Multitangent functionに関するBouillotの定理
$k_d\geq 2$であるようなインデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$に対し, 多重ゼータ値を
\begin{align}
\zeta(\bk):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_d}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_d^{k_d}}
\end{align}
によって定義する. また, $k_1,k_d\geq 2$であるようなインデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$に対しmultitangent functionを
\begin{align}
\Psi_{\bk}(w):=\sum_{-\infty< n_1<\cdots< n_d<\infty}\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots(n_d+w)^{k_d}}
\end{align}
によって定義する. また,
\begin{align}
\Psi_1(w):=\lim_{M\to\infty}\sum_{-M< n< M}\frac 1{n+w}=\pi\cot\pi w
\end{align}
とする. 今回はmultitangent functionに関する以下の定理を示す.
$k_1,k_d\geq 2$であるようなインデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$と$w\notin\ZZ$に対し,
\begin{align}
\Psi_{\bk}(w)&=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{2\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_d)\Psi_n(w)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
\zeta_a(k_1,\dots,k_d):=(-1)^a\sum_{\substack{0\leq e_1,\dots,e_d\\e_1+\cdots+e_d=a}}\zeta(k_1+e_1,\dots,k_d+e_d)\prod_{j=1}^d\binom{k_j+e_j-1}{e_j}
\end{align}
である.
以下, $k_d\geq 2$となるインデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$に対し, Hurwitz型多重ゼータ値を
\begin{align}
\zeta(k_1,\dots,k_d;w):=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_d}\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots (n_d+w)^{k_d}}
\end{align}
とする.
部分分数分解の式
\begin{align}
\frac 1{(w-t_1)\cdots(w-t_d)}&=\sum_{j=1}^d\frac 1{w-t_j}\frac 1{\prod_{i=1}^{j-1}(t_j-t_i)\prod_{i=j+1}^d(t_j-t_i)}
\end{align}
から始める. ここで, $t_i\mapsto t_i-n_i$とすると
\begin{align}
\frac 1{(n_1+w-t_1)\cdots(n_d+w-t_d)}&=\sum_{j=1}^d\frac 1{n_j+w-t_j}\frac 1{\prod_{i=1}^{j-1}(n_i-n_j+t_j-t_i)\prod_{i=j+1}^d(n_i-n_j+t_j-t_i)}
\end{align}
を得る. 形式的べき級数として両辺の$t_1^{k_1-1}\cdots t_d^{k_d-1}$の係数を比較すると,
\begin{align}
&\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots(n_d+w)^{k_d}}\\
&=[t_1^{k_1-1}\cdots t_d^{k_d-1}]\sum_{1\leq n,0\leq e_1,\dots,e_{j-1},e_{j+1},\dots,e_d}\sum_{j=1}^d\frac {t_j^{n-1+e_1+\cdots+e_{j-1}+e_{j+1}+\cdots+e_d}}{(n_j+w)^n}\frac{(-1)^{e_1+\cdots+e_{j-1}+e_{j+1}+\cdots+e_d}}{\prod_{i=1}^{j-1}(n_i-n_j-t_i)^{e_i+1}\prod_{i=j+1}^d(n_i-n_j-t_i)^{e_i+1}}\\
&=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq e_1,\dots,e_{j-1},e_{j+1},\dots,e_d\\e_1+\cdots+e_{j-1}+n+e_{j+1}+\cdots+e_d=k_j}}\frac {1}{(n_j+w)^n}[t_1^{k_1-1}\cdots t_{j-1}^{k_{j-1}-1}t_{j+1}^{k_{j+1}-1}\cdots t_d^{k_d-1}]\frac{(-1)^{e_1+\cdots+e_{j-1}+e_{j+1}+\cdots+e_d}}{\prod_{i=1}^{j-1}(n_i-n_j-t_i)^{e_i+1}\prod_{i=j+1}^d(n_i-n_j-t_i)^{e_i+1}}\\
