本記事では、Bell多項式の応用としてFaa´diformulaについて書こうと思います。この公式をざっくり説明しますと...合成関数の微分法についての公式です。すっごーく簡単なので最後まで読んでくれると嬉しいです。
まず、Z0≤={0}∩Nとおく。また、自然数n∈Nに対して、β=(β1,β2,...,βn)∈Z0≤n(β1+2β2+⋯+nβn=n)を満たすβを自然数nの分割と呼ぶ。そして、自然数nの分割全体をPnと表す。また、β∈Pnに対して|β|=∑i=0nβiと定義する。
実変数実数値関数h(u)はu=0の近傍で次の式を満たすものとするとh(u)=∑i=1naiui+o(un)n≥dとするとき{h(u)}d=∑m=dnBm,dum+o(un)Bm,d=∑β∈Pn∧|β|=dd!∏i=1mβi!∏i=1maiβiが成り立つ。
のの係数を個を個を個、合計個を一列に並べる方法の総数{h(u)}d=⋯+Bm,dum+⋯+Bn,dun+o(un)(Bm,dのa1β1a2β2⋯amβmの係数)=(a1をβ1個,a2をβ2個,...,amをβm個、合計∑i=1mβi=d個を一列に並べる方法の総数)=d!β1!β2!⋯βm!ゆえに、Bm,d=∑β∈Pm∧|β|=dd!∏i=1mβi∏i=1maiβi
{g(f(x))}(n)=∑d=1n∑β∈Pn∧|β|=dn!∏i=1nβi∏i=1n{f(i)(x)i!}βig(d)(f(x))
y0=f(x0)とおく。そして関数g(y0)のTaylor展開g(y)−g(y0)=∑d=1ng(d)(y0)d!(y−y0)d+o((y−y0)n)また、y=f(x)としてy−y0=f(x)−f(x0)=∑k=1nf(k)(x0)k!(x−x0)k+o((x−x0)n)補題より、g(f(x))−g(f(x0))=∑d=1ng(d)(f(x0))d!(f(x)−f(x0))d+o((f(x)−f(x0))n)=∑d=1ng(d)(f(x0))d!(∑k=1nf(k)(x0)k!(x−x0)k)d+o((f(x)−f(x0))n)=∑d=1ng(d)(f(x0))d!∑m=dnBm,d(x−x0)m+o((x−x0)n)=∑d=1ng(d)(f(x0))d!∑m=dn∑β∈Pm∧|β|=dd!∏i=1nβi!∏i=1m(f(i)(x0)i!)βi+o((x−x0)n)よって、総和の順序を入れ替えて次の式を得る。∑m=1n1m!∑d=1mg(d)(f(x0))∑β∈Pm∧|β|=dm!∏i=1dβi!∏i=1m(f(i)(x0)i!)βi+o((x−x0)n)ゆえに最終的にdmdxmg(f(x))=∑d=1mg(d)f(x0)∑β∈Pm∧|β|=dm!∏i=1mβi!∏i=1m(fi(x0)i!)βiを得る。つまり、最終的にベル多項式を用いて次の公式を得る。dmdxmg(f(x))=∑d=1mg(d)(f(x0))Bm,d(f(1)(x),f(2)(x),...,f(m−d+1)(x))
ベル多項式についてはここを参照してください
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