q-級数についてのまとめ1
はじめに
本稿では数学的な厳密性を欠く議論が存在するかもしれないが，そういった部分に関しては適宜スルーして頂きたい．
また，基本的に断りが無ければ$|q| < 1$であると仮定する．
$q$-Pochhammer記号
今後使っていく記号を先んじて定義しておく．
正の整数$n$に対し，次のような記号を定義する：
\begin{equation*}
\begin{split}
(a)_n &= (a;q)_n = (1-a)(1-aq)\cdots(1-aq^{n-1}) \\
(a)_{\infty} &= (a;q)_{\infty} = \lim_{n \to \infty}(a;q)_{n} \\
(a)_0 &= 1
\end{split}
\end{equation*}
これらの記号を$q$-Pochhammer記号（$q$-Pochhammer symbol）という．
また，一般に実数$r$に対しては，
$$ (a)_r = (a)_{\infty} / (aq^r)_{\infty}$$
と定義される．
これらのことを踏まえて次の定理を示すことが本稿の目的である．
$q$-二項級数定理
$|q| < 1,\ |t| < 1$のとき，
$$
1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1-a)(1-aq)\cdots(1-aq^{n-1})t^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} = \prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-atq^n}{1-tq^n}
$$
が成り立つ．
上の定理は$q$-Pochhammer記号を用いると，
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n t^n}{(q)_n} = \frac{(at)_{\infty}}{(t)_{\infty}}$$
と書くことができる．
$A_n = A_n(a,q)$として，
$$ F(t) = \prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-atq^n}{1-tq^n} = \sum_{n=0}^{\infty}A_n t^n$$
という式を考える．
ここで，
\begin{eqnarray}
(1-t)F(t) &=& (1-at)\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-atq^n}{1-tq^n} \\
&=& (1-at)\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-atq^{n+1}}{1-tq^{n+1}} \\
&=& (1-at)\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-a(tq)q^n}{1-(tq)q^n} \\
&=& (1-at)F(tq)
\end{eqnarray}
であり，$A_0 = F(0) = 1$であることに注意して上の式の$t^n$の係数を比較すると，
$$ A_n - A_{n-1} = q^n A_n - aq^{n-1}A_{n-1}$$
すなわち，
$$ A_n = \frac{1-aq^{n-1}}{1-q^n}A_{n-1}$$
が分かる．よってこの式を繰り返し用いて，
\begin{eqnarray}
A_n &=& \frac{(1-aq^{n-1})(1-aq^{n-2})\cdots(1-a)A_0}{(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots(1-q)} \\
&=& \frac{(a)_n}{(q)_n}
\end{eqnarray}
が分かる．これを元の式に代入することによって定理の主張を得る．
上の定理で，$a = q^{\alpha}\quad(\alpha:\text{非負整数})$とおいて，$q \to 1-0$とする極限操作を考えると，
$$ 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\binom{\alpha + n -1}{n}t^n = (1-t)^{-\alpha} $$
という式が得られる．この式は，二項級数定理として知られている．
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