【流体力学】オイラー方程式を用いないベルヌーイの定理の導出
はじめに
流体力学の基本法則であるベルヌーイの定理は，オイラー方程式（または，ナビエ-ストークス方程式）を用いて導出されることが多いです．しかし，これだと高校物理からは繋げにくいのも事実です．なので，本記事では，オイラー方程式を用いいないベルヌーイの定理の導出を紹介したいと思います．
前提知識
密度の変化しない流体(気体あるいは液体)を非圧縮性流体といいます.また，流体中の各点の持つ速度をつないだ曲線を流線といい，隣接した流線を束にして考えてこれを流管といいます.さらに，時間とともに流れ方の変化しない流れを定常流といいます．
ここで，定常流の中に細い流管を考え，流管のなかの前方・後方にある２つの断面を考えると，流体が圧縮されないことにより，前方の断面から入る流体の量は，後方の断面から出ていく流体の量に等しいことがわかります．
ベルヌーイの定理とその導出
非圧縮性流体の流管の内部の各点において，
\begin{equation}
p+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh=\mathrm{const.}
\end{equation}
が成り立つ．
流線の長さを$s$とする．定常流の中に細い流管を考え，流管の一部をとって，長さを$ds$とし，前方$S_{1}$（$s=s$）と後方$S_{2}$（$s=s+ds$）にある2つの断面を考える．$ds$が微小なことから，圧力はそれぞれ$p_{1}=p(s)$，$p_{2}=p(s+ds)=p(s)+\frac{dp}{ds}ds$となる．つまり，この細い流管の一部にかかる力$F(s)$は，流管の断面積を$dA$とすると，
\begin{equation}
F(s)=p(s)dA-p(s+ds)dA=-\frac{dp}{ds}dsdA=-\frac{dp}{ds}dV
\end{equation}
となる．$dV$は，考えている流管の一部の微小体積である．よって，外力がする仕事は，
\begin{equation}
\int_{S_{1}}^{S_{2}}F(s)ds=\int_{S_{1}}^{S_{2}}-\frac{dp}{ds}dVds=-dV\int_{p_{1}}^{p_{2}}dp
\end{equation}
となる．
ここで，エネルギー保存則$\frac{1}{2}m{v_{1}}^{2}+mgh_{1}+\int_{S_{1}}^{S_{2}}F(s)ds=\frac{1}{2}m{v_{2}}^{2}+mgh_{2}$（$S_{1}$と$S_{2}$の基準点からの高さを$h_{1}$と$h_{2}$，速さを$v_{1}$と$v_{2}$，重力加速度を$g$とした．）を考えると，
\begin{align}
&\frac{1}{2}m{v_{1}}^{2}+mgh_{1}+\int_{S_{1}}^{S_{2}}F(s)ds=\frac{1}{2}m{v_{2}}^{2}+mgh_{2}\notag\\
\iff&\frac{1}{2}\rho dV{v_{1}}^{2}+\rho dVgh_{1}+dV(p_{1}-p_{2})=\frac{1}{2}\rho dV{v_{2}}^{2}+\rho dVgh_{2}\notag\\
\iff&\frac{1}{2}\rho{v_{1}}^{2}+\rho gh_{1}+p_{1}=\frac{1}{2}\rho{v_{2}}^{2}+\rho gh_{2}+p_{2}\notag
\end{align}
以上のことより，
\begin{equation}
p+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh=\mathrm{const.}
\end{equation}