【高校生から始める群論】第0章 No.1 写像

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はじめに

こんにちは。このシリーズでは高校生以上を対象とした群論の解説をしていきたいと思います。そもそも群論のMathlogを見に来ている時点で，群論に関する知識は持っている方が多いと思いますが，懇切丁寧にわかりやすい解説を目指したいと思います。誤植・数学的な間違い等はコメントまたはTwitterのDMなどでお願いします。

第0章群論のための基礎知識

この章では，群論を学ぶために必要な基礎知識について学習します。大学1年生の教養数学などで学ぶものなので先取りしておいて損はありません。

1-1 写像

胡桃

先輩！なんか難しめの数学の本を読んでたら「写像」って言葉がたくさん出てきたんですけど，「写像」ってなんなんですか？

環

代数に限らず，大学数学を学ぶにあたって「写像」という概念は非常に重要になる。定義をしっかり確認しよう。

写像

集合$A$の任意の元に対してそれぞれ集合$B$の元をただ1つずつ指定する規則$f$があるとき，$f$を$A$から$B$への写像といい，下の記法で表す。
$$ f:A\to B$$
このとき，$A$を$f$の定義域，$B$を$f$の終域という。
また，元の対応関係を $a\mapsto f(a)$ と表し，写像と合わせて次のように表すことが多い。
$$ \begin{array}{ccc}　f \ \ \colon&A & \longrightarrow & B \\& ⫙ & & ⫙ \\ &a & \longmapsto & f(a) \end{array} \qquad $$
表示の都合上 $f:A\ni a\mapsto f(a)\in B$ と書くこともある。

胡桃

えっと，「任意の元」っていうのは「集合$A$のすべての元」っていう意味でしたよね。うーーーん，１つ１つの意味は分かるんですけど，全体として何が言いたいのか分かりません。。。

環

そうだね。大学数学からは，定義のキーポイントを押さえることが大切になる。
今回の写像の定義では次の２点がキーポイント。
・集合$A$の任意の元に対して
・集合$B$の元をただ１つずつ指定する

環

つまり，「集合$A$の元は$B$の元誰か１人と必ず関係を結んでいないといけない」ということ。$B$の誰とも対応していないとか，複数の$B$の元と対応しているとかはダメ。

環

逆に$B$の元に関しては規制はない。$A$の誰とも関係を結んでいない$B$の元が居てもいいし，複数の$A$と対応している$B$の元が居てもいい。
女子にはみんな彼氏がいるのに男子に彼女がいないのは，イケメンの男性に女性が集中しているからみたいなのと同じ。

胡桃

そのたとえはどうなんですか。。。(-_-;)
でも，それ今までにも似たやつありましたよね？「関数」もそんなルールだった気がするんですけど。

環

お，いい気づきだね。中学校で習った「関数」も写像と言える。

「$x$の値を決めると$y$の値がただ１つに決まるとき，$y$を$x$の関数という」

現代数学では終域を実数や複素数などの数からなる集合のとき「関数」ということが多く，「写像」はそれ以外に対しても普遍的に使うことが多い。

写像の例１

集合$A$を日本国民全員，集合$B$を日本国民の名前全体とする。
このとき，名前を対応させる規則 $f:A\ni x\mapsto \text{($x$の名前)}\in B$ は写像である。

写像の例２

集合$A=\{g(x)\mid g(x)=a_nx^n+a_{n-1}a^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\ (\text{$a_i$ はすべて実数})\}$，集合$B$を実数全体とする。
このとき，最高次の係数を対応させる規則 $f:A\ni g(x)\mapsto a_n\in B$ は写像である。

胡桃

みんな名前があるんだから必ず$B$の元が対応していて写像になってます！同姓の人がいるかもだけど，$B$の元が被るのは別にいいですもんね！

写像でない例１

集合$A$を高校生全員，集合$B$を部活全体とする。
このとき，部活を対応させる規則 $f:A\ni x\mapsto (\text{$x\,$の所属する部活})\in B$ は写像でない。

写像でない例２

集合$A$を0以上の実数，集合$B$を実数全体とする。
このとき，平方根を対応させる規則 $f:A\ni x \mapsto (\text{$x\,$の平方根})\in B$ は写像でない。

環

例３では，部活に所属していない高校生の対応先がなく，掛け持ちしている高校生は対応先が複数あることが問題。例４では，$x=0$ のときは $f(0)=0$ と１つに決まるが，$x\neq 0$ のときは $f(x)=\pm \sqrt{x}$ と複数対応することが問題。

