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WhippleによるNearly-poised 4F3の変換公式

以下はWhippleによって1927年に示された公式である.

Nearly-poised 4F3の変換公式

$n$ を $0$ 以上の整数として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b, c, - n)_{k}}{k! (1 + a - b, 1 + a - c, w)_{k}} & = \frac{(w - a)_{n}}{(w)_{n}} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 + a - b - c, 1 + a - w, - n)_{k} (a)_{2 k}}{k! (1 + a - b, 1 + a - c)_{k} (1 - n + a - w)_{2 k}} \end{aligned}$
が成り立つ.

まず, Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \frac{(b, c)_{k}}{(1 + a - b, 1 + a - c)_{k}} & = \sum_{0 \leq l} \frac{(1 + a - b - c, a + k, - k)_{l}}{l! (1 + a - b, 1 + a - c)_{l}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b, c, - n)_{k}}{k! (1 + a - b, 1 + a - c, w)_{k}} & = \sum_{0 \leq k} \frac{(a, - n)_{k}}{k! (w)_{k}} \sum_{0 \leq l} \frac{(1 + a - b - c, a + k, - k)_{l}}{l! (1 + a - b, 1 + a - c)_{l}} \\ = \sum_{0 \leq k, l} \frac{(a)_{k + l} (- n)_{k}}{(k - l)! (w)_{k}} \frac{(- 1)^{l} (1 + a - b - c)_{l}}{l! (1 + a - b, 1 + a - c)_{l}} \\ = \sum_{0 \leq l} \frac{(- 1)^{l} (1 + a - b - c)_{l}}{l! (1 + a - b, 1 + a - c)_{l}} \sum_{0 \leq k} \frac{(a)_{k + l} (- n)_{k}}{(k - l)! (w)_{k}} \end{aligned}$
ここで, Vandermondeの恒等式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(a)_{k + l} (- n)_{k}}{(k - l)! (w)_{k}} & = \frac{(- n)_{l} (a)_{2 l}}{(w)_{l}} \sum_{0 \leq k} \frac{(a + 2 l, l - n)_{k}}{k! (w + l)_{k}} \\ = \frac{(- n)_{l} (a)_{2 l}}{(w)_{l}} \frac{(w - a - l)_{n - l}}{(w + l)_{n - l}} \\ = \frac{(w - a)_{n}}{(w)_{n}} \frac{(- n)_{l} (a)_{2 l} (w - a + n)_{- 2 l}}{(w - a)_{- l}} \\ = \frac{(w - a)_{n}}{(w)_{n}} \frac{(- 1)^{l} (1 + a - w, - n)_{l} (a)_{2 l}}{(1 - n + a - w)_{2 l}} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq l} \frac{(- 1)^{l} (1 + a - b - c)_{l}}{l! (1 + a - b, 1 + a - c)_{l}} \sum_{0 \leq k} \frac{(a)_{k + l} (- n)_{k}}{(k - l)! (w)_{k}} \\ = \frac{(w - a)_{n}}{(w)_{n}} \sum_{0 \leq l} \frac{(1 + a - b - c, 1 + a - w, - n)_{l} (a)_{2 l}}{l! (1 + a - b, 1 + a - c)_{l} (1 - n + a - w)_{2 l}} \end{aligned}$
となって定理が示される.

$(a)_{2 k} = 2^{2 k} {(\frac{a}{2}, \frac{a + 1}{2})}_{k}$ などを用いて一般超幾何級数の記法で書き換えると, 上の定理は
$\begin{aligned} _{4} F_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, - n \\ 1 + a - b, 1 + a - c, w \end{array}; 1] & = \frac{(w - a)_{n}}{(w)_{n}}_{5} F_{4} [\begin{array}{c} 1 + a - b - c, 1 + a - w, \frac{a}{2}, \frac{a + 1}{2}, - n \\ 1 + a - b, 1 + a - c, \frac{1 - n + a - w}{2}, \frac{2 - n + a - w}{2} \end{array}; 1] \end{aligned}$
と表すことができる.

特に, $w = 1 + a + n$ の場合, 右辺の $_{5} F_{4}$ が $_{4} F_{3}$ になり, 以下が得られる.

$n$ を $0$ 以上の整数としたとき,
$\begin{aligned} _{4} F_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, - n \\ 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a + n \end{array}; 1] & = \frac{(1 + n)_{n}}{(1 + a + n)_{n}}_{4} F_{3} [\begin{array}{c} 1 + a - b - c, \frac{a}{2}, \frac{a + 1}{2}, - n \\ 1 + a - b, 1 + a - c, \frac{1}{2} - n \end{array}; 1] \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1の一般化として次が成り立つ.

Nearly-poised 4F3の変換公式

$a, d$ のいずれかが $0$ 以下の整数であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b, c, d)_{k}}{k! (1 + a - b, 1 + a - c, w)_{k}} & = \frac{Γ (w) Γ (w - a - d)}{Γ (w - a) Γ (w - d)} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 + a - b - c, 1 + a - w, d)_{k} (a)_{2 k}}{k! (1 + a - b, 1 + a - c)_{k} (1 + a + d - w)_{2 k}} \end{aligned}$
が成り立つ.

$d$ が $0$ 以下の整数のとき, 定理1である. 定理1において $m$ を $0$ 以上の整数として, $a = - m$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(- m, b, c, - n)_{k}}{k! (1 - m - b, 1 - m - c, w)_{k}} & = \frac{(w + m)_{n}}{(w)_{n}} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - m - b - c, 1 - m - w, - n)_{k} (- m)_{2 k}}{k! (1 - m - b, 1 - m - c)_{k} (1 - n - m - w)_{2 k}} \\ = \frac{(w + n)_{m}}{(w)_{m}} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - m - b - c, 1 - m - w, - n)_{k} (- m)_{2 k}}{k! (1 - m - b, 1 - m - c)_{k} (1 - n - m - w)_{2 k}} \end{aligned}$
よって, 両辺は $n$ に関して多項式で全ての正の整数において一致するから, $d$ の多項式として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(- m, b, c, d)_{k}}{k! (1 - m - b, 1 - m - c, w)_{k}} & = \frac{(w - d)_{m}}{(w)_{m}} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - m - b - c, 1 - m - w, d)_{k} (- m)_{2 k}}{k! (1 - m - b, 1 - m - c)_{k} (1 - m + d - w)_{2 k}} \end{aligned}$
が成り立つ. よって $a$ が $0$ 以下の整数のときにも成り立つ.