Saalschützの和公式

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Gaussの超幾何定理は,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b)_{n}}{n! (c)_{n}} & = \frac{Γ (c) Γ (c - a - b)}{Γ (c - a) Γ (c - b)} \end{aligned}$
と表される(Pochhammer記号は $(a, b)_{n} = (a)_{n} (b)_{n}$ のように省略している). Saalschützの和公式はその有限和への一般化である.

Saalschützの和公式

$0$ 以上の整数 $N$ に対して,
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(a, b, - N)_{n}}{n! (c, 1 + a + b - c - N)_{n}} = \frac{(c - a, c - b)_{N}}{(c, c - a - b)_{N}} \end{array}$
が成り立つ.

ここでは $3$ つの証明を与える.

係数比較による証明

Eulerの変換公式より,
$\begin{array}{r} (1 - x)^{a + b - c}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] =_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c - a, c - b \\ c \end{array}; x] \end{array}$
であるから, 両辺の $x^{N}$ の係数を比較すると,
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(a, b)_{n}}{n! (c)_{n}} \frac{(c - a - b)_{N - n}}{(N - n)!} = \frac{(c - a, c - b)_{N}}{N! (c)_{N}} \end{array}$
両辺に $\frac{N!}{(c - a - b)_{N}}$ を掛けて整理すると,
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(a, b, - N)_{n}}{n! (c, 1 + a + b - c - N)_{n}} = \frac{(c - a, c - b)_{N}}{(c, c - a - b)_{N}} \end{array}$
を得る.

N

に関する帰納法による証明

$N = 0$ のときは明らかに成り立つ. $0 < M$ とする. $N = 0, 1, \dots, M - 1$ のとき定理が成り立つと仮定して, $N = M$ のときに成り立つことを示す. $b = 0, - 1, \dots, - (M - 1)$ に対し, 帰納法の仮定より,
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{M} \frac{(a, b, - M)_{n}}{n! (c, 1 + a + b - c - M)_{n}} & = \frac{(c - a, c - (- M))_{- b}}{(c, c - a - (- M))_{- b}} \\ = \frac{(c - a, c + M)_{- b}}{(c, c - a + M)_{- b}} \\ = \frac{(c - a)_{M}}{(c)_{M}} \frac{(c)_{M - b} (c - a)_{- b}}{(c)_{- b} (c - a)_{M - b}} \\ = \frac{(c - a, c - b)_{M}}{(c, c - a - b)_{M}} \end{aligned}$
となって両辺は等しい. また, $b = c$ のとき,
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{M} \frac{(a, b, - M)_{n}}{n! (c, 1 + a + b - c - M)_{n}} & = \sum_{n = 0}^{M} \frac{(a, - M)_{n}}{n! (1 + a - M)_{n}} \\ = \sum_{n = 0}^{M} (\frac{(1 + a, 1 - M)_{n}}{n! (1 + a - M)_{n}} - \frac{(1 + a, 1 - M)_{n - 1}}{(n - 1)! (1 + a - M)_{n - 1}}) \\ = \frac{(1 + a, 1 - M)_{M}}{M! (1 + a - M)_{M}} \\ = 0 \\ = \frac{(c - a, c - b)_{M}}{(c, c - a - b)_{M}} \end{aligned}$
となって両辺は等しい, $(c - a - b)_{M}$ を掛けると,
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{M} \frac{(a, b, - M)_{n}}{n! (c)_{n}} (- 1)^{M - n} (c - a - b)_{M - n} & = \frac{(c - a, c - b)_{M}}{(c)_{M}} \end{aligned}$
が $b = 0, - 1, \dots, - (M - 1), c$ の $M + 1$ 個の点で成り立ち, 両辺は $b$ に関する $M$ 次の多項式であるから, 両辺は恒等的に等しい.

