnothing}}I(\bk_0)\widehat{I}_{m_1}(\bk_1)\cdots\widehat{I}_{m_s}(\bk_s)\otimes I(m_1,\dots,m_s) \end{align}
とさらに簡潔に表すこともできる. また, $k_d\geq 2$のときは$e_{s+1}=0$の場合だけが残り,
\begin{align} \Delta(I(\bk))&=\sum_{\substack{0\leq s,e_1,\dots,e_{s} \\2\leq m_1,\dots,m_s\\(\bk_0,\{1\}^{e_1},\bk_1,\dots,\{1\}^{e_s},\bk_s)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_s\neq\varnothing}}I(\bk_0)\widehat{I}_{m_1}(\bk_1)\cdots\widehat{I}_{m_s}(\bk_s)\otimes I(\{1\}^{e_1},m_1,\dots,\{1\}^{e_s},m_s) \end{align}
と書くことができる.