胡桃

$A$の元に対してただ１つの$B$の元が対応することが大切なんですね！なんかそう考えたら簡単に思えてきました！

写像

次の規則のうち，写像であるものをすべて選べ。
(1) $A,B$を実数全体とする。$f:A\ni x\mapsto (\text{$x$を四捨五入した値})\in B$
(2) $A,B$を実数全体とする。$f:A\ni x\mapsto (\text{$\sin y=x$ となる $y $ })\in B$
(3) $A$を自然数全体，$B$を干支全体とする。$f:A\ni n\mapsto (\text{西暦$\,n\,$年の干支})\in B$

解答を見る

胡桃

(1) は$x$を四捨五入した値はただ１つに決まるので写像です！
(2) は写像じゃありません！だって，$\sin y=2$ となる実数$y$はありませんし，$\sin y=1/2$ となる実数$y$は $y=\pi /6,5\pi/6,\dots$ のようにたくさんありますもん！
(3) は年が決まれば干支も決まるので写像ですね！

$\kotae$ (1)写像である (2)写像でない (3)写像である

環

お見事ね，全部あってる。(2) は$A=\{x\mid-1\leqq x\leqq 1\},B=\{y\mid-\pi\leqq y\leqq \pi\}$ とすれば写像になる。

1-2 集合・写像の基礎用語

環

続いては，集合や写像に関する基礎用語を紹介する。

数の集合

次の記号は以下のような集合を指す。
　$\N$：自然数の集合 $(=\{0,1,2,\dots\})$
　$\Z$：整数全体の集合 $(=\{\dots,-2,-1,0,1,2\,\dots\} )$
　$\Q$：有理数全体の集合 $(=\{a/b \mid a,b\in\Z,b\neq 0\})$
　$\R$：実数全体の集合
　$\C$：複素数全体の集合 $(=\{a+bi \mid a,b\in \R\})$

胡桃

なるほど！よく使う集合なので，もう特別な記号を割り当てておくんですね！
あれ，自然数って$0$を含むんでしたっけ？自然数は正の整数だった気が...

環

そう。高校までは$0$を自然数に含めないけれど，大学数学では流派によっては$0$を含むこともある。あくまで，自然数などの用語は人間が決めたものだから，含めた方が楽な時は含める。今回は，赤雪江に合わせて含めることにしよう。

環

また，実数上の区間について以下のように表すことが多い。

実数の区間

$[a,b]=\{x\in\R \mid a\leqq x\leqq b\}$
$(a,b)=\{x\in\R \mid a< x< b\}$
$[a,b)=\{x\in\R \mid a\leqq x< b\}\ ,\ (a,b]=\{x\in\R \mid a< x\leqq b\}$
また，(1)のような区間を 閉区間 ，(2)のような区間を 開区間 という。

胡桃

例えば，$\sin x\ (x\in\R)$ の値域は $[-1,1]$ みたいなことですね！

環

そう，それであってる。ちなみに，開区間 $(-1,1)$ の表し方は座標のようにも見えてしまって，ちょっと不都合ね。

胡桃

たしかに...分かりにくいですね（笑）

写像の像・逆像

$f:A\to B$ を写像とする。
(1) $a\in A$ で $f(a)=b$ のとき，$b$は$a$の像である という。
　　また，$a$は$b$に「行く」などともいう。
(2) 部分集合 $S\subset A,T\subset B$ に対し，
$$ f(S)=\{f(a) \mid a\in S\ \}\ ,\ f^{-1}(T)=\{a\in A \mid f(a)\in T\ \} $$
　　とおき，$f(S)$ を $S$の像 ，$f^{-1}(T)$ を $T$の逆像 という。

胡桃

えっと，(1)の像と(2)の像は同じ話...？それとも違うんですか？というか，(2)の方は何がなんだか。。。

環

(1)は$A$の元に対する像を定義している。(2)は$S$は部分集合であって，$A$の部分集合に対する像を定義している。元に対してか，部分集合に対してかの違いだね。

環

$S$の像とは簡単に言えば，$S$の元を全て写像$f$で送ってその行き先を集めた集合のこと。$T$の逆像とは，$T$の元に飛んでくる$A$の元をすべて集めた集合。

胡桃

$S$のすべての元$a$に対して$f(a)$を集めたものが$f(S)$で，飛ばした先の$f(a)$が$T$に入る$\qty(f(a)\in T)$ような$S$の元$a$を集めたものが$f^{-1}(T)$...
なんとなく分かってきたかもです！