&=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq e_1,\dots,e_{j-1},e_{j+1},\dots,e_d\\e_1+\cdots+e_{j-1}+n+e_{j+1}+\cdots+e_d=k_j}}\frac {1}{(n_j+w)^n}\frac{(-1)^{e_1+\cdots+e_{j-1}+e_{j+1}+\cdots+e_d}\prod_{i=1}^{j-1}\binom{k_i+e_i-1}{e_i}\prod_{i=j+1}^d\binom{k_i+e_i-1}{e_i}}{\prod_{i=1}^{j-1}(n_i-n_j)^{k_i+e_i}\prod_{i=j+1}^d(n_i-n_j)^{k_i+e_i}}
\end{align}
となる. よって, 両辺を$-\infty< n_1<\cdots< n_d<\infty$に関して足し合わせると
\begin{align}
\Psi_{k_1,\dots,k_d}(w)&=\lim_{M\to\infty}\sum_{-M< n_1<\cdots< n_d< M}\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq e_1,\dots,e_{j-1},e_{j+1},\dots,e_d\\e_1+\cdots+e_{j-1}+n+e_{j+1}+\cdots+e_d=k_j}}\frac {1}{(n_j+w)^n}\frac{(-1)^{e_1+\cdots+e_{j-1}+e_{j+1}+\cdots+e_d}\prod_{i=1}^{j-1}\binom{k_i+e_i-1}{e_i}\prod_{i=j+1}^d\binom{k_i+e_i-1}{e_i}}{\prod_{i=1}^{j-1}(n_i-n_j)^{k_i+e_i}\prod_{i=j+1}^d(n_i-n_j)^{k_i+e_i}}\\
&=\lim_{M\to\infty}\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq e_1,\dots,e_{j-1},e_{j+1},\dots,e_d\\e_1+\cdots+e_{j-1}+n+e_{j+1}+\cdots+e_d=k_j}}\sum_{n_j=-M}^M\frac {1}{(n_j+w)^n}\\
&\qquad\cdot(-1)^{e_1+\cdots+e_{j-1}}\prod_{i=1}^{j-1}\binom{k_i+e_i-1}{e_i}\sum_{-M< n_1<\cdots< n_j}\frac 1{\prod_{i=1}^{j-1}(n_i-n_j)^{k_i+e_i}}\\
&\qquad\cdot(-1)^{e_{j+1}+\cdots+e_d}\prod_{i=j+1}^d\binom{k_i+e_i-1}{e_i}\sum_{n_j< n_{j+1}<\cdots< n_d< M}\frac 1{\prod_{i=j+1}^d(n_i-n_j)^{k_i+e_i}}\\
&\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq e_1,\dots,e_{j-1},e_{j+1},\dots,e_d\\e_1+\cdots+e_{j-1}+n+e_{j+1}+\cdots+e_d=k_j}}\Psi_n(w)\\
&\qquad\cdot (-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}}\prod_{i=1}^{j-1}\binom{k_i+e_i-1}{e_i}\zeta(k_{j-1}+e_{j-1},\dots,k_1+e_1)\\
&\qquad\cdot(-1)^{e_{j+1}+\cdots+e_d}\prod_{i=j+1}^d\binom{k_i+e_i-1}{e_i}\zeta(k_{j+1}+e_{j+1},\dots,k_d+e_d)\\
&=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_d)\Psi_n(w)
\end{align}
を得る. ここで, 和を$n<0$と$0\leq n$で分けることによって,
\begin{align}
\Psi_{k_1,\dots,k_d}(w)&=\sum_{j=0}^d(-1)^{k_1+\cdots+k_j}\zeta(k_j,\dots,k_1;1-w)\zeta(k_{j+1},\dots,k_d;w)
\end{align}
が成り立つことと, $k_d\geq 2$のとき,
\begin{align}
\lim_{w\to \pm i\infty}\zeta(k_1,\dots,k_d;w)=0
\end{align}
となることから,
\begin{align}
\lim_{w\to i\infty}\Psi_{k_1,\dots,k_d}(w)=0
\end{align}
となることが分かる. よって,
\begin{align}
\Psi_{k_1,\dots,k_d}(w)&=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_d)\Psi_n(w)
\end{align}
において$w\to i\infty$とすると$\lim_{w\to i\infty}\Psi_1(w)=-\pi i$であることより
\begin{align}
0&=-\pi i\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{0\leq a,b\\a+1+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_d)
\end{align}
を得る. よって, $\Psi_1(w)$の係数は$0$となり,
\begin{align}
\Psi_{k_1,\dots,k_d}(w)&=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{2\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_d)\Psi_n(w)
\end{align}
を得る.
