多重Eisenstein級数のFourier級数展開

$\ZZ_M:=\{-M,-M+1,\dots,-1,0,1,\dots,M-1,M\}$とする. $k_1,\cdots,k_d\geq 2$に対し, 多重Eisenstein級数は
\begin{align} G_{k_1,\dots,k_d}(\tau)&:=\lim_{L\to\infty}\lim_{M\to\infty}\sum_{\substack{0\prec \lambda_1\prec\cdots\prec \lambda_d\\\lambda_1,\dots,\lambda_d\in\ZZ_L\tau+\ZZ_M}}\frac 1{\lambda_1^{k_1}\cdots\lambda_d^{k_d}}\\ &=\lim_{L\to\infty}\sum_{\substack{0\prec \lambda_1\prec\cdots\prec \lambda_d\\\lambda_1,\dots,\lambda_d\in\ZZ_L\tau+\ZZ}}\frac 1{\lambda_1^{k_1}\cdots\lambda_d^{k_d}}\\ \end{align}
によって定義される. ここで, $0\prec l\tau+m$は$l>0$であるか, $l=0$かつ$m>0$が成り立つことと定義され, $l\tau+m\prec l'\tau+m'$は$0\prec (l'-l)\tau+(m'-m)$を意味する. $k_d\geq 3$の場合は, 和は絶対収束するため, 単に
\begin{align} G_{k_1,\dots,k_d}(\tau):=\sum_{\substack{0\prec \lambda_1\prec\cdots\prec \lambda_d\\\lambda_1,\dots,\lambda_d\in\ZZ_L\tau+\ZZ_M}}\frac 1{\lambda_1^{k_1}\cdots\lambda_d^{k_d}} \end{align}
と書いてもよい. 今回はこの多重Eisenstein級数のFourier級数展開を求める.

導出

定義から,
\begin{align} &G_{k_1,\dots,k_d}(\tau)\\ &=\lim_{L\to\infty}\sum_{\substack{0\prec \lambda_1\prec\cdots\prec \lambda_d\\\lambda_1,\dots,\lambda_d\in\ZZ_L\tau+\ZZ}}\frac 1{\lambda_1^{k_1}\cdots\lambda_d^{k_d}}\\ &=\lim_{L\to\infty}\sum_{\substack{0\prec (l_1\tau+m_1)\prec\cdots\prec (l_d\tau+m_d)\\0\leq l_1\leq\cdots\leq l_d< L}}\frac 1{(l_1\tau+m_1)^{k_1}\cdots(l_d\tau+m_d)^{k_d}}\\ &=\lim_{L\to\infty}\sum_{i=1}^d\sum_{\substack{0\prec (l_1\tau+m_1)\prec\cdots\prec (l_d\tau+m_d)\\0=l_1=\cdots=l_i< l_{i+1}\leq\cdots\leq l_d< L}}\frac 1{(l_1\tau+m_1)^{k_1}\cdots(l_d\tau+m_d)^{k_d}}\\ &=\lim_{L\to\infty}\sum_{i=0}^d\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{i}\\0\prec (l_{i+1}\tau+m_{i+1})\prec\cdots\prec (l_d\tau+m_d)\\0< l_{i+1}\leq\cdots\leq l_d< L}}\frac 1{m_1^{k_1}\cdots m_i^{k_i}(l_{i+1}\tau+m_{i+1})^{k_{i+1}}\cdots(l_d\tau+m_d)^{k_d}}\\ &=\sum_{i=0}^d\zeta(k_1,\dots,k_i)\lim_{L\to\infty}\sum_{\substack{0\prec (l_{i+1}\tau+m_{i+1})\prec\cdots\prec (l_d\tau+m_d)\\ 0< l_{i+1}\leq\cdots\leq l_d< L}}\frac 1{(l_{i+1}\tau+m_{i+1})^{k_{i+1}}\cdots(l_d\tau+m_d)^{k_d}} \end{align}
となる. ここで, 全ての成分が$2$以上のインデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$に対して,
