逆写像の2つの定義の同値性の証明

　$A，B$ を集合とする．Aの各元に対してBの元を対応させる規則を$A$から$B$への写像といい，$f$がAから$B$への写像であることを $f:A\to B$ と書く．
　写像 $f:A\to B$ に対して，$A$を定義域といい，$B$を終域という．$P\subset A$ に対して $\{f(x)\mid x\in P\}\subset B$ を $f(P)$ と書き，特に $f(A)$ を$f$の値域という．

　$f$を$A$から$B$への写像とし，$Q\subset B$ に対して $\{x\in A\mid f(x)\in Q\}\subset A$ を，$f$による$Q$の逆像といい，$f^{-1}(Q)$で表す．

　$f$を$A$から$B$への写像とする．$f(A)=B$ が成り立つとき，$f$は$A$から$B$への全射であるという．
　言い換えると，$\mathrm{\forall }y\in B，\mathrm{\exists }x\in A，y=f(x)$ が成立することである．

　$f$を$A$から$B$への写像とする．$\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in A(f(x)=f(x^{\prime })\Rightarrow x=x^{\prime })$ が成り立つとき，$f$は$A$から$B$への単射であるという．
　言い換えると，$\mathrm{\forall }y\in f(A)，\mathrm{\exists }!x\in A，\{x\}=f^{-1}(\{y\})$ が成立することである．
　この2つの同値性は，

　　　$\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in A(f(x)=f(x^{\prime })\Rightarrow x=x^{\prime })$
　　　$⟺$　$\mathrm{\forall }y\in B(\mathrm{\exists }x\in A，y=f(x)\Rightarrow \mathrm{\exists }!x\in A，y=f(x))$
　　　$⟺$　$\mathrm{\forall }y\in B(y\in f(A)\Rightarrow \mathrm{\exists }!x\in A，y=f(x))$
　　　$⟺$　$\mathrm{\forall }y\in B(y\in f(A)\Rightarrow \mathrm{\exists }!x\in A，x\in f^{-1}(\{y\}))$
　　　$⟺$　$\mathrm{\forall }y\in B(y\in f(A)\Rightarrow \mathrm{\exists }!x\in A，\{x\}=f^{-1}(\{y\}))$
　　　$⟺$　$\mathrm{\forall }y\in f(A)，\mathrm{\exists }!x\in A，\{x\}=f^{-1}(\{y\})$

より分かる．

　写像 $f:A\to B$ が全射かつ単射であるとき，$f$は$A$から$B$への全単射であるという．

　$f:A\to B$ を全単射とする（このとき，各$y\in B$に対して $y=f(x)$ なる $x\in A$ がただ1つ存在する）．$y\in B$ に対してこのような $x\in A$ を対応させる$B$から$A$への写像を$f$の逆写像といい，$f^{-1}$で表す．

　写像 $f:A\to B$ に対して次の条件を満たす写像 $g:B\to A$ を写像$f$の逆写像という．
$$g\circ f={\mathrm{id}}_A，f\circ g={\mathrm{id}}_B$$