調和正規化
Hurwitz型多重ゼータ値の調和正規化を, $k_d\geq 2$のとき,
\begin{align}
\zeta^*(k_1,\dots,k_d;w)=\zeta(k_1,\dots,k_d;w)
\end{align}
であり,
\begin{align}
\zeta^*(1;w)=\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{n+w}-\frac 1{n+1}\right)
\end{align}
となるようなもので, 任意のインデックスに対し調和関係式
\begin{align}
\zeta^*(\bk;w)\zeta^*(\bl;w)=\zeta^*(\bk*\bl;w)
\end{align}
となるようなものとして定義する. この$\zeta^*(\bk;w)$がwell-definedで一意的に定まることは
多重ゼータ値の調和正規化
の場合と全く同様である. これを用いて, multitangent functionの調和正規化を
\begin{align}
\Psi^*_{k_1,\dots,k_d}(w):=\sum_{j=0}^d(-1)^{k_1+\cdots+k_j}\zeta^*(k_j,\dots,k_1;1-w)\zeta^*(k_{j+1},\dots,k_d;w)
\end{align}
と定義する. 以下, $\zeta^*(\bk):=\zeta^*(\bk;1)$として, $\{1\}^n:=1,\dots,1$を$1$が$n$個並んだものとする. このとき, 定理1の一般化として以下が成り立つ.
インデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$と$w\notin\ZZ$に対し,
\begin{align}
\Psi_{\bk}^*(w)&=\delta(k_1,\dots,k_d)+\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b^*(k_{j+1},\dots,k_d)\Psi_n(w)
\end{align}
が成り立つ. さらに$\bk$が$\{1\}^{2n+1}$の形の場合を除き, $\Psi_1$の係数は$0$である. ここで,
\begin{align}
\zeta_a^*(k_1,\dots,k_d)&:=(-1)^a\sum_{\substack{0\leq e_1,\dots,e_d\\e_1+\cdots+e_d=a}}\zeta^*(k_1+e_1,\dots,k_d+e_d)\prod_{j=1}^d\binom{k_j+e_j-1}{e_j}\\
\delta(k_1,\dots,k_d)&:=\begin{cases}
\displaystyle\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}&& \bk=\{1\}^{2n}\\
0&& \mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
である.