\begin{align} h_{\bk}(\tau):=\lim_{L\to\infty}\sum_{\substack{0\prec (l_{1}\tau+m_{1})\prec\cdots\prec (l_d\tau+m_d)\\ 0< l_{1}\leq\cdots\leq l_d< L}}\frac 1{(l_{1}\tau+m_{1})^{k_{1}}\cdots(l_d\tau+m_d)^{k_d}} \end{align}
とすると上の式は,
\begin{align} G_{k_1,\dots,k_d}(\tau)&=\sum_{i=0}^d\zeta(k_1,\dots,k_i)h_{k_{i+1},\dots,k_d}(\tau) \end{align}
と書き換えられることが分かる. よって, 以下$h$について考える. Multitangent functionを
\begin{align} \Psi_{k_1,\dots,k_d}(w):=\sum_{-\infty< n_1<\cdots< n_d<\infty}\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots(n_d+w)^{k_d}} \end{align}
とすると, $l_1,\dots,l_d$がとる値を重複を除いて$n_1<\cdots< n_j$と並べることによって, $\bk=(k_1,\dots,k_d)$として,
\begin{align} h_{\bk}(\tau)&=\lim_{L\to\infty}\sum_{\substack{0\prec (l_{1}\tau+m_{1})\prec\cdots\prec (l_d\tau+m_d)\\ 0< l_{1}\leq\cdots\leq l_d< L}}\frac 1{(l_{1}\tau+m_{1})^{k_{1}}\cdots(l_d\tau+m_d)^{k_d}}\\ &=\lim_{L\to\infty}\sum_{0< j}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j< L}\sum_{\substack{(\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\Psi_{\bk_1}(n_1\tau)\cdots\Psi_{\bk_j}(n_j\tau)\\ &=\sum_{\substack{0< j\\ (\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{\bk_1}(n_1\tau)\cdots\Psi_{\bk_j}(n_j\tau) \end{align}
と書き換えられることが分かる. ここで, Bouillotの定理 を用いると, $\bk_i=(k^{(i)}_1,\dots,k_{d_i}^{(i)})$として,
\begin{align} &h_{\bk}(\tau)\\ &=\sum_{\substack{0< j\\ (\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{\bk_1}(n_1\tau)\cdots\Psi_{\bk_j}(n_j\tau)\\ &=\sum_{\substack{0< j\\ (\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\left(\sum_{l_1=1}^{d_1}\sum_{\substack{2\leq m_1,0\leq a_1,b_1\\a_1+m_1+b_1=k_{l_1}^{(1)}}}(-1)^{k_1^{(1)}+\cdots+k_{l_1-1}^{(1)}+a_1}\zeta_{a_1}(k_{l_1-1}^{(1)},\dots,k_1^{(1)})\zeta_{b_1}(k_{l_1+1}^{(1)},\dots,k_{d_1}^{(1)})\Psi_{m_1}(n_1\tau)\right)\\ &\qquad\cdots\\ &\qquad\cdot\left(\sum_{l_j=1}^{d_j}\sum_{\substack{2\leq m_j,0\leq a_j,b_j\\a_j+m_j+b_j=k_{l_j}^{(1)}}}(-1)^{k_1^{(j)}+\cdots+k_{l_j-1}^{(j)}+a_j}\zeta_{a_j}(k_{l_j-1}^{(j)},\dots,k_1^{(j)})\zeta_{b_j}(k_{l_j+1}^{(j)},\dots,k_{d_j}^{(j)})\Psi_{m_j}(n_j\tau)\right)\\ &=\sum_{\substack{0< j\\ (\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{\substack{1\leq l_1\leq d_1\\2\leq m_1,0\leq a_1,b_1\\a_1+m_1+b_1=k_{l_1}^{(1)}}}\cdots \sum_{\substack{1\leq l_j\leq d_j\\2\leq m_j,0\leq a_j,b_j\\a_j+m_j+b_j=k_{l_j}^{(j)}}}\Bigg((-1)^{k_1^{(1)}+\cdots+k_{l_1-1}^{(1)}+a_1}\zeta_{a_1}(k_{l_1-1}^{(1)},\dots,k_1^{(1)})\zeta_{b_1}(k_{l_1+1}^{(1)},\dots,k_{d_1}^{(1)})\\ &\qquad\cdots\\ &\qquad\cdot(-1)^{k_1^{(j)}+\cdots+k_{l_j-1}^{(j)}+a_j}\zeta_{a_j}(k_{l_j-1}^{(j)},\dots,k_1^{(j)})\zeta_{b_j}(k_{l_j+1}^{(j)},\dots,k_{d_j}^{(j)})\Bigg)g_{m_1,\dots,m_j}(\tau) \end{align}
を得る. ここで, $g$は$k_1,\dots,k_d\geq 2$に対し,
\begin{align} g_{k_1,\dots,k_d}(\tau):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_d}\Psi_{k_1}(n_1\tau)\cdots\Psi_{k_d}(n_d\tau) \end{align}
と定義されるものである. $\Im(\tau)>0, q=e^{2\pi i\tau}$として, Lipschitzの公式
\begin{align} \Psi_k(\tau)=\frac{(-2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{0< n}n^{k-1}q^n \end{align}
を用いると,
\begin{align} g_{k_1,\dots,k_d}(\tau)&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_d}\Psi_{k_1}(n_1\tau)\cdots\Psi_{k_d}(n_d\tau)\\ &=\frac{(-2\pi i)^{k_1+\cdots+k_d}}{(k_1-1)!\cdots (k_d-1)!}\sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_d\\0< m_1,\dots,m_d}}m_1^{k_1-1}\cdots m_d^{k_d-1}q^{m_1n_1+\cdots+m_dn_d} \end{align}
とFourier級数展開できることが分かる. つまり以下が得られた.

Goncharovの余積による表示

以下の条件を満たす形式的な記号
\begin{align} I(a_0;a_1,\dots,a_N;a_{N+1})\qquad N\geq 0, a_i\in\{0,1\} \end{align}
全体が生成する可換環を$\mathcal{I}$を考える.

1. $a,b\in\{0,1\}$に対し, $I(a;b)=I(a;\varnothing;b)=1$
2. シャッフル関係式
   \begin{align} &I(a_0;a_1,\dots,a_N;a_{N+N'+1})I(a_0;a_{N+1},\dots,a_{N+N'};a_{N+N'+1})\\ &=\sum_{\sigma\in\Sigma(N,N')}I(a_0;a_{\sigma^{-1}(1)},\dots,a_{\sigma^{-1}(N+N')};a_{N+N'+1}) \end{align}
   を満たす. ここで, $\Sigma(N,N')$は$N+N'$次対称群の元$\sigma$であって$\sigma(1)<\cdots<\sigma(N),\quad \sigma(N+1)<\cdots<\sigma(N+N')$を満たすもの全体である.
3. 経路合成公式
   任意の$a_0,\dots,a_{N+1},x\in\{0,1\}$に対し
   \begin{align} I(a_0;a_1,\dots,a_N;a_{N+1})=\sum_{k=0}^NI(a_0;a_1,\dots,a_k;x)I(x;a_{k+1},\dots,a_N;a_{N+1}) \end{align}
   が成り立つ.
4. 任意の$N\geq 1$と$a,a_i\in\{0,1\}$に対し, $I(a;a_1,\dots,a_N;a)=0$である.