環

例で確認してみよう。百聞は一見に如かずだからね。

写像の像・逆像

$A=\{1,2,3,4\},B=\{a,b,c,d\}$とし，$f:A\to B$が以下を満たす写像とする。
$$ f(1)=a，f(2)=b，f(3)=b，f(4)=c$$
このとき，$A$の部分集合 $S=\{2,3,4\}$ の像は $f(S)=f(\{2,3,4\})=\{b,c\}$
　　　　　$B$の部分集合 $T=\{a,b\}$ の逆像は $f^{-1}(T)=f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2,3\}$
　　　　　$B$の部分集合 $U=\{d\}$ の逆像は $f^{-1}(U)=f^{-1}(\{d\})=\varnothing$

胡桃

$S$の像だったら，$f(2),f(3),f(4)$を考えて$a,b,b$ですよね！だから集合としては，$\{a,b\}$ になるんですね。$U$の逆像であれば，$f(x)=d$ となるような $x\in A$ はないから空集合$\varnothing$になる！！分かります！

環

そう，前も言ったけど終域側（$B$）の条件はないから，今回の$d$みたいに誰も飛んできていないとか，$b$みたいに複数から来ているなんてのもある。そこで，次のような写像の性質を考える意義が生まれる。

単射・全射・全単射

$f:A\to B$ を写像とする。
(1) $f(a)=f(a') \implies a=a'$ が成り立つとき，$f$は単射であるという。
(2) 任意の$b\in B$ に対し，$f(a)=b$ となる $a\in A$ があるとき，$f$は全射であるという。
(3) $f$が単射かつ全射のとき，$f$は 全単射 であるという。
(4) 集合$A$から集合$B$への全単射写像があるとき，$A$と$B$は １対１に対応する という。

胡桃

ちょっと待ってください...！一気に難しいです！！(3),(4)はいいとして，(1),(2)はどういう意味ですか...

環

(1)は単射，すなわち「$B$の元は射抜かれているなら誰か１人に射抜かれている」ということ。例えば，次の例を考えよう。これは単射か？

二乗する写像１

$\R_{>0}$ を正の実数の集合とする。$f:\R\ni x\mapsto x^2\in\R_{>0}$ は写像である。
つまり，$f(x)=x^2\ (\text{$x$ は実数全体をとる})$ は写像である。

胡桃

えっと，単射の定義は「$f(a)=f(a')\implies a=a'$」だから...えっと，どう確かめたらいいんでしょうか...？

環

終域 $\R_{>0}$ から１つとって，それに飛んでいく定義域 $\R$ の元を考えてみて。それがあるときに，いつでも１つだったら単射ってこと。

胡桃

たとえば，$4\in\R_{>0}$を考えると $f(x)=4$ となるのは $x=2,-2$ です！えっと，そしたら$f(2)=f(-2)=4$ なのに $2\neq -2$ なのだから，おかしいです！！つまり，これは単射じゃないんですね！

環

そう！行き先が同じ（$f(a)=f(a')$）なのに，その元々が違う（$a=a'$）のだから単射ではない。さっきの表現で言えば，$B$の元$4$を射抜く人が$2$と$-2$の二人いるから単射ではない。

環

ってことは，もし次の例だったらどう？

二乗する写像２

$\R_{>0}$ を正の実数の集合とする。$f:\R_{>0}\ni x\mapsto x^2\in\R_{>0}$ は写像である。
つまり，$f(x)=x^2\ (x>0)$ は写像である。

胡桃

定義域が $\R_{>0}$ に変わってます！このときはもしかして単射なんですか？

環

どうやって示す？感覚でではなくて，証明してみることが大切。

胡桃

やってみます。。。まず，$a,a'\in \R_{>0}$ について $f(a)=f(a')$ とします！で，今回は $f(x)=x^2$ だから，$a^2=a'{}^2$ です！つまり，$a^2-a'{}^2=(a+a')(a-a')=0$ ってなります！ここで，$a,a'\in\R_{>0}$ から $a,a'>0$ ってなるので，$a+a'>0$ です。そしたら，$a-a'=0$ となるので，$a=a'$ です！

環

いいね！ちゃんと示せてる。一応，以下に証明を載せておく。ちなみに，単射の定義は今回紹介したものの対偶をとった次のようにもよく言われる。

$a\neq a' \implies f(a)\neq f(a')$ が成り立つとき，$f$は単射である。

例７の写像が単射であることの証明

$f(a)=f(a')$ となる $a,a'\in\R_{>0}$ を考える。
このとき，$f(x)=x^2$ であるから，$a^2=a'{}^2$ となる。
ゆえに，$a^2-a'{}^2=(a+a')(a-a')=0$ である。
ここで，$a,a'\in\R_{>0}$ であるから，$a,a'?>0$ すなわち $a+a'>0$ を得る。
したがって，$a-a'=0$ となり，$a=a'$ である。
以上より，$f(a)=f(a')$ ならば $a=a'$ が成り立つので，$f$は単射である。$\qed$