多重ゼータ値の調和正規化と全く同様に, ある$N, J>0$によって,
\begin{align}
\zeta_{< M}(\bk;w):=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_d< M}\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots(n_d+w)^{k_d}}=\zeta^*(k_1,\dots,k_d;w)+\sum_{j=1}^Nc_j\left(\gamma+\ln M\right)^j+O\left(\frac{\ln^JM}{M}\right)
\end{align}
と書けることを用いると, ある$N,J>0$によって
\begin{align}
\Psi^*_{k_1,\dots,k_d}(w)=\sum_{-M< n_1<\cdots< n_d< M}\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots(n_d+w)^{k_d}}+\sum_{j=1}^Nc_j\left(\gamma+\ln M\right)^j+O\left(\frac{\ln^JM}{M}\right)
\end{align}
と表されることが分かる. よって, $\Psi^*_{k_1,\dots,k_d}(w)$は周期$1$の周期関数であることが分かる. さらにこの表示より$\Psi_{k_1,\dots,k_d}^*$は$w\to 0$において
\begin{align}
\Psi_{k_1,\dots,k_d}^*(w)=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_{a}^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_{b}^*(k_{j+1},\dots,k_d)\frac 1{w^n}+O(1)
\end{align}
と表される. よって,
\begin{align}
f(w):=\Psi_{k_1,\dots,k_d}^*(w)-\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_{a}^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_{b}^*(k_{j+1},\dots,k_d)\Psi_n(w)
\end{align}
は$w$に関する周期関数であり, $w$に関して極を持たない. $k_d\geq 2$のとき, ある$J>0$があって, $w\to\pm i\infty$において
\begin{align}
\zeta^*(k_1,\dots,k_d,\{1\}^n;w)&=\zeta^*(k_1,\dots,k_d;w)\zeta^*(\{1\}^n;w)+\cdots\\
&=O\left(\frac{\ln^Jw}{w}\right)\\
\zeta^*(\{1\}^n;w)&=\frac 1{n!}\zeta^*(1;w)^n+O\left(\frac{\ln^Jw}{w}\right)\\
&=O(\ln^J w)\\
\end{align}
であることが分かるので, 少なくとも1つの成分が2以上であるような任意のインデックス$\bk$に対して, ある$J>0$があって, $w\to\pm i\infty$において
\begin{align}
\zeta^*(\bk;w)=O\left(\frac{\ln^Jw}{w}\right)
\end{align}
となることが分かる. よって,
\begin{align}
\Psi^*_{k_1,\dots,k_d}(w)=\sum_{j=0}^d(-1)^{k_1+\cdots+k_j}\zeta^*(k_j,\dots,k_1;1-w)\zeta^*(k_{j+1},\dots,k_d;w)
\end{align}
であることから, 少なくとも1つの成分が2以上であるような任意のインデックス$\bk$に対して,
\begin{align}
\lim_{w\to \pm i\infty}\Psi^*_{k_1,\dots,k_d}(w)=0
\end{align}
である. また, 定義から$\Psi^*$は調和関係式を満たすことが分かるので,
\begin{align}
\Psi_{\{1\}^d}^*(w)&=\frac 1{d!}\Psi_{1}^*(w)^d+O\left(\frac{\ln^Jw}{w}\right)
\end{align}
となることから, いずれにしても$w\to \pm i\infty$において$f(w)$が有限値に収束する. よって$f(w)$は周期関数であることから複素平面全域で有界になり定数であることが分かる. それを$\delta(k_1,\dots,k_d)$とする. このとき,
\begin{align}
\Psi_{k_1,\dots,k_d}^*(w)=\delta(k_1,\dots,k_d)+\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_{a}^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_{b}^*(k_{j+1},\dots,k_d)\Psi_n(w)
\end{align}
である. $\bk$が少なくとも1つの成分が2以上であるようなインデックスの場合, $w\to i\infty$として、
\begin{align}
0=\delta(k_1,\dots,k_d)-\pi i\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+1+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_{a}^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_{b}^*(k_{j+1},\dots,k_d)
\end{align}
となり, 実部と虚部をみると$\delta(k_1,\dots,k_d)$と$\Psi_1$の係数が$0$になることが分かる. また,
\begin{align}
\lim_{w\to i\infty}\Psi_{\{1\}^n}^*(w)&=\lim_{w\to i\infty}\left(\frac 1{n!}\Psi_{1}(w)^n+O\left(\frac{\ln^J w}{w}\right)\right)\\
&=\frac{(-i\pi)^n}{n!}
\end{align}
より,
\begin{align}
\Psi_{\{1\}^{n}}^*(w)&=\delta(\{1\}^{n})+C\Psi_1(w)\qquad \exists C\in\mathbb{R}
\end{align}
において, $w\to i\infty$として, それぞれ,
\begin{align}
\delta(\{1\}^{2n})&=\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}\\
\delta(\{1\}^{2n+1})&=0
\end{align}
を得る.
特に,
\begin{align}
\Psi_{\{1\}^{2n}}(w)&=\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}\\
\Psi_{\{1\}^{2n+1}}(w)&=\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n+1)!}\Psi_1(w)
\end{align}
が成り立つことが分かる.
