流体力学の基本法則であるベルヌーイの定理は,オイラー方程式(または,ナビエ-ストークス方程式)を用いて導出されることが多いです.しかし,これだと高校物理からは繋げにくいのも事実です.なので,本記事では,オイラー方程式を用いいないベルヌーイの定理の導出を紹介したいと思います.
密度の変化しない流体(気体あるいは液体)を非圧縮性流体といいます.また,流体中の各点の持つ速度をつないだ曲線を流線といい,隣接した流線を束にして考えてこれを流管といいます.さらに,時間とともに流れ方の変化しない流れを定常流といいます.
ここで,定常流の中に細い流管を考え,流管のなかの前方・後方にある2つの断面を考えると,流体が圧縮されないことにより,前方の断面から入る流体の量は,後方の断面から出ていく流体の量に等しいことがわかります.
非圧縮性流体の流管の内部の各点において,
が成り立つ.
流線の長さを
となる.
となる.
ここで,エネルギー保存則
以上のことより,