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Bell多項式について2

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本記事では、Bell多項式の応用として $F a \overset{´}{a} d i f o r m u l a$ について書こうと思います。
この公式をざっくり説明しますと...合成関数の微分法についての公式です。
すっごーく簡単なので最後まで読んでくれると嬉しいです。

自然数の分割

まず、 $Z_{0 \leq} = {0} \cap N$ とおく。また、自然数 $n \in N$ に対して、 $β = (β_{1}, β_{2}, . . ., β n) \in Z_{0 \leq}^{n} (β_{1} + 2 β_{2} + \dots + n β_{n} = n)$ を満たす $β$ を自然数nの分割と呼ぶ。そして、自然数nの分割全体を $P_{n}$ と表す。また、 $β \in P_{n}$ に対して $| β | = \sum_{i = 0}^{n} β_{i}$ と定義する。

実変数実数値関数 $h (u)$ は $u = 0$ の近傍で次の式を満たすものとすると
$h (u) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} u^{i} + o (u^{n})$
$n \geq d$ とするとき
$\begin{array}{r} \begin{array}{l} {h (u)}^{d} = \sum_{m = d}^{n} B_{m, d} u^{m} + o (u^{n}) \\ B_{m, d} = \sum_{β \in P_{n} \land | β | = d} \frac{d!}{\prod_{i = 1}^{m} β_{i}!} \prod_{i = 1}^{m} a_{i}^{β_{i}} \end{array} \end{array}$
が成り立つ。

$\begin{array}{r} \begin{array}{l} {h (u)}^{d} = \dots + B_{m, d} u^{m} + \dots + B_{n, d} u^{n} + o (u^{n}) \\ (B_{m, d} の a_{1}^{β_{1}} a_{2}^{β_{2}} \dots a_{m}^{β_{m}} の係数) \\ = (a_{1} を β_{1} 個, a_{2} を β_{2} 個, . . ., a_{m} を β_{m} 個、合計 \sum_{i = 1}^{m} β_{i} = d 個を一列に並べる方法の総数) \\ = \frac{d!}{β_{1}! β_{2}! \dots β m!} \end{array} \end{array}$
ゆえに、
$B_{m, d} = \sum_{β \in P_{m} \land | β | = d} \frac{d!}{\prod_{i = 1}^{m} β_{i}} \prod_{i = 1} m a_{i}^{β_{i}}$

F a \overset{´}{a} d i B r u n o f o r m u l a

${g (f (x))}^{(n)} = \sum_{d = 1}^{n} \sum_{β \in P_{n} \land | β | = d} \frac{n!}{\prod_{i = 1}^{n} β_{i}} \prod_{i = 1}^{n} {\frac{f^{(i)} (x)}{i!}}^{β_{i}} g^{(d)} (f (x))$

$y_{0} = f (x_{0})$ とおく。そして関数 $g (y_{0})$ のTaylor展開
$g (y) - g (y_{0}) = \sum_{d = 1}^{n} \frac{g^{(d)} (y_{0})}{d!} (y - y_{0})^{d} + o ((y - y_{0})^{n})$
また、y=f(x)として
$y - y_{0} = f (x) - f (x_{0}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} + o ((x - x_{0})^{n})$
補題より、
$\begin{array}{r} \begin{array}{l} g (f (x)) - g (f (x_{0})) \\ = \sum_{d = 1}^{n} \frac{g^{(d)} (f (x_{0}))}{d!} (f (x) - f (x_{0}))^{d} + o ((f (x) - f (x_{0}))^{n}) \\ = \sum_{d = 1}^{n} \frac{g^{(d)} (f (x_{0}))}{d!} (\sum_{k = 1}^{n} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k})^{d} + o ((f (x) - f (x_{0}))^{n}) \\ = \sum_{d = 1}^{n} \frac{g^{(d)} (f (x_{0}))}{d!} \sum_{m = d}^{n} B_{m, d} (x - x_{0})^{m} + o ((x - x_{0})^{n}) \\ = \sum_{d = 1}^{n} \frac{g^{(d)} (f (x_{0}))}{d!} \sum_{m = d}^{n} \sum_{β \in P_{m} \land | β | = d} \frac{d!}{\prod_{i = 1}^{n} β_{i}!} \prod_{i = 1}^{m} (\frac{f^{(i)} (x_{0})}{i!})^{β_{i}} + o ((x - x_{0})^{n}) \end{array} \end{array}$
よって、総和の順序を入れ替えて次の式を得る。
$\sum_{m = 1}^{n} \frac{1}{m!} \sum_{d = 1}^{m} g^{(d)} (f (x_{0})) \sum_{β \in P_{m} \land | β | = d} \frac{m!}{\prod_{i = 1}^{d} β_{i}!} \prod_{i = 1}^{m} (\frac{f^{(i)} (x_{0})}{i!})^{β_{i}} + o ((x - x_{0})^{n})$
ゆえに最終的に
$\frac{d^{m}}{d x^{m}} g (f (x)) = \sum_{d = 1}^{m} g^{(d)} f (x_{0}) \sum_{β \in P_{m} \land | β | = d} \frac{m!}{\prod_{i = 1}^{m} β_{i}!} \prod_{i = 1}^{m} (\frac{f^{i} (x_{0})}{i!})^{β_{i}}$
を得る。
つまり、最終的にベル多項式を用いて次の公式を得る。
$\frac{d^{m}}{d x^{m}} g (f (x)) = \sum_{d = 1}^{m} g^{(d)} (f (x_{0})) B_{m, d} (f^{(1)} (x), f^{(2)} (x), . . ., f^{(m - d + 1)} (x))$