【流体力学】オイラー方程式を用いないベルヌーイの定理の導出

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はじめに

流体力学の基本法則であるベルヌーイの定理は，オイラー方程式（または，ナビエ-ストークス方程式）を用いて導出されることが多いです．しかし，これだと高校物理からは繋げにくいのも事実です．なので，本記事では，オイラー方程式を用いいないベルヌーイの定理の導出を紹介したいと思います．

前提知識

密度の変化しない流体(気体あるいは液体)を非圧縮性流体といいます.また，流体中の各点の持つ速度をつないだ曲線を流線といい，隣接した流線を束にして考えてこれを流管といいます.さらに，時間とともに流れ方の変化しない流れを定常流といいます．
ここで，定常流の中に細い流管を考え，流管のなかの前方・後方にある２つの断面を考えると，流体が圧縮されないことにより，前方の断面から入る流体の量は，後方の断面から出ていく流体の量に等しいことがわかります．

ベルヌーイの定理とその導出

ベルヌーイの定理（Bernoulli's principle）

非圧縮性流体の流管の内部の各点において，
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const .$
が成り立つ．

オイラー方程式を用いいないベルヌーイの定理の導出

流線の長さを $s$ とする．定常流の中に細い流管を考え，流管の一部をとって，長さを $d s$ とし，前方 $S_{1}$ （ $s = s$ ）と後方 $S_{2}$ （ $s = s + d s$ ）にある2つの断面を考える． $d s$ が微小なことから，圧力はそれぞれ $p_{1} = p (s)$ ， $p_{2} = p (s + d s) = p (s) + \frac{d p}{d s} d s$ となる．つまり，この細い流管の一部にかかる力 $F (s)$ は，流管の断面積を $d A$ とすると，
$F (s) = p (s) d A - p (s + d s) d A = - \frac{d p}{d s} d s d A = - \frac{d p}{d s} d V$
となる． $d V$ は，考えている流管の一部の微小体積である．よって，外力がする仕事は，
$\int_{S_{1}}^{S_{2}} F (s) d s = \int_{S_{1}}^{S_{2}} - \frac{d p}{d s} d V d s = - d V \int_{p_{1}}^{p_{2}} d p$
となる．
ここで，エネルギー保存則 $\frac{1}{2} m {v_{1}}^{2} + m g h_{1} + \int_{S_{1}}^{S_{2}} F (s) d s = \frac{1}{2} m {v_{2}}^{2} + m g h_{2}$ （ $S_{1}$ と $S_{2}$ の基準点からの高さを $h_{1}$ と $h_{2}$ ，速さを $v_{1}$ と $v_{2}$ ，重力加速度を $g$ とした．）を考えると，
$\begin{aligned} \frac{1}{2} m {v_{1}}^{2} + m g h_{1} + \int_{S_{1}}^{S_{2}} F (s) d s = \frac{1}{2} m {v_{2}}^{2} + m g h_{2} \\ ⟺ & \frac{1}{2} ρ d V {v_{1}}^{2} + ρ d V g h_{1} + d V (p_{1} - p_{2}) = \frac{1}{2} ρ d V {v_{2}}^{2} + ρ d V g h_{2} \\ ⟺ & \frac{1}{2} ρ {v_{1}}^{2} + ρ g h_{1} + p_{1} = \frac{1}{2} ρ {v_{2}}^{2} + ρ g h_{2} + p_{2} \end{aligned}$
以上のことより，
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const .$