とある級数をとく
級数を解く
どうも、らららです。
級数を解いていきます。
解く級数
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}(n!)^2}{n^2(2n)!}=\frac{\pi^2}{2}$$
この級数を解いていきます。
$\arcsin x$の級数展開を用いて証明することもできますが今回は別の方法で示していきます。
準備
$$\Gamma\left(n+\frac12\right)=\frac{(2n)!}{2^{2 n}n!}\sqrt{\pi}$$
証明は読者への課題とします。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=-\frac{\log(1-x)}{x}$$
証明は読者への課題とする。
\begin{align} \int_{0}^{1}x^{n-1}(1-x)^{m-1}\log x\ dx &=\frac{\partial}{\partial n}B(n,m) \\&=\frac{\Gamma(n)\Gamma(m)}{\Gamma(n+m)}\big(\psi(n)-\psi(n+m)\big) \end{align}
証明は読者への課題とします。
$$\psi’(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(n+s)^2}$$
証明は読者への課題とします。
解く
解いていきます。
\begin{align} S&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}(n!)^2}{n^2(2n)!} \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\frac{\frac{\Gamma(n)}{n}\sqrt{\pi}}{\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}} \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n}\frac{\Gamma(n)\Gamma\left(\frac12\right)}{\Gamma\left(n+\frac12\right)} \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n}B\left(n,\frac12\right) \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n}\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{\sqrt{1-x}}dx \\&=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}dx \\&=-\int_{0}^{1}\frac{\log(1-x)}{x\sqrt{1-x}}dx \\&=-\int_{0}^{1}\frac{\log x}{\sqrt{x}(1-x)}dx \\&=-\int_{0}^{1}x^{0-1}(1-x)^{\frac12-1}\log xdx \\&=-\left.\left.\frac{\partial}{\partial n}B(n,m)\right|_{n=0}\right|_{m=\frac12} \\&=\left.\left.\frac{\Gamma(n)\Gamma(m)}{\Gamma(n+m)}\big(\psi(n+m)-\psi(n)\big)\right|_{m=\frac12}\right|_{n=0} \\&=\left.\frac{\Gamma(n)\Gamma\left(\frac12\right)}{\Gamma\left(n+\frac12\right)}\left(\psi\left(n+\frac12\right)-\psi\left(\frac12\right)\right)\right|_{n=0} \\&=\lim_{n\to0}\frac{\Gamma(n)\Gamma\left(\frac12\right)}{\Gamma\left(n+\frac12\right)}\left(\psi\left(n+\frac12\right)-\psi\left(\frac12\right)\right) \\&=\lim_{n\to0}\Gamma(n)\left(\psi\left(n+\frac12\right)-\psi\left(\frac12\right)\right) \\&=\lim_{n\to0}\Gamma(n+1)\frac{\psi\left(n+\frac12\right)-\psi\left(\frac12\right)}{n} \\&=\psi’\left(\frac12\right) \\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(n+\frac12\right)^2} \\&=4\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n+1)^2} \\&=4\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n)^2}\right) \\&=4\left(\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}\right) \\&=\frac{\pi^2}2 \end{align}
積分と級数の交換の正当化は読者への課題とします。
極限求めるところ少し厳密ではありませんが許してください
級数を積分にして積分を級数にすることで解けました。
ベータ関数の微分の極限で積分を解きましたが別の方法で積分を解く方法もあります。
それがこちらです。
\begin{align} I&=\int_{0}^{1}\frac{\log(1-x)}{x\sqrt{1-x}}dx \\&=\int_{0}^{1}\frac{\log x}{\sqrt{x}(1-x)}dx \\&=\left.\frac{d}{dt}\int_{0}^{1}\frac{x^t}{1-x}dx\right|_{t=-\frac12} \\&=\left.\frac{d}{dt}\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}x^{t+n}dx\right|_{t=-\frac12} \\&=\left.\frac{d}{dt}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+t+1}\right|_{t=-\frac12} \\&=\left.-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+t+1)^2}\right|_{t=-\frac12} \\&=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(n+\frac12\right)^2} \\&=-4\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n+1)^2} \\&=-4\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n)^2}\right) \\&=-4\left(\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}\right) \\&=-\frac{\pi^2}2 \end{align}
このようにして積分を求められます。
積分と級数の交換や級数と微分の交換の正当化については読者の課題とします。
別解が思いついたら記事にするかもしれません。
おしまい！！