束(lattice)の代数構造や, いろいろ

それぞれの条件が成立していることを見ていく.

1. $a$と$b$の上限(下限)は$b$と$a$の上限(下限)なのですぐに分かる.
2. $d=b\vee c$とおくと, $b,c\leqq d$なので$b,c\leqq a\vee d$. また$a\leqq a\vee d$でもあるので$a\vee d$は$\{a,b,c\}$の上界である. つまり$a\vee b\vee c\leqq a\vee d$. 次に, $k$を$\{a,b,c\}$の任意の上界とすると, $k$は$\{b,c\}$の上界でもあるので, $d\leqq k$. 当然$a\leqq k$なので$a\vee d\leqq k$. よって$a\vee d$は$\{a,b,c\}$の最小上界(つまり上限)であることが示された. つまり$a\vee b\vee c= a\vee d=a\vee (b\vee c)$. また$a\vee b\vee c=(a\vee b)\vee c$も同様に示すことができるので, 結びに関する結合則は示された. 交わりに関しても同様の議論により成立することがわかる.
3. $a\leqq a\vee(a\wedge b)$である. また, $a$は$\{a,a\wedge b\}$の上界なので, $a\vee(a\wedge b)\leqq a$となり, 題意は示された. $a\wedge(a\vee b)=a$も同様の議論により示すことができる.

1. まずは$\leqq$が半順序となることを示す.
   1. (反射律) 下界の定義から$a\wedge a=a$だから$a\leqq a$とわかる.
   2. (反対称律) $a\leqq b$かつ$b\leqq a$とすると, $\leqq$の定義から$a\wedge b=a=b$とわかり, $a=b$がわかる.
   3. (推移律) $a\leqq b$かつ$b\leqq c$とすると$a\wedge b=a$かつ$b\wedge c=b$. このとき
      \begin{eqnarray} a\wedge c&=&(a\wedge b)\wedge c\\ &=&a\wedge(b\wedge c)\\ &=&a\wedge b\\ &=&a. \end{eqnarray}
      したがって$a\leqq c$とわかる.
2. 次に$(L,\leqq)$が束となることを確かめる. 非空有限部分集合$\{a_1,\dots,a_n\}\subseteq L$として$k=a_1\vee(a_2\vee(\cdots\vee(a_{n-1}\vee a_n)\cdots))$とすると, 結合則と交換則, さらに吸収則により$i=1,\dots,n$に対して$a_i\wedge k=a_i$とわかる. よって$a_i\leqq k$. また$l\in L$を$\{a_1,\dots,a_n\}$の任意の上界とすれば$a_{n-1}\vee a_n\leqq l,\ a_{n-2}\vee(a_{n-1}\vee a_n)\leqq l,\ldots$となる. これを繰り返して$k\leqq l$を得る. これは$k$が$\{a_1,\dots,a_n\}$の上限であることを表す. 下限の存在も同様にすれば示すことができる.

1. 以下の等式により題意は成立.
   \begin{eqnarray} f\circ g(a\vee b)&=&f(g(a\vee b))\\ &=&f(g(a)\vee g(b))\\ &=&f(g(a))\vee f(g(b))\\ &=&f\circ g(a)\vee f\circ g(b),\\\\ f\circ g(a\wedge b)&=&f(g(a\wedge b))\\ &=&f(g(a)\wedge g(b))\\ &=&f(g(a))\wedge f(g(b))\\ &=&f\circ g(a)\wedge f\circ g(b). \end{eqnarray}
2. 以下の等式に$f^{-1}$を作用させれば題意は成立.
   \begin{eqnarray} f(f^{-1}(a\vee b))&=&a\vee b\\ &=&f(f^{-1}(a))\vee f(f^{-1}(b))\\ &=&f(f^{-1}(a)\vee f^{-1}(b)),\\\\ f(f^{-1}(a\wedge b))&=&a\wedge b\\ &=&f(f^{-1}(a))\wedge f(f^{-1}(b))\\ &=&f(f^{-1}(a)\wedge f^{-1}(b)). \end{eqnarray}

背理法により示す. 結びの定義より$b\leqq a$かつ$c\leqq a$だが, 背理法の仮定から$a$は$b$でも$c$でもないので$b< a$かつ$c< a$である. ここで$a$は原子だから$b=c=\bot$. このとき$a=b\vee c=\bot$なので$a$が原子であることに矛盾.

