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距離函数を一般化した(かった)話

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はじめに

距離函数

集合X上の距離函数とは、次を満たす写像d:X×XRをいう。

  1. (正定値性) 任意のx,yXについて0d(x,y)であり、d(x,y)=0x=y
  2. (対称律) 任意のx,yXについてd(x,y)=d(y,x)
  3. (三角不等式) 任意のx,y,zXについてd(x,z)d(x,y)+d(y,z)

この距離函数の定義を見たとき、なぜ終域がRに限定されているのだろうと疑問を持ちました。当時はまぁそんなものかとスルーしていたのですが、最近ふと思い出して一般化してみようと思いました。
思い付きを書き綴ったので、話が散らかって読みづらい点があるかもしれません。ご容赦ください。

距離函数の一般化

距離函数の一般化

Rを(単位的かつ可換な)順序環とする。集合X上のR値距離函数とは、次を満たす写像d:X×XRをいう。

  1. (正定値性) 任意のx,yXについて0d(x,y)であり、d(x,y)=0x=y
  2. (対称律) 任意のx,yXについてd(x,y)=d(y,x)
  3. (三角不等式) 任意のx,y,zXについてd(x,z)d(x,y)+d(y,z)

定義1とほぼ同じです。違いは終域がRからRになったことのみです。全順序群や順序体でも同様に定義できますが、今回扱うトピックが主に環についてのものなので終域は環としました。以下、Rと書いたら順序環を表すものとします。一般化距離函数の例を見てみましょう。

Nnにマンハッタン距離を入れるとこれはZ値距離函数とみなせます。R値距離函数(つまり普通の距離函数)ともみなせますのであまり面白くない例ですが。

写像d:R×RR,(x,y)|xy|を考えるとこれはR上のR値距離函数になります。実際正定値性と対称律は明らかで、三角不等式はa,bRについて(|a|+|b|)a+b|a|+|b|が成り立つことからa=xy,b=yzを代入することにより示されます。
以下ではこれをR自然な距離と呼ぶことにします。

距離が定まると位相が定まります。といっても距離位相は通常の距離に対して定義されるものですので、一応定義しておきます。

一般化距離による位相

集合X上にR値距離函数dが定められているとする。Xの部分集合Uが開であることを、任意のxUに対して
rR s.t. (0<r{yXd(x,y)<r}U)
が成り立つことであると定める。Xの開部分集合全体をOとすると(X,O)は位相空間の公理を満たすので、これをdによる距離位相と呼ぶ。

多項式環

正直なところ、面白い順序環("数"っぽいもの以外を元にもつ環)を多項式環以外に思いつきませんでした。

多項式の辞書式順序

f,gR[X]について
f=a0+a1X+a2X3++amXmg=b0+b1X+b2X3++bnXn
a0,a1,a2,,am,b0,b1,b2,,bnRを定めるとき、f<gとは
a0=b0,a1=b1,a2=b2,,ak1=bk1,ak<bk
を満たす非負整数kが存在することをいう。また、この順序<R[X]辞書式順序と呼ぶ。

例えば、Z[X]の元として1+3x<2+x<2+x+x2, 1<12x34<1です。証明は省略しますが、これは全順序であってR[X]はこの順序について順序環を成します。この順序環に自然な距離を入れると、この距離位相に関してR[X]は位相環になります。本筋からは外れますがきれいだと思ったので証明しておきます。

多項式環の位相

辞書式順序を備えた順序環R[X]に自然な距離を入れると、距離位相についてR[X]は位相環となる。

f,g,εR[X] (ただし0<ε)を任意にとる。また、a,rR[X]に対してB(a,r):={xR[X]d(a,x)<r}と定める。
B(f,Xε)+B(g,Xε)B(f+g,2Xε)B(f+g,ε)
B(f,Xε)B(g,Xε)B(fg,Xε(|f|+|g|)+X2ε2)V(fg,ε)
より示された。

