q-級数についてのまとめ1

級数

177

はじめに

本稿では数学的な厳密性を欠く議論が存在するかもしれないが，そういった部分に関しては適宜スルーして頂きたい．
また，基本的に断りが無ければ $| q | < 1$ であると仮定する．

$q$ -Pochhammer記号

今後使っていく記号を先んじて定義しておく．

q

-Pochhammer記号（

q

-Pochhammer symbol）

正の整数 $n$ に対し，次のような記号を定義する：
$\begin{aligned} (a)_{n} & = (a; q)_{n} = (1 - a) (1 - a q) \dots (1 - a q^{n - 1}) \\ (a)_{\infty} & = (a; q)_{\infty} = lim_{n \to \infty} (a; q)_{n} \\ (a)_{0} & = 1 \end{aligned}$
これらの記号を $q$ -Pochhammer記号（ $q$ -Pochhammer symbol）という．
また，一般に実数 $r$ に対しては，
$(a)_{r} = (a)_{\infty} / (a q^{r})_{\infty}$
と定義される．

これらのことを踏まえて次の定理を示すことが本稿の目的である．

$q$ -二項級数定理

q

-二項級数定理（

q

-binomial series theorem）

$| q | < 1, | t | < 1$ のとき，
$1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - a) (1 - a q) \dots (1 - a q^{n - 1}) t^{n}}{(1 - q) (1 - q^{2}) \dots (1 - q^{n})} = \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - a t q^{n}}{1 - t q^{n}}$
が成り立つ．

上の定理は $q$ -Pochhammer記号を用いると，
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n} t^{n}}{(q)_{n}} = \frac{(a t)_{\infty}}{(t)_{\infty}}$
と書くことができる．

$A_{n} = A_{n} (a, q)$ として，
$F (t) = \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - a t q^{n}}{1 - t q^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} A_{n} t^{n}$
という式を考える．
ここで，
$\begin{array}{rcl} (1 - t) F (t) & = & (1 - a t) \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - a t q^{n}}{1 - t q^{n}} \\ = & (1 - a t) \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - a t q^{n + 1}}{1 - t q^{n + 1}} \\ = & (1 - a t) \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - a (t q) q^{n}}{1 - (t q) q^{n}} \\ = & (1 - a t) F (t q) \end{array}$
であり， $A_{0} = F (0) = 1$ であることに注意して上の式の $t^{n}$ の係数を比較すると，
$A_{n} - A_{n - 1} = q^{n} A_{n} - a q^{n - 1} A_{n - 1}$
すなわち，
$A_{n} = \frac{1 - a q^{n - 1}}{1 - q^{n}} A_{n - 1}$
が分かる．よってこの式を繰り返し用いて，
$\begin{array}{rcl} A_{n} & = & \frac{(1 - a q^{n - 1}) (1 - a q^{n - 2}) \dots (1 - a) A_{0}}{(1 - q^{n}) (1 - q^{n - 1}) \dots (1 - q)} \\ = & \frac{(a)_{n}}{(q)_{n}} \end{array}$
が分かる．これを元の式に代入することによって定理の主張を得る．

上の定理で， $a = q^{α} (α : 非負整数)$ とおいて， $q \to 1 - 0$ とする極限操作を考えると，
$1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (\binom{α + n - 1}{n}) t^{n} = (1 - t)^{- α}$
という式が得られる．この式は，二項級数定理として知られている．

参考文献

[1]

George E. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1998, pp. 17-18

投稿日：2023年6月20日

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ぱに

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幼少期から数が好きでした．そして気づいたら，qの虜になっていました．基本的には自分の学んだことの整理の意味も兼ねて記事を書きます．

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