1. $a\in L$の補元を$b,c\in L$とする. このとき
   \begin{eqnarray} b&=&b\wedge\top\\ &=&b\wedge(a\vee c)\\ &=&(b\wedge a)\vee(b\wedge c)\\ &=&\bot\vee(b\wedge c)\\ &=&b\wedge c. \end{eqnarray}
   同様にすると$c=b\wedge c$が得られ, $b=c$となる.
2. 1. より$a'$の補元は唯一つ. よって示された.
3. 以下の式より題意は成立.
   \begin{eqnarray} (a\vee b)\vee(a'\wedge b')&=&a\vee b\vee(a'\wedge b')\\ &=&a\vee ((b\vee a')\wedge(b\vee b'))\\ &=&a\vee b\vee a'\\ &=&\top,\\\\ (a\vee b)\wedge(a'\wedge b')&=&(a\vee b)\wedge a'\wedge b'\\ &=&((a\wedge a')\vee(b\wedge a'))\wedge b'\\ &=&b\wedge a'\wedge b'\\ &=&\bot. \end{eqnarray}
4. $a\leqq b\Leftrightarrow a\wedge b=a\Leftrightarrow a'\vee b'=a'\Leftrightarrow b'\leqq a'$より従う.
5. $\top'=(a\vee a')'=a'\wedge a=\bot$.

1. (束であること) $2^A$は結び$\cup$, 交わり$\cap$を持つ束である. これらが命題1の条件を満たすことの確認は省略する.
2. (有界性) $2^A$は最大元$A$, 最小元$\emptyset$をもつ.
3. (分配性) 集合の性質であるので省略.
4. (補元) $S\in 2^A$の補元は$A\backslash S\in 2^A$(つまり$S$の補集合)である.

1. まずは任意の$a\in L\backslash\{\bot\}$に対して$x\leqq a$となる$x\in\text{Atom}(L)$が存在することを背理法により示す. 背理法の仮定より$a$は原子でないので$\bot< a_1< a$となる$a_1$が存在する. 背理法の仮定より$a_1$も原子ではない. 同様の議論を繰り返すことにより原子ではない元の無限降下列$\bot<\dots< a_2< a_1< a$が得られるが, $L$が有限であることに矛盾する.
2. 次に, 任意の$x\in L$に対して$\displaystyle s=\bigvee A_x$として, $\displaystyle x=s$であることを示す.
   1. ($s\leqq x$の証明) $A_x$の定義より, 任意の$a\in A_x$に対して$a\leqq x$なので, $x$は$A_x$の上界である. $s$は$A_x$の上限なので$s\leqq x$である.
   2. ($x\leqq s$の証明) 背理法により示す. $d=x\wedge s'$とおく. もし$d=\bot$とすると$d\vee s=\bot\vee s\Rightarrow x\vee s=s$であるから$x\leqq s$だが, 背理法の仮定に反する. したがって$d\ne\bot$. よって, $a\leqq d$となるある$a\in \text{Atom}(L)$が存在する. $d=x\wedge s'$だから$a\leqq x$かつ$a\leqq s'$であるが, このことから$a\in A_x$である. よって$a\leqq s$であることがわかるが, $a\leqq s'$であることを考慮すると$a\leqq s\wedge s'=\bot$となり$a$が原子であることに矛盾.

$f:L\to 2^{\text{Atom}(L)}$を
\begin{gather} f(x):=A_x \end{gather}
と定義すると, これが束の同型であることを示す.

1. (準同型性)
   1. $a,b\in L$として$f(a\wedge b)=f(a)\cap f(b)$を示す.
      \begin{eqnarray} x\in f(a\wedge b)&\Leftrightarrow&x\text{は原子で}x\leqq a\wedge b\\ &\Leftrightarrow&x\text{は原子で}x\leqq a\text{かつ}x\leqq b\\ &\Leftrightarrow&x\in f(a)\cap f(b). \end{eqnarray}
   2. $a,b\in L$として$f(a\vee b)=f(a)\cup f(b)$を示す.
      1. ($\supseteq$) $x\in f(a)$ならば$x\leqq a$なので$x\leqq a\vee b$. よって$x\in f(a\vee b)$である. $x\in f(b)$の場合も同様にすれば良い.
      2. ($\subseteq$) $x\in f(a\vee b)$とすると$x\leqq a\vee b\Leftrightarrow x=x\wedge(a\vee b)=(x\wedge a)\vee(x\wedge b)$である. 命題3より$x=x\wedge a$または$x=x\wedge b$であるが, つまり$x\in f(a)\cup f(b)$である.
2. (単射性) $f(x)=f(y)$とすると, $L$が原子的なので両辺結びをとることで$\displaystyle \bigvee f(x)=\bigvee f(y)\Leftrightarrow x=y$となる.
3. (全射性) 任意の$S\in 2^{\text{Atom}(L)}$は有限集合である. この$S$の要素を$s_1,\dots ,s_n$とする. $\displaystyle x=\bigvee S$として, $f$の準同型性と$S$の元は原子であることを用いると
   \begin{eqnarray} f(x)&=&f\left(\bigvee_{i=1}^n s_i\right)\\ &=&\bigcup_{i=1}^n f(s_i)\\ &=&\bigcup_{i=1}^n\{s_i\}\\ &=&S. \end{eqnarray}

