本記事では、Bell多項式の応用として$Fa\acute{ a }\quad di \quad formula$について書こうと思います。
この公式をざっくり説明しますと...合成関数の微分法についての公式です。
すっごーく簡単なので最後まで読んでくれると嬉しいです。
まず、$\mathbb{Z}_{0\leq}=\{0\}\cap \mathbb{N}$とおく。また、自然数$n\in\mathbb{N}$に対して、$\boldsymbol{ \beta}=(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta{n})\in\mathbb{Z}_{0\leq}^{n} \quad (\beta_{1}+2\beta_{2}+\cdots +n\beta_{n}=n)$を満たす$\boldsymbol{\beta}$を自然数nの分割と呼ぶ。そして、自然数nの分割全体を$\mathcal{P}_{n}$と表す。また、$\boldsymbol{\beta}\in\mathcal{P}_{n}$に対して$|\boldsymbol{\beta}|=\sum_{i=0}^{n}\beta_{i}$と定義する。
実変数実数値関数$h(u)$は$u=0$の近傍で次の式を満たすものとすると
\begin{equation}
h(u) = \sum_{i=1}^{n}a_{i}u^{i}+o(u^{n})
\end{equation}
$n\geq d$とするとき
\begin{eqnarray}
\begin{array}{l}
\{h(u)\}^{d} = \sum_{m=d}^{n}B_{m,d}u^{m}+o(u^{n}) \\
B_{m,d}=\sum_{\boldsymbol {\beta}\in \mathcal{P}_{n}\land |\boldsymbol{\beta}|=d}\frac{d!}{\prod_{i=1}^{m}\beta_{i}!}
\prod_{i=1}^{m}a_i^{\beta_{i}}
\end{array}
\end{eqnarray}
が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\begin{array}{l}
\{h(u)\}^{d} = \cdots +B_{m,d}u^{m}+\cdots +B_{n,d}u^{n}+o(u^n)\\
(B_{m,d}のa_{1}^{\beta_{1}}a_{2}^{\beta_{2}}\cdots a_{m}^{\beta_{m}}の係数)\\
=(a_{1}を\beta_{1}個,a_{2}を\beta_{2}個,...,a_{m}を\beta_{m}個、合計\sum_{i=1}^{m}\beta_{i}=d個を一列に並べる方法の総数)\\
=\frac{d!}{\beta_{1}!\beta_{2}!\cdots \beta{m}!}
\end{array}
\end{eqnarray}
ゆえに、
\begin{equation}
B_{m,d}=\sum_{\boldsymbol{\beta}\in\mathcal{P}_{m}\land |\boldsymbol{\beta}|=d}\frac{d!}{\prod_{i=1}^{m}\beta_{i}}\prod_{i=1}{m}a_{i}^{\beta_{i}}
\end{equation}
\begin{equation} \{g(f(x))\}^{(n)}=\sum_{d=1}^{n}\sum_{\boldsymbol{\beta}\in\mathcal{P}_{n}\land |\boldsymbol{\beta}|=d}\frac{n!}{\prod_{i=1}^{n}\beta_{i}}\prod_{i=1}^{n}\{\frac{f^{(i)}(x)}{i!}\}^{\beta_{i}}g^{(d)}(f(x)) \end{equation}
$y_{0}=f(x_{0})$とおく。そして関数$g(y_{0})$のTaylor展開
\begin{equation}
g(y)-g(y_{0})=\sum_{d=1}^{n}\frac{g^{(d)}(y_{0})}{d!}(y-y_{0})^{d}
+o((y-y_{0})^{n})
\end{equation}
また、y=f(x)として
\begin{equation}
y-y_{0}=f(x)-f(x_0)=\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})
\end{equation}
補題より、
\begin{eqnarray}
\begin{array}{l}
g(f(x))-g(f(x_{0}))\\
=\sum_{d=1}^{n}\frac{g^{(d)}(f(x_{0}))}{d!}(f(x)-f(x_{0}))^{d}+o((f(x)-f(x_{0}))^{n})\\
=\sum_{d=1}^{n}\frac{g^{(d)}(f(x_{0}))}{d!}(\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k})^{d}+o((f(x)-f(x_{0}))^{n})\\
=\sum_{d=1}^{n}\frac{g^{(d)}(f(x_{0}))}{d!}\sum_{m=d}^{n}B_{m,d}(x-x_{0})^{m}+o((x-x_{0})^{n})\\
=\sum_{d=1}^{n}\frac{g^{(d)}(f(x_{0}))}{d!}\sum_{m=d}^{n}
\sum_{\boldsymbol{\beta}\in\mathcal{P}_{m}\land |\boldsymbol{\beta}|=d}\frac{d!}{\prod_{i=1}^{n}\beta_{i}!}\prod_{i=1}^{m}(\frac{f^{(i)}(x_{0})}{i!})^{\beta_{i}}+o((x-x_{0})^{n})\\
\end{array}
\end{eqnarray}
よって、総和の順序を入れ替えて次の式を得る。
\begin{equation}
\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m!}\sum_{d=1}^{m}g^{(d)}(f(x_{0}))\sum_{\boldsymbol{\beta \in \mathcal{P}_{m}}\land |\boldsymbol{\beta}|=d}\frac{m!}{\prod_{i=1}^{d}\beta_{i}!}\prod_{i=1}^{m}(\frac{f^{(i)}(x_{0})}{i!})^{\beta_{i}}+o((x-x_{0})^{n})
\end{equation}
ゆえに最終的に
\begin{equation}
\frac{d^{m}}{dx^{m}}g(f(x))=\sum_{d=1}^{m}g^{(d)}f(x_{0})\sum_{\boldsymbol{\beta}\in\mathcal{P}_{m}\land |\boldsymbol{\beta}|=d}\frac{m!}{\prod_{i=1}^{m}\beta_{i}!}\prod_{i=1}^{m}(\frac{f^{i}(x_{0})}{i!})^{\beta_{i}}
\end{equation}
を得る。
つまり、最終的にベル多項式を用いて次の公式を得る。
\begin{equation}
\frac{d^{m}}{dx^{m}}g(f(x))=\sum_{d=1}^{m}g^{(d)}(f(x_{0}))B_{m,d}(f^{(1)}(x),f^{(2)}(x),...,f^{(m-d+1)}(x))
\end{equation}