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【流体力学】オイラー方程式を用いないベルヌーイの定理の導出

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はじめに

流体力学の基本法則であるベルヌーイの定理は,オイラー方程式(または,ナビエ-ストークス方程式)を用いて導出されることが多いです.しかし,これだと高校物理からは繋げにくいのも事実です.なので,本記事では,オイラー方程式を用いいないベルヌーイの定理の導出を紹介したいと思います.

前提知識

密度の変化しない流体(気体あるいは液体)を非圧縮性流体といいます.また,流体中の各点の持つ速度をつないだ曲線を流線といい,隣接した流線を束にして考えてこれを流管といいます.さらに,時間とともに流れ方の変化しない流れを定常流といいます.
ここで,定常流の中に細い流管を考え,流管のなかの前方・後方にある2つの断面を考えると,流体が圧縮されないことにより,前方の断面から入る流体の量は,後方の断面から出ていく流体の量に等しいことがわかります.

ベルヌーイの定理とその導出

ベルヌーイの定理(Bernoulli's principle)

非圧縮性流体の流管の内部の各点において,
\begin{equation} p+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh=\mathrm{const.} \end{equation}
が成り立つ.

オイラー方程式を用いいないベルヌーイの定理の導出

流線の長さを$s$とする.定常流の中に細い流管を考え,流管の一部をとって,長さを$ds$とし,前方$S_{1}$$s=s$)と後方$S_{2}$$s=s+ds$)にある2つの断面を考える.$ds$が微小なことから,圧力はそれぞれ$p_{1}=p(s)$$p_{2}=p(s+ds)=p(s)+\frac{dp}{ds}ds$となる.つまり,この細い流管の一部にかかる力$F(s)$は,流管の断面積を$dA$とすると,
\begin{equation} F(s)=p(s)dA-p(s+ds)dA=-\frac{dp}{ds}dsdA=-\frac{dp}{ds}dV \end{equation}
となる.$dV$は,考えている流管の一部の微小体積である.よって,外力がする仕事は,
\begin{equation} \int_{S_{1}}^{S_{2}}F(s)ds=\int_{S_{1}}^{S_{2}}-\frac{dp}{ds}dVds=-dV\int_{p_{1}}^{p_{2}}dp \end{equation}
となる.
ここで,エネルギー保存則$\frac{1}{2}m{v_{1}}^{2}+mgh_{1}+\int_{S_{1}}^{S_{2}}F(s)ds=\frac{1}{2}m{v_{2}}^{2}+mgh_{2}$$S_{1}$$S_{2}$の基準点からの高さを$h_{1}$$h_{2}$,速さを$v_{1}$$v_{2}$,重力加速度を$g$とした.)を考えると,
\begin{align} &\frac{1}{2}m{v_{1}}^{2}+mgh_{1}+\int_{S_{1}}^{S_{2}}F(s)ds=\frac{1}{2}m{v_{2}}^{2}+mgh_{2}\notag\\ \iff&\frac{1}{2}\rho dV{v_{1}}^{2}+\rho dVgh_{1}+dV(p_{1}-p_{2})=\frac{1}{2}\rho dV{v_{2}}^{2}+\rho dVgh_{2}\notag\\ \iff&\frac{1}{2}\rho{v_{1}}^{2}+\rho gh_{1}+p_{1}=\frac{1}{2}\rho{v_{2}}^{2}+\rho gh_{2}+p_{2}\notag \end{align}
以上のことより,
\begin{equation} p+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh=\mathrm{const.} \end{equation}

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更新日:110

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‘06 新高3 | JPhO'22,’23 / 科甲J’19,科甲’22,’23 / JKA小中’16,’17 記事の一覧は下のリンクから

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