環

次に，全射性について考えよう。定義を再掲すれば以下のよう。

任意の$b\in B$ に対し，$f(a)=b$ となる $a\in A$ があるとき，$f$は全射である

全射を簡単に言えば「$B$の元は全員誰かに射抜かれている」ということ。またまた変えた次の例を考えてみよう。

二乗する写像３

$\R_{>0}$ を正の実数の集合とする。$f:\R_{>0}\ni x\mapsto x^2\in\R$ は写像である。
つまり，$f(x)=x^2\ (x>0)$ は写像である。

胡桃

今度は終域が$\R$に広がってます！問題はこれが全射かどうかですよね。えっと，例えば$\R$の元の $-1\in \R$ について $f(x)=-1$ となる$x\in\R_{>0}$は存在しません！つまり，$-1$は誰にも射抜かれてないので，全射ではないです！！

環

よくできてる。任意の$b\in B$ に対して$a$がないといけないわけだから，一つでも射抜かれていないような$b$を見つけれれば否定できる。今回だったら$b=-1$ね。

環

じゃあ，二乗する写像２の全射性は示せる？

胡桃

多分いけます！えっと，任意の$b\in \R_{>0}$に対してそれに飛ぶような$a\in \R_{>0}$を１個でも明示できたらOKなんですよね。
えっと，まず任意の$b\in \R_{>0}$を考えます...。このとき，$b>0$ なのだから，$a=\sqrt{b}\in\R_{>0}$ が存在しますよね？そして，$f(a)=f(\sqrt{b})=(\sqrt{b})^2=b$ であるから，全射です！

環

完璧だね。存在性の証明は何か１つでも見つけられたらよかった。今回は終域の元 $b\in \R_{>0}$ に対して $a=\sqrt{b}\in\R_{>0}$という対応する定義域の元を見つけられたから，示すことができた。一応，以下に証明を載せておく。

例７の写像が全射であることの証明

$b\in \R_{>0}$ を任意にとる。ここで，$b>0$ であるから，$a=\sqrt{b}\in\R_{>0}$ が存在する。
このとき，$f(a)=f(\sqrt{b})=(\sqrt{b})^2=b$ が成り立つ。よって，全射。$\qed$

胡桃

おー！じゃあ，例７の写像 $f:\R_{>0}\ni x\mapsto x^2\in\R_{>0}$ は単射かつ全射なんですね！つまり，全単射って言えます！

環

そう！定義域と終域を絞った二乗する写像は全単射である。このとき，おもしろい写像を定義できる。それは，逆写像 $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ だ。

逆写像

$f:A\to B$ を全単射な写像とする。このとき，
$$ f^{-1}:B\in b\mapsto (f(a)=b \text{ となる $a$ })\in A$$
は写像となり，$f$の 逆写像 または 逆関数という。

環

本当に$f^{-1}$が写像になっているかは確かめておこう。

逆写像が写像となることの証明

まず，$f$は全射であるから，任意の$b\in B$に対して $f(a)=b$ となる$a\in A$は存在する。すなわち，任意の$B$の元に対して必ず$f^{-1}$の対応先が存在する。
また，$f$は単射であるから，$f(a)=b$ となる$a\in A$はただ１つである。よって，$f^{-1}$の対応先の一意性も示された。
したがって，$f^{-1}$は写像である。$\qed$

胡桃

定義域・終域や対応関係を逆転させたものが逆写像なんですね！全単射であれば，それらを逆転させてもちゃんと写像になってるってことですね。

環

$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ 以外にも有名な逆関数はいくつかある。一例を紹介しておく。

逆写像の例１

指数関数$f:[0,\infty)\in x \mapsto 2^x\in[0,\infty)$ は全単射で，逆写像が存在する。
これは，対数関数 $f^{-1}(x)=\log_2(x)$ である。

逆写像の例２

$f:[-\pi,\pi]\ni x \mapsto \sin{x}\in[-1,1]$ とすれば全単射で，逆写像が存在する。その逆写像を，$f^{-1}(x)=\arcsin(x)\ (x\in[-1,1])$ という。（読み方はアークサイン）
（注）$f^{-1}(x)=\sin^{-1}{x}$ と表すこともあるが，指数と勘違いしやすいので非推奨。
例えば，$f\qty(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\pi}{6},f(0)=0,f(-1)=-\pi$ である。