WhippleによるNearly-poised 4F3の変換公式
以下はWhippleによって1927年に示された公式である.
$n$を$0$以上の整数として,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(a,b,c,-n)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,w)_k}&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(1+a-b-c,1+a-w,-n)_k(a)_{2k}}{k!(1+a-b,1+a-c)_k(1-n+a-w)_{2k}}
\end{align}
が成り立つ.
まず,
Saalschützの和公式
より,
\begin{align}
\frac{(b,c)_k}{(1+a-b,1+a-c)_k}&=\sum_{0\leq l}\frac{(1+a-b-c,a+k,-k)_l}{l!(1+a-b,1+a-c)_l}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(a,b,c,-n)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,w)_k}&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,-n)_k}{k!(w)_k}\sum_{0\leq l}\frac{(1+a-b-c,a+k,-k)_l}{l!(1+a-b,1+a-c)_l}\\
&=\sum_{0\leq k,l}\frac{(a)_{k+l}(-n)_k}{(k-l)!(w)_k}\frac{(-1)^l(1+a-b-c)_l}{l!(1+a-b,1+a-c)_l}\\
&=\sum_{0\leq l}\frac{(-1)^l(1+a-b-c)_l}{l!(1+a-b,1+a-c)_l}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{k+l}(-n)_k}{(k-l)!(w)_k}
\end{align}
ここで, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{k+l}(-n)_k}{(k-l)!(w)_k}&=\frac{(-n)_l(a)_{2l}}{(w)_l}\sum_{0\leq k}\frac{(a+2l,l-n)_k}{k!(w+l)_k}\\
&=\frac{(-n)_l(a)_{2l}}{(w)_l}\frac{(w-a-l)_{n-l}}{(w+l)_{n-l}}\\
&=\frac{(w-a)_{n}}{(w)_n}\frac{(-n)_l(a)_{2l}(w-a+n)_{-2l}}{(w-a)_{-l}}\\
&=\frac{(w-a)_{n}}{(w)_n}\frac{(-1)^l(1+a-w,-n)_l(a)_{2l}}{(1-n+a-w)_{2l}}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq l}\frac{(-1)^l(1+a-b-c)_l}{l!(1+a-b,1+a-c)_l}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{k+l}(-n)_k}{(k-l)!(w)_k}\\
&=\frac{(w-a)_{n}}{(w)_n}\sum_{0\leq l}\frac{(1+a-b-c,1+a-w,-n)_l(a)_{2l}}{l!(1+a-b,1+a-c)_l(1-n+a-w)_{2l}}
\end{align}
となって定理が示される.
$(a)_{2k}=2^{2k}\left(\frac a2,\frac{a+1}2\right)_k$などを用いて一般超幾何級数の記法で書き換えると, 上の定理は
\begin{align}
\F43{a,b,c,-n}{1+a-b,1+a-c,w}1&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\F54{1+a-b-c,1+a-w,\frac a2,\frac{a+1}2,-n}{1+a-b,1+a-c,\frac{1-n+a-w}2,\frac{2-n+a-w}2}1
\end{align}
と表すことができる.
特に, $w=1+a+n$の場合, 右辺の${}_5F_4$が${}_4F_3$になり, 以下が得られる.
$n$を$0$以上の整数としたとき,
\begin{align}
\F43{a,b,c,-n}{1+a-b,1+a-c,1+a+n}1&=\frac{(1+n)_n}{(1+a+n)_n}\F43{1+a-b-c,\frac{a}2,\frac{a+1}2,-n}{1+a-b,1+a-c,\frac 12-n}1
\end{align}
が成り立つ.
定理1の一般化として次が成り立つ.
$a,d$のいずれかが$0$以下の整数であるとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,w)_k}&=\frac{\Gamma(w)\Gamma(w-a-d)}{\Gamma(w-a)\Gamma(w-d)}\sum_{0\leq k}\frac{(1+a-b-c,1+a-w,d)_k(a)_{2k}}{k!(1+a-b,1+a-c)_k(1+a+d-w)_{2k}}
\end{align}
が成り立つ.
$d$が$0$以下の整数のとき, 定理1である. 定理1において$m$を$0$以上の整数として, $a=-m$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(-m,b,c,-n)_k}{k!(1-m-b,1-m-c,w)_k}&=\frac{(w+m)_n}{(w)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(1-m-b-c,1-m-w,-n)_k(-m)_{2k}}{k!(1-m-b,1-m-c)_k(1-n-m-w)_{2k}}\\
&=\frac{(w+n)_m}{(w)_m}\sum_{0\leq k}\frac{(1-m-b-c,1-m-w,-n)_k(-m)_{2k}}{k!(1-m-b,1-m-c)_k(1-n-m-w)_{2k}}
\end{align}
よって, 両辺は$n$に関して多項式で全ての正の整数において一致するから, $d$の多項式として,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(-m,b,c,d)_k}{k!(1-m-b,1-m-c,w)_k}&=\frac{(w-d)_m}{(w)_m}\sum_{0\leq k}\frac{(1-m-b-c,1-m-w,d)_k(-m)_{2k}}{k!(1-m-b,1-m-c)_k(1-m+d-w)_{2k}}
\end{align}
が成り立つ. よって$a$が$0$以下の整数のときにも成り立つ.