$L$上の二項演算$/_1,/_2$で, 任意の$a,b,c\in L$に対して
\begin{align} &a\leqq (c/_1b)\Leftrightarrow a*b\leqq c,\tag{i}\\ &a\leqq (c/_2b)\Leftrightarrow a*b\leqq c\tag{ii} \end{align}
が成り立つとして, $/_1=/_2$を導く. 上の関係は任意の$a\in L$で同値であるので, $a=c/_1b$の場合を考える. まず$(c/_1b)\leqq (c/_1b)$は真であるので関係$(\text{i})$より$(c/_1b)*b\leqq c$である. よって関係$(\text{ii})$によって$(c/_1b)\leqq (c/_2b)$とわかる. 今度は$a=c/_2b$として同様にすれば$(c/_2b)\leqq (c/_1b)$が得られる. 以上より任意の$b,c\in L$に対して$(c/_1b)= (c/_2b)$であることが示された.

1. $a\leqq b$とする. まず, $b*k\leqq b*k\Leftrightarrow b\leqq(b*k)/k$. よって$a\leqq (b*k)/k\Leftrightarrow a*k\leqq b*k$.
2. 1. と同様にすればよい.

1. $a/k\leqq a/k$だから$(a/k)*k\leqq a$. 仮定$a\leqq b$と合わせて$(a/k)*k\leqq b\Leftrightarrow a/k\leqq b/k$となる.
2. 1. と同様にすれば良い.
3. $k/b\leqq k/b$であることから$(k/b)*b\leqq k$. 仮定$a\leqq b$と積の単調性より$(k/b)*a\leqq(k/b)*b$. よって$(k/b)*a\leqq k\Leftrightarrow k/b\leqq k/a$が示される. $b\backslash k\leqq a\backslash k$も同様にすれば示せる.

$a\leqq b$とすると, これは$a\vee b=b$と同値である. また$(a\vee b)*k=(a*k)\vee(b*k)$なので$b*k=(a*k)\vee(b*k)$であることがわかり, つまり$a*k\leqq b*k$である. 同様にすれば$k*a\leqq k*b$も示すことができる.

1. $a\leqq c/b\Leftrightarrow a*b\leqq c$を確かめればよい.

   1. ($\Rightarrow$について)
      \begin{eqnarray} (c/b)*b&=&\left(\bigvee\{x\in L\mathrel |x*b\leqq c\}\right)*b\\ &=&\bigvee\{x*b\in L\mathrel |x*b\leqq c\}\\ &\leqq&c.\\\\ \therefore a*b&\leqq&(c/b)*b\leqq c. \end{eqnarray}
   2. ($\Leftarrow$について) 仮定より
      \begin{gather} a\in\{x\in L\mathrel |x*b\leqq c\} \end{gather}
      であるが, このことから
      \begin{eqnarray} a&\leqq&\bigvee\{x\in L\mathrel |x*b\leqq c\}=c/b. \end{eqnarray}

2. 上と同様にすれば示すことができる.

まずは
\begin{gather} \left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda\right)*a=\bigvee_{\lambda\in\Lambda}(b_\lambda*a) \end{gather}
を示す.

1. ($\geqq$について) 結びの定義より
   \begin{gather} b_\lambda\leqq\bigvee_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda \end{gather}
   である. さらに右剰余束の積の単調性より
   \begin{gather} b_\lambda*a\leqq\left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda\right)*a \end{gather}
   である. よって$\displaystyle\left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda\right)*a$は$\{b_\lambda *a\}_{\lambda\in\Lambda}$の上界であるので
   \begin{gather} \bigvee_{\lambda\in\Lambda}(b_\lambda*a)\leqq \left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda\right)*a \end{gather}
   となる.
2. ($\leqq$について) 結びの定義より
   \begin{gather} b_\lambda*a\leqq\bigvee_{\lambda\in\Lambda}(b_\lambda*a) \end{gather}
   であるが, 任意の$x,y,z\in L$に対して$x\leqq (z/y)\Leftrightarrow x*y\leqq z$が成り立つことから
   \begin{gather} b_\lambda\leqq\left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}(b_\lambda*a)\right)/a \end{gather}
   である. よって$\displaystyle\left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}(b_\lambda*a)\right)/a$は$\{b_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$の上界であるので
   \begin{gather} \bigvee_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda\leqq\left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}(b_\lambda*a)\right)/a \end{gather}
   であり, したがって
   \begin{gather} \left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda\right)*a\leqq\left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}(b_\lambda*a)\right) \end{gather}
   となる.

