群に関する条件の性質

$K→G→G/H$の写像の合成の核が$f^{-1}(H)$であることから、準同型定理より、$K/f^{-1}(H)→G/H$が単射になることに従う。

(i)$\Longrightarrow$(ii)
$(H_i)_{i\in I}\subset S_p(G)$を取る。$G/H_i$は条件$p$を満たすため、$\prod_{i\in I}G/H_i$も$p$を満たすため、$G→\prod_{i\in I}G/H_i$の核が$\bigcap_{i\in I}H_i$であることに従う。
(ii)$\Longrightarrow$(i)
それぞれが$p$を満たす群の族$(G_i)_{i\in I}$を取る。ここで、$j\in I$に対して、$\prod_{i\in I}G_i/\prod_{i\in I,i≠j}G_i\simeq G_j$だから、$(\prod_{i\in I,i≠j}G_i)_{j\in I}$は$S_p(\prod_{i\in I}G_i)$に含まれ、この共通部分が自明であることに従う。
有限の場合も同様である。

$P:\mathfrak{J}→\mathfrak{P}$がwell-definedであることを示そう。
$G$が$P(j)$を満たすとする。このとき、$j(G)=0$より、$H→G$を単射とすれば、$j(H)→j(G)=0$も単射なので、$j(H)=0$より$H$も$P(j)$を満たす。
また、群の族$(G_i)_{i\in I}$のそれぞれが$P(j)$を満たす、つまり$j(G_i)=0$とする。
このとき、$G_i/j(G_i)=G_i$なので、
$p_i:\prod_{i\in I}G_i→G_k(k\in I)$を射影とすると、
$\prod_{i\in I}G_i→\prod_{i\in I}G_i/j(\prod_{i\in I}G_i)→G_k/j(G_k)=G_k(k\in I)$
と射影が分解され、直積の普遍性から、
$\prod_{i\in I}G_i→\prod_{i\in I}G_i/j(\prod_{i\in I}G_i)→\prod_{i\in I}G_i$
が得られる。ここでこの写像の合成が恒等写像になることから、特に一つ目の写像は単射で、よって$j(\prod_{i\in I}G_i)=0$を得る。
次に$J:\mathfrak{P}→\mathfrak{J}$がwell-definedであることを示す。
$J(p)(G)=\bigcap_{H\in S_p(G)}H$より$J(p)(G)$は$G$の正規部分群である。
ここで$f:G→G’$から、
$J(p)(G)=\bigcap_{H\in S_p(G)}H→\bigcap_{H’\in S_p(G’)}f^{-1}(H)→\bigcap_{H’\in S_p(G’)}H=J(p)(G’)$
が得られる。ここで一つ目が包含写像、二つ目は$f$から従う写像である。よって$J(p)$は関手であり、$J(p)(G)\in S(G)$に注意すると、$J(p)(G/J(p)(G))=0$を得る。

$G$が$P(J(p))$を満たすのは、$J(p)(G)=0$と同値で、$J(p)(G)\in S_p(G)$より、$G$が$p$を満たすことと同値である。

まず$J(P(j))(G)$とは$G/H$が$P(j)$を満たす$H$全体の共通部分であり、これは$j(G/H)=0$となる$H$全体の共通部分となる。ここで$j(G/j(G))=0$から、もし$j(G/H)=0$なら$j(G)\subset H$を示せば良い。
$j(G/H)=0$なる$H$に対し、
$G→G/H$が自然な射影として得られる。ここで、$j(G)→j(G/H)→G/H$から$j(G)→G/H$を得て、この写像の像は0である。またこの写像は$j(G)→G→G/H$とも分解できるため、$j(G)\subset H$を得る。

$j_*(G)=G/j(G)$となる関手$j$が存在することと定義2の後の注意と定理3から従う。

$P$がwell-definedであることを示す。
$j\in \mathfrak{J}$をとる。$G$が$P(j)$を満たすとする。このとき$H→G$をモノとする。このとき$j(G)=G$を満たすことから$H→j(H)→j(G)\simeq G$より射の合成はモノだから一つ目の射もモノである。よって一つ目の射がモノかつエピだから、エピとモノの分解の一意性より$H\simeq j(H)$を得る。
次にそれぞれが$p$を満たす対象の族$(G_i)_{i\in I}$を取る。$p_j:\prod_{i\in I}G_i→G_j$を取ると、この射は$\prod_{i\in I}G_i→j(\prod_{i\in I}G_i)→j(G_j)\simeq G_j$と分解されるため、$\prod_{i\in I}G_i→j(\prod_{i\in I}G_i)→\prod_{i\in I}G_i$が恒等射の分解となり、一つ目の射がモノかつエピだから同型となる。
$J$がwell-definedであることを示す。
対象$G$に対し、$S_p(G)$を$G→K$がエピかつ$K$が$p$を満たすようなものの$K$全体とする。ここで任意の対象$G$に対して$1\in S_p(G)$なので$S_p(G)$は空でないことに注意する。
このとき$f:A→B$を射としたとき、$φ:S_p(B)→S_p(A)$を次で定める。$K\in S_p(B)$に対して、$A→B→K$から$A→K$を得て、このエピとモノの分解によって、$A→K’→K$を得る。このとき$φ(K)=K’$とする。
さて$f:A→B$を$C$の射とする。このとき、$a:A→\prod_{H\in S_p(A)}H,b:B→\prod_{L\in S_p(B)}L$を取る。また自然な射$\prod_{H\in S_p(A)}H→\prod_{H\in φ(S_p(B))}H$があり、$f$によって引き起こされる射$\prod_{H\in φ(S_p(B))}→\prod_{L\in S_p(B)}L$が得られるため、$ψ:\prod_{H\in S_p(A)}H→\prod_{L\in S_p(B)}L$が得られる。ここで$ψ\circ a=b\circ f$であるため、$J(p)(A)=I(a)→I(b)=J(p)(B)$を得るため$J(p)$は関手であることが分かる。$A→I(a)=J(p)(A)$がエピであり、$J(p)(A)$は$p$を満たす。ここで$G$が$p$を満たすならば$J(p)(G)\simeq G$を示す。なぜなら、$G\in S_p(G)$であるから$G→\prod_{H\in S_p(G)}H$がモノであるためである。よって$J(p)\circ J(p)=J(p)$を得る。

$p\in \mathfrak{P}$を取る。$G$が$P(J(p))$を満たすのは$J(p)(G)=G$と同値であり、これは補題8の証明を参考にして$G$が$p$を満たすことと同値である。

$j\in \mathfrak{J}$を取る。$K\in S_{P(j)}(G)$に対し$G→j(G)→j(K)\simeq K$が得られるため、$j(G)→K$はエピである。よって、$j(G)→\prod_{K\in S_{P(j)}(G)}K$はモノなので、$J(P(j))(G)=j(G)$が得られる。