このような環$\mathcal{I}$の元$I(a_0;a_1,\dots,a_N;a_{N+1})$に対し, Goncharovの余積$\Delta:\mathcal{I}\to\mathcal{I}\otimes\mathcal{I}$を
\begin{align} &\Delta(I(a_0;a_1,\dots,a_N;a_{N+1}))\\ &=\sum_{\substack{0\leq k\leq N\\0=i_0< i_1<\cdots< i_k< i_{k+1}=N+1}}\prod_{j=0}^kI(a_{i_j};a_{i_j+1},\dots,a_{i_{j+1}-1};a_{i_{j+1}})\otimes I(a_0;a_{i_1},\dots,a_{i_{k}};a_{N+1}) \end{align}
によって定義する. $\{a\}^n$を$a$を$n$回繰り返したもの$a,\dots,a$として,
\begin{align} I(k_1,\dots,k_d):=I(0;1,\{0\}^{k_1-1},\dots,1,\{0\}^{k_d-1};1) \end{align}
とする. このとき, 通常の正規化された反復積分と全く同様にシャッフル関係式から
\begin{align} I_a(k_1,\dots,k_d)&=I(0;\{0\}^a,1,\{0\}^{k_1-1},\dots,1,\{0\}^{k_d-1})\\ &=(-1)^a\sum_{\substack{0\leq e_1,\dots,e_d\\e_1+\cdots+e_d=a}}I(k_1+e_1,\dots,k_d+e_d)\prod_{j=1}^d\binom{k_j+e_j-1}{e_j} \end{align}
が成り立つことが分かる. また, 経路合成公式において$a_0=a_{N+1}=0, x=1$としたものと$N$に関する帰納法を用いることによって, 任意の$a_1,\dots,a_N\in\{0,1\}$に対し
\begin{align} I(0;a_1,\dots,a_N;1)=(-1)^NI(1;a_N,\dots,a_1;0) \end{align}
が成り立つことも分かる. $I(k_1,\dots,k_d)$に対するGoncharovの余積を考える. 簡単のため$k_1,\dots,k_d\geq 2$としておく. $(a_0,\dots,a_{N+1})=(0,1,\{0\}^{k_1-1},\dots,1,\{0\}^{k_d-1},1)$として,
\begin{align} &\Delta(I(k_1,\dots,k_d))\\ &=\sum_{\substack{0\leq k\leq N\\0=i_0< i_1<\cdots< i_k< i_{k+1}=N+1}}\prod_{p=0}^kI(a_{i_p};a_{i_p+1},\dots,a_{i_{p+1}-1};a_{i_{p+1}})\otimes I(a_0;a_{i_1},\dots,a_{i_{k}};a_{N+1})\\ &=\sum_{0< j}\sum_{\substack{1\leq m_1,\dots,m_j\\m_1+\cdots+m_j\leq N}}\sum_{\substack{0\leq k\leq N\\0=i_0< i_1<\cdots< i_k< i_{k+1}=N+1\\(a_{i_1},\dots,a_{i_k})=(1,\{0\}^{m_1-1},\dots,1,\{0\}^{m_j-1})}}\prod_{p=0}^kI(a_{i_p};a_{i_p+1},\dots,a_{i_{p+1}-1};a_{i_{p+1}})\otimes I(m_1,\dots,m_j) \end{align}
ここで, $a_{i_l}=a_{i_{l+1}}=0$かつ$i_{l}+1< i_{l+1}$の場合は
\begin{align} I(a_{i_l};a_{i_l+1},\dots,a_{i_{l+1}-1};a_{i_{l+1}})=0 \end{align}
となるので, $a_{i_l}=a_{i_{l+1}}=0$の場合は$i_l+1=i_{l+1}$である場合のみ考えればよい. この場合,
\begin{align} (i_1,\dots,i_k)=(l_1,r_1,\dots,r_1+m_1-2,\dots,l_{j},r_j,\dots,r_j+m_j-2) \end{align}
という形に書くことができる. ここで, $a_{l_i}=1, a_{r_i}=0$である.