作用素による証明

$a \mapsto a - x, b \mapsto a + x, c \mapsto a + b$ と置き換えて,
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(- N)_{n}}{n! (a + b, 1 + a - b - N)_{n}} (a - x, a + x)_{n} = \frac{(b - x, b + x)_{N}}{(b - a, b + a)_{N}} \end{array}$
を示せばよい. 作用素 $T$ を関数 $f$ に対して,
$\begin{array}{r} T f (x) := \frac{f (x + \frac{1}{2}) - f (x - \frac{1}{2})}{1 - 2 x} \end{array}$
と定義する.
$\begin{aligned} T (a - x, a + x)_{n} & = \frac{1}{1 - 2 x} ({(a - x - \frac{1}{2}, a + x + \frac{1}{2})}_{n} - {(a - x + \frac{1}{2}, a + x - \frac{1}{2})}_{n}) \\ = \frac{1}{1 - 2 x} ((a - x - \frac{1}{2}) (a + x + n - \frac{1}{2}) - (a + x - \frac{1}{2}) (a - x + n - \frac{1}{2})) {(a + \frac{1}{2} - x, a + \frac{1}{2} + x)}_{n} \\ = n {(a + \frac{1}{2} - x, a + \frac{1}{2} + x)}_{n - 1} \end{aligned}$
よって, これを繰り返して
$\begin{array}{r} T^{k} (a - x, a + x)_{n} = \frac{n!}{(n - k)!} {(a + \frac{k}{2} - x, a + \frac{k}{2} + x)}_{n - k} \end{array}$
である. $(b - x, b + x)_{N}$ は偶関数であるから, ある係数 $c_{n}$ があって,
$\begin{array}{r} (b - x, b + x)_{N} = \sum_{k = 0}^{N} c_{k} (a - x, a + x)_{k} \end{array}$
と展開できる. 両辺に $T^{n}$ を作用させると,
$\begin{array}{r} \frac{N!}{(N - n)!} {(b + \frac{n}{2} - x, b + \frac{n}{2} + x)}_{N - n} = \sum_{k = n}^{N} c_{k} \frac{k!}{(k - n)!} {(a + \frac{n}{2} - x, a + \frac{n}{2} + x)}_{k - n} \end{array}$
ここで, $x = a + \frac{n}{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \frac{N!}{(N - n)!} (b - a, b + a + n)_{N - n} & = n! c_{n} \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} c_{n} & = \frac{N!}{(N - n)! n!} (b - a, b + a + n)_{N - n} \\ = (b - a, b + a)_{N} \frac{(- N)_{n}}{n! (a + b, 1 + a - b - N)_{n}} \end{aligned}$
となって示したかった式を得る.

Saalschützの和公式において, $N \to \infty$ とすると, $\frac{(c - a, c - b)_{N}}{(c, c - a - b)_{N}} \to \frac{Γ (c) Γ (c - a - b)}{Γ (c - a) Γ (c - b)}$ となってGaussの超幾何定理が得られる. Saalschützの和公式を超幾何級数の記法で
$\begin{array}{r} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} a, b, - N \\ c, 1 + a + b - c - N \end{array}; 1] = \frac{(c - a, c - b)_{N}}{(c, c - a - b)_{N}} \end{array}$
表される. このとき, 左辺の上の段の和に $1$ を足したものは $a + b - N + 1$ であり, 下の段の和に等しい. 一般に $_{3} F_{2}$ 超幾何級数
$\begin{array}{r} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ d, e \end{array}; 1] \end{array}$
は, $a + b + c + 1 = d + e$ のとき, balancedであるといい, $a, b, c$ のどれか一つが負の整数のとき, terminatingであるという. このような用語を用いると, Saalschützの和公式は, balancedでterminatingな $_{3} F_{2}$ 超幾何級数はPochhammer記号の積として書けるということを意味している. ここにおいて, terminatingであるという仮定は重要であり, 一般にterminatingではない
$\begin{array}{r} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ d, e \end{array}; 1] \end{array}$
はガンマ関数として書けるとは限らない. この場合へのSaalschützの和公式の一般化として, non-terminating Saalschützの和公式が知られている.

Saalschützの和公式は Whippleの $_{4} F_{3}$ 変換公式
$\begin{array}{r} _{4} F_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, - N \\ d, e, f \end{array}; 1] = \frac{(e - a, f - a)_{N}}{(e, f)_{N}}_{4} F_{3} [\begin{array}{c} a, d - b, d - c, - N \\ d, 1 - N + a - e, 1 - N + a - f \end{array}; 1], (a + b + c + 1 = d + e + f + N) \end{array}$
の特別な場合になっている. 先ほどの証明の中で, 係数比較による証明はWhippleの $_{4} F_{3}$ 変換公式の証明に一般化することができる.