同様に
\begin{gather} a*\left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}b_\lambda\right)=\bigvee_{\lambda\in\Lambda}(a*b_\lambda) \end{gather}
も示すことができる.

$p\in\phi(x),\ q\in P(L),\ q\leqq p$とすると, $\phi(x)$の定義から$p\leqq x$なので, 推移律より$q\leqq x$. したがって$q\in\phi(x)$.

$\displaystyle y(x)=\bigvee\phi(x)$とおいて, 背理法で示す. $A:=\{x\in L\mid y(x)\ne x\}$とすると, $A$は有限集合であることから$A$は極小元を持つ. 極小元の一つを$x_0$とおく. $x_0$は$\phi(x_0)$の上界なので, $y(x_0)\leqq x_0$である. $y(x_0)\ne x_0$であることと合わせると$y(x_0)< x_0$である.

1. $x_0\in P(L)$のとき, $x_0\in\phi(x_0)$であるが, $y(x_0)< x_0$であることに矛盾.
2. $x_0\notin P(L)$のとき, $y(x_0)< x_0$であることを考慮すると$\bot\ne x_0$である. よって$x_0=a\vee b$となる$\bot< a< x_0,\ \bot< b< x_0$が存在する. $x_0$は$A$の極小元であることから$a,b\notin A$であるので
   \begin{align} &a=\bigvee \phi(a),\\ &b=\bigvee \phi(b) \end{align}
   となる. よって
   \begin{eqnarray} x_0&=&a\vee b\\ &=&\left(\bigvee \phi(a)\right)\vee\left(\bigvee \phi(b)\right)\\ &=&\bigvee(\phi(a)\cup\phi(b)) \end{eqnarray}
   である. ここで$p\in\phi(a)$ならば$p\leqq a< x_0$なので, $p\in\phi(x_0)$である. したがって$\phi(a)\subseteq\phi(x_0)$である. よって$\phi(a)\cup\phi(b)\subseteq\phi(x_0)$であるので
   \begin{gather} \bigvee(\phi(a)\cup\phi(b))\leqq\bigvee\phi(x_0)=y(x_0). \end{gather}
   これは$y(x_0)< x_0$に矛盾する.

$p=p\wedge(x\vee y)=(p\wedge x)\vee(p\wedge y)$であることと$p$が$L$の結び既約元であることから$p=p\wedge x$または$p=p\wedge y$. したがって$p\leqq x$または$p\leqq y$となる.

写像$\phi$が束同型となることを示す.

1. (準同型性)
   1. (交わりについて) $p\in P(L)$とすると,
      \begin{eqnarray} p\in\phi(x\wedge y)&\Leftrightarrow& p\leqq x\wedge y\\ &\Leftrightarrow& p\leqq x\text{かつ}p\leqq y\\ &\Leftrightarrow& p\in\phi(x)\cap\phi(y) \end{eqnarray}
      である.
   2. (結びについて) $\phi(x\vee y)=\phi(x)\cup\phi(y)$を示せば良い.
      1. ($\supseteq$) $p\in\phi(x)$ならば$p\leqq x\leqq x\vee y$なので$p\in\phi(x\vee y)$である. $p\in\phi(y)$の場合も同様にして$p\in\phi(x\vee y)$であるから$\phi(x\vee y)\supseteq\phi(x)\cup\phi(y)$である.
      2. ($\subseteq$) $p\in\phi(x\vee y)$ならば$p\in P(L)$かつ$p\leqq x\vee y$であるが, 補題17より$p\leqq x$または$p\leqq y$となる. よって$p\in\phi(x)\cup\phi(y)$であるので$\phi(x\vee y)\subseteq\phi(x)\cup\phi(y)$である.
2. (単射性) $\phi(x)=\phi(y)$とする. 補題16より
   \begin{gather} x=\bigvee\phi(x)=\bigvee\phi(y)=y. \end{gather}
3. (全射性) 任意の$I\in J(P(L))$に対して
   \begin{gather} x=\bigvee_{q\in I}q \end{gather}
   とおく. このとき$I=\phi(x)$となることを確かめる.
   1. ($\subseteq$) $p\in I(\subseteq P(L))$に対して$\displaystyle p\leqq \bigvee I=x$であるので$p\in\phi(x)$.
   2. ($\supseteq$) $p\in\phi(x)$とすると, $\displaystyle p\leqq \bigvee I=\bigvee_{q\in I}q$であるが, 補題17よりある$q_0\in I$が存在して$p\leqq q_0$. $I$は順序イデアルであり, $q_0\in I,\ p\leqq q_0$であることから$p\in I$.