\begin{align} &\sum_{\substack{0\leq k\leq N\\0=i_0< i_1<\cdots< i_k< i_{k+1}=N+1\\(a_{i_1},\dots,a_{i_k})=(1,\{0\}^{m_1-1},\dots,1,\{0\}^{m_j-1})}}\prod_{p=0}^kI(a_{i_p};a_{i_p+1},\dots,a_{i_{p+1}-1};a_{i_{p+1}})\\ &=\sum_{\substack{0< l_1< r_1< l_2< r_2<\cdots< l_j< r_j< l_{j+1}=N+1\\r_i+m_i-2< l_{i+1}}}I(0;a_1,\dots,a_{l_1-1};1)\prod_{t=1}^jI(1;a_{l_t+1},\dots,a_{r_{t}-1};0)I(0;a_{r_t+m_t-1},\dots,a_{l_{t+1}-1};1) \end{align}
ここで,
\begin{align} (a_{l_t+1},\dots,a_{l_{t+1}-1})=(\{0\}^{k_1^{(t)}-1},1,\{0\}^{k_2^{(t)}-1}\dots,1,\{0\}^{k_{d_t}^{(t)}-1}) \end{align}
として, $\bk_t=(k_1^{(t)},\dots,k_{d_t}^{(t)})$と書いたとき, $l_t,l_{t+1}$を固定した和は
\begin{align} &\sum_{l_t< r_t< l_{t+1}-(m_t-2)}I(1;a_{l_t+1},\dots,a_{r_{t}-1};0)I(0;a_{r_t+m_j-1},\dots,a_{l_{t+1}-1};1)\\ &=\sum_{\substack{1\leq j\leq d_t\\0\leq a,b\\a+b+m_j=k_j^{(t)}}}I(1;\{0\}^{k_1^{(t)}-1},1,\dots,\{0\}^{k_{j-1}^{(t)}-1},1,\{0\}^a;0)I(0;\{0\}^b,1,\{0\}^{k_{j+1}^{(t)}-1},\dots,1,\{0\}^{k_{d_t}^{(t)}-1};1)\\ &=\sum_{\substack{1\leq j\leq d_t\\0\leq a,b\\a+b+m_j=k_j^{(t)}}}(-1)^{k_1^{(t)}+\cdots+k_j^{(t)}+a}I_a(k_j^{(t)},\dots,k_1^{(t)})I_b(k_{j+1}^{(t)},\dots,k_d^{(t)}) \end{align}
となる. $m_t=1$の場合, この和は経路合成公式によって$0$になることから, $m_1,\dots,m_j\geq 2$の項だけが残る.
\begin{align} (a_1,\dots,a_{l_0-1})=(1,\{0\}^{k_1^{(0)}-1},\dots,1,\{0\}^{k_{d_0}^{(0)}-1}) \end{align}
として, $\bk_0=(k_1^{(0)},\dots,k_{d_0}^{(0)})$とすると, $\bk=(\bk_0,\dots,\bk_j)$となっていることに注意して, これを代入して記号を整理すると以下を得る.

ここで,
\begin{align} (\zeta\otimes g)(I_a(\bk)\otimes I(\bl)):=\zeta_a(\bk)g_{\bl}(\tau) \end{align}
によって定義すると, これはwell-definedな準同型であり, 定理1より
\begin{align} (\zeta\otimes g)(\Delta(I(k_1,\dots,k_d)))&=\sum_{\substack{0\leq j\\ (\bk_0,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\zeta(\bk_0)\sum_{\substack{1\leq l_1\leq d_1\\2\leq m_1,0\leq a_1,b_1\\a_1+m_1+b_1=k_{l_1}^{(1)}}}\cdots \sum_{\substack{1\leq l_j\leq d_j\\2\leq m_j,0\leq a_j,b_j\\a_j+m_j+b_j=k_{l_j}^{(j)}}}\Bigg((-1)^{k_1^{(1)}+\cdots+k_{l_1-1}^{(1)}+a_1}\zeta_{a_1}(k_{l_1-1}^{(1)},\dots,k_1^{(1)})\zeta_{b_1}(k_{l_1+1}^{(1)},\dots,k_{d_1}^{(1)})\\ &\qquad\cdots\\ &\qquad\cdot(-1)^{k_1^{(j)}+\cdots+k_{l_j-1}^{(j)}+a_j}\zeta_{a_j}(k_{l_j-1}^{(j)},\dots,k_1^{(j)})\zeta_{b_j}(k_{l_j+1}^{(j)},\dots,k_{d_j}^{(j)})\Bigg)g_{m_1,\dots,m_j}(\tau)\\ &=\sum_{(\bk_0,\bl)=\bk}\zeta(\bk_0)h_{\bl}(\tau)\\ &=G_{\bk}(\tau) \end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.