初めまして.悪い人と申します.2024年時点で地の底で数学科B2をやっています.
この度初めてMathlogに対して記事を投稿するということを行いますので,バカみたいな間違いを犯している可能性もありますから,その際はどうか優しくご指摘をいただければ幸いです.
さて,本題に移ります.集合論の写像について学んでいるとふと不満が沸き上がってきたのですよ.
写像
そして,逆の包含関係が成り立つためには上二つは単射で,一番下のは全射でなければならない,と.
そして,大体逆像に関してはイコールで成り立っている…….
ぼく「Huh?」
この悩みを少しでも減らしたい! ということで,写像の一般化としての対応を考えることで,このことについて考察してみたわけです.
色々ネットで調べてみると,写像の一般化はなんやかんやあって二項関係で考えれるよ~みたいな記述がよくあったんですが,よくわからなかったので今回は二項関係のことは考えず,あくまで写像の一般化として考えていきたいと思います.
二つの集合
・任意の
このとき,集合
いくつか注意を述べます.
まず,写像というのは終集合の一つの元のみ持つ部分集合を返しているというよりも,終集合のある一つの元を返していると解釈されるのが一般的なため,その齟齬に注意せずに安易にこれが写像の一般化であると言ってしまうのはヤバそうです.
また,
次に,対応の像について定義しておきます.
対応
さらに,
ただし,
ここで,容易にわかるとおり,
念のため確認しておくと,
さて,わかりやすさのため対応の例について考えてみましょう.
対応
このとき,
開区間
次に考えていくことは,対応がどういう状況で写像になるのかということです.
先ほど安易に対応を写像の一般化と見なすのはヤバそうだと注意しましたが,とはいえ対応の始集合の全ての元に対して一元集合を返すものを考えれば,それは写像と同一視できそうですね.
もしかしたら今から定義していく色々な言葉は普通に使われる文脈とは違った意味で定義をしていることがあるかもしれません.
今回ばかりはそういうものだと思ってください.
さて,左全域・右全域であるということについて定義したいと思います.
対応
また,
左全域というのは任意の
一方,右全域というのは任意の
対応
このとき,
また,
次に,左一意・右一意について定義していきます.
対応
左一意というのは単射な写像の一般化になっています.
一方で,部分写像というのは空集合にならないものは一元集合を返すということですから,写像であるための必要条件と言えそうですね.
対応
このとき
対応
ここで,
さて,写像というのは左全域な部分写像(左全域的かつ右一意的な対応)であると言えるわけです.
ここでは逆にこれを定義としてしまいます.
対応
必要のため,対応が等しいということについての定義をしておきます.
・
・
このとき,
また,写像における逆写像だとか,逆像という概念に関して,逆対応というものについて定義します.
・
・
おそらく本来ならば逆対応の条件を満たす二つの対応を取った時それは等しくなるから,一意に存在するという証明をしなければならないところですが,その証明はここでは省略します.
逆対応の像について,
写像の逆対応の像について
さて,逆対応に関する命題として2つのことが言えますので確認しておきます.
逆対応の逆対応は元々の対応と一致する.
すなわち,対応
対応
まず逆対応の逆対応と元々の対応について,その始集合,終集合は一致する.
また任意の
したがって,
(1). 左全域な対応の逆対応は右全域.
(2). 右全域な対応の逆対応は左全域.
(3). 左一意な対応の逆対応は右一意.
(4). 右一意な対応の逆対応は左一意.
(1).
すなわち,
(2).
すなわち,
(3).
すると,
もし
したがって,
すなわち,
(4).
すると
したがって,
写像の定義と逆対応の命題を考えれば,逆像というのは右全域的かつ左一意的な対応の像であるということが言えそうですね.
また,ある写像に関して,逆写像が存在するというのは逆対応が左全域的かつ右一意的な対応になるために,元々の写像が右全域的かつ左一意的な写像でなければならなくて,結果として左全域・右全域・左一意・右一意の全てを満たすこととなるんですね.
最後に,集合論の写像で学んだ不満というのを少しだけ解消していきたいと思います.
対応
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
以下例えば
(1).
したがって,
(2). まず,
このとき,
もし
もし
いずれにせよ,
一方,
もし,
もし,
いずれにせよ,
以上より,
(3).
すなわち,
(4).
すると,
つまり,
よって
したがって,
すなわち,
ここで仮定より,
これは
以上より,
(5).
したがって,
もし
となって,
したがって,
すなわち,
(6).
ここで,
よって,
ここで,
すると
よって,
仮定より,
したがって,
このとき,
すなわち,
以上より,
対応
このとき
一方で,
よって
対応
このとき
すると,
すなわち,
対応
このとき
すると,
すなわち,
以下の系は,命題3のそれぞれ
対応
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
以上のことを考えると,命題3 系(4)から,写像の逆像の共通部分と共通部分の逆像は等しいというのは,写像が右一意な対応になってるから言えるんですね.
命題3について,写像であるという厳しい条件のものに限らずに,対応でも同じようなことが言えそうだということがわかりました.
そもそも写像ってなんなんだろ~っていうところから集合論の教科書に書いてあったよくわからん式について考察を深めることで,色々学びになりました.
それではまたいつか~.