タイトル通り,逆写像の2つの定義の証明をします(最初に写像の諸概念を定義します).
,A,B を集合とする.Aの各元に対してBの元を対応させる規則をAからBへの写像といい,fがAからBへの写像であることを f:A→B と書く. 写像 f:A→B に対して,Aを定義域といい,Bを終域という.P⊂A に対して {f(x)∣x∈P}⊂B を f(P) と書き,特に f(A) をfの値域という.
fをAからBへの写像とし,Q⊂B に対して {x∈A∣f(x)∈Q}⊂A を,fによるQの逆像といい,f−1(Q)で表す.
fをAからBへの写像とする.f(A)=B が成り立つとき,fはAからBへの全射であるという. 言い換えると,,,∀y∈B,∃x∈A,y=f(x) が成立することである.
fをAからBへの写像とする.∀x,x′∈A(f(x)=f(x′)⇒x=x′) が成り立つとき,fはAからBへの単射であるという. 言い換えると,,,∀y∈f(A),∃!x∈A,{x}=f−1({y}) が成立することである. この2つの同値性は,
∀x,x′∈A(f(x)=f(x′)⇒x=x′) ⟺ ,,∀y∈B(∃x∈A,y=f(x)⇒∃!x∈A,y=f(x)) ⟺ ,∀y∈B(y∈f(A)⇒∃!x∈A,y=f(x)) ⟺ ,∀y∈B(y∈f(A)⇒∃!x∈A,x∈f−1({y})) ⟺ ,∀y∈B(y∈f(A)⇒∃!x∈A,{x}=f−1({y})) ⟺ ,,∀y∈f(A),∃!x∈A,{x}=f−1({y})
より分かる.
写像 f:A→B が全射かつ単射であるとき,fはAからBへの全単射であるという.
f:A→B を全単射とする(このとき,各y∈Bに対して y=f(x) なる x∈A がただ1つ存在する).y∈B に対してこのような x∈A を対応させるBからAへの写像をfの逆写像といい,f−1で表す.
写像 f:A→B に対して次の条件を満たす写像 g:B→A を写像fの逆写像という.,g∘f=idA,f∘g=idB
上2つの逆写像の定義は同値である.
定義6は全単射fに対する定義であるのに対し,定義7は一般の写像fに対する定義であるから,この2つが同値であるというのは,一見すると真偽以前の問題があるように思える.しかし,実際には定義7のfは全単射であることが示されるのでよい.
定義6の条件を満たす写像 f−1:B→A が定義7の条件を満たすことを示す.任意の x∈A に対して,f−1∘f(x)=f−1(f(x))=x′(s.t. f(x)=f(x′))=xであり,任意の y∈B に対して,f∘f−1(y)=f(f−1(y))=f(x′(s.t. f(x′)=y))=yであるから,示された.
逆に,定義7の条件を満たす写像 g:B→A が定義6の条件を満たすことを示す. まず,fが全単射であることを示す.全射であることは,y∈B を任意にとると,f∘g=idB より f(g(y))=y なので,x=g(y) とおけば f(x)=y が成立することよりよい.単射であることは,,x1,x2∈A が f(x1)=f(x2) を満たすとすると,g∘f=idA よりx1=g(f(x1))=g(f(x2))=x2であるのでよい. fは全単射であるから,f−1:B→A;y↦x(s.t. y=f(x)) が存在する.g=f−1 を示す.写像の合成に関する結合法則よりg=g∘idB=g∘(f∘f−1)=(g∘f)∘f−1=idA∘f−1=f−1となるのでよい(idB=f∘f−1 は第1段落中の証明と同様に示される).
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