なお、順序環の自然な距離による位相が必ずしも位相環を作るとは限りません。実際、R[X]に次の順序<inv(辞書式順序の逆)を入れると反例になります:

f,gR[X]について
f=a0+a1X+a2X3++amXmg=b0+b1X+b2X3++bnXn
a0,a1,a2,,am,b0,b1,b2,,bnRを定め、d=max(degf,degg)とする。このときf<invgとは、
ad=bd,ad1=bd1,ad2=bd2,,ak+1=bk+1,ak<bk
を満たすd以下の非負整数kが存在することをいう。

点列の極限と多項式環の完備化

距離空間を見ると極限を考えたくなります。一般化距離空間における点列の極限を定義します。

点列の極限

XR値距離函数dを備えた一般化距離空間とし、点列(xn)Xを考える。xXについて
εR+:={rR0<r},NN s.t. [nN;N<nd(xn,x)<ε]
が成り立つとき、この点列がxに収束するといい、limnxn=xxnx (as n)などと書くことにする。

通常の距離空間での定義と同様です。例としてfn=Xnで定まるR[X]上の点列の極限を考えます。任意にεR[X]+をとって、「εN次の係数は非零」を満たすようにNNをとります。このときε>XN+1>XN+2>ですから、任意のN<nNについてfn=|fn0|<εが成り立ちます。以上よりlimnXn=0が得られました。

次に順序環を完備化します。

順序環の完備化

Rに自然な距離が入っているとする。R上のCauchy列(定義は省略)全体の集合(R)
(fn)+(gn):=(fn+gn),(fn)(gn):=(fngn)
で定義される加法演算と乗法演算をいれると(R)は環になる。イデアルI={(fn)(R)limnfn=0}による剰余環(R)/IR完備化と呼び、Rと書くことにする。

(R)が上記の演算によって環になることやI(R)のイデアルとなることの証明は省略します。(R)/Iは、直感的には(R)の元を収束値の違いのみで区別したものものです(収束列でないCauchy列があり得るので正確な表現とは言えませんが)。集合としては
(fn)(gn)deflimn|fngn|=0
で定まる同値関係(R)を割ったものと一致します。また、定数列(f)を含む剰余類(f)+IRfRと同一視することで、自然にRRとみなせます。

いよいよ本稿のメインテーマである多項式環の完備化です。

多項式環の完備化

多項式環の完備化R[X]は形式的冪級数環R[[X]]に同型である。

(fn)+IR[X]をとると、(fn)がCauchy列であることから任意の非負整数kに対してNkNが存在し、
m,nN;Nk<m,n|fmfn|<Xk
が成り立つ。したがって(fn)の第Nk項より後はk次の係数が一定値となる。よってakfNk+1k次の係数とすればこれはNkの取り方に依らず、しかも代表元(fn)の取り方にも依らずに定まる。この(ak)を用いて
φ:R[X]R[[X]],(fn)+Ia0+a1X+a2X2+
を考えるとこれはwell-definedな同型写像である。

やっていることは射影極限に似ていますが、こちらの方が自然な感じがします。また、任意のf(X)に対して(1f)limn(1+f+f2++fn)=1であるという意味で
n=0fn=11f
が成り立ちます。これと同様のことは形式的冪級数環でも成り立ちます(同型なので当たり前)が、極限が定義されていないので「fnにはn次未満の項がないから無限和のうちXnを含む項は高々有限個で各係数を決定するのに必要なのは実質的に有限和のみであってこの表記は正当」などと御託を並べることになります。今回の構成では環に極限が定義されているため、無限和を直接扱うことができるという強みがあります。

しかし…

色々と調べていたら、順序位相なるものの存在を知りました。

順序位相

Xを全順序集合とし、aXに対して
X<a:={xXx<a}X>a:={xXa<x}
とおく。{X<aaX}{X>aaX}を準開基とする位相をX順序位相という。

そして、この記事で定義した順序環の自然な距離位相は順序位相に一致します。順序位相自体は代数構造と無関係に定義できるので、一般化距離は順序位相の下位互換という感じです。また、 完備化 (環論) - Wikipedia にある方法で位相環を完備化できるようです。ということでこの記事は車輪の再発明となりました。

投稿日:2023911
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