逆写像の2つの定義の同値性の証明
はじめに
タイトル通り，逆写像の2つの定義の証明をします（最初に写像の諸概念を定義します）．
写像の諸概念の定義
$A，B$ を集合とする．Aの各元に対してBの元を対応させる規則を$A$から$B$への写像といい，$f$がAから$B$への写像であることを $ f:A \rightarrow B $ と書く．
写像 $f: A \rightarrow B$ に対して，$A$を定義域といい，$B$を終域という．$P \subset A$ に対して $\lbrace f(x) \mid x \in P \rbrace \subset B$ を $f(P)$ と書き，特に $f(A)$ を$f$の値域という．
$f$を$A$から$B$への写像とし，$Q \subset B$ に対して $\lbrace x \in A \mid f(x) \in Q \rbrace \subset A$ を，$f$による$Q$の逆像といい，$f^{-1}(Q)$で表す．
$f$を$A$から$B$への写像とする．$f(A)=B$ が成り立つとき，$f$は$A$から$B$への全射であるという．
言い換えると，$\forall y \in B，\exists x \in A，y=f(x)$ が成立することである．
$f$を$A$から$B$への写像とする．$\forall x, x' \in A \; (f(x)=f(x') \Rightarrow x=x')$ が成り立つとき，$f$は$A$から$B$への単射であるという．
言い換えると，$\forall y \in f(A)，\exists ! x \in A，\lbrace x \rbrace=f^{-1}(\lbrace y \rbrace)$ が成立することである．
この2つの同値性は，
$ \forall x, x' \in A \;\big(f(x)=f(x') \Rightarrow x=x' \big)$
$\Longleftrightarrow$ $\forall y \in B \; \big( \exists x \in A，y=f(x) \Rightarrow \exists ! x \in A，y=f(x)\big)$
$\Longleftrightarrow$ $\forall y \in B \;\big( \;y \in f(A) \Rightarrow \exists !x \in A，y=f(x)\big)$
$\Longleftrightarrow$ $\forall y \in B \;\big( \;y \in f(A) \Rightarrow \exists !x \in A，x \in f^{-1}(\lbrace y \rbrace)\big)$
$\Longleftrightarrow$ $\forall y \in B \;\big( \;y \in f(A) \Rightarrow \exists !x \in A，\lbrace x \rbrace=f^{-1}(\lbrace y \rbrace)\big)$
$\Longleftrightarrow$ $\forall y \in f(A)，\exists !x \in A，\lbrace x \rbrace=f^{-1}(\lbrace y \rbrace)$
より分かる．
写像 $f: A \rightarrow B$ が全射かつ単射であるとき，$f$は$A$から$B$への全単射であるという．
逆写像の2つの定義，その同値性
$f: A \rightarrow B$ を全単射とする（このとき，各$y \in B$に対して $y=f(x)$ なる $x \in A$ がただ1つ存在する）．$y\in B$ に対してこのような $x \in A$ を対応させる$B$から$A$への写像を$f$の逆写像といい，$f^{-1}$で表す．
写像 $f: A \rightarrow B$ に対して次の条件を満たす写像 $g: B \rightarrow A$ を写像$f$の逆写像という．
$$ g \circ f= \operatorname{id}_A，f \circ g= \operatorname{id}_B$$
上2つの逆写像の定義は同値である．
定義6は全単射$f$に対する定義であるのに対し，定義7は一般の写像$f$に対する定義であるから，この2つが同値であるというのは，一見すると真偽以前の問題があるように思える．しかし，実際には定義7の$f$は全単射であることが示されるのでよい．
定義6の条件を満たす写像 $f^{-1}:B \rightarrow A$ が定義7の条件を満たすことを示す．
任意の $x \in A$ に対して，
$$ f^{-1} \circ f(x)=f^{-1}(f(x))=x' \;\big( \text{s.t. }f(x)=f(x')\big)=x$$
であり，任意の $y \in B$ に対して，
$$ f \circ f^{-1}(y)=f(f^{-1}(y))=f\big(x'\;(\text{s.t. }f(x')=y)\big)=y$$
であるから，示された．
逆に，定義7の条件を満たす写像 $g:B \rightarrow A$ が定義6の条件を満たすことを示す．
まず，$f$が全単射であることを示す．全射であることは，$y\in B$ を任意にとると，$f \circ g= \operatorname{id}_B$ より $f(g(y))=y$ なので，$x=g(y)$ とおけば $f(x)=y$ が成立することよりよい．単射であることは，$x_1，x_2 \in A$ が $f(x_1)=f(x_2)$ を満たすとすると，$g \circ f=\operatorname{id}_A$ より
$$ x_1 = g(f(x_1)) = g(f(x_2)) = x_2$$
であるのでよい．
$f$は全単射であるから，$f^{-1}:B \rightarrow A; \;y \mapsto x \; \big( \text{s.t. } y=f(x)\big)$ が存在する．$g=f^{-1}$ を示す．写像の合成に関する結合法則より
$$ g=g \circ \operatorname{id}_B = g \circ (f \circ f^{-1})=(g \circ f) \circ f^{-1} = \operatorname{id}_A \circ f^{-1}=f^{-1}$$
となるのでよい（$\operatorname{id}_B=f \circ f^{-1}$ は第1段落中の証明と同様に示される）．
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