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【流体力学】オイラー方程式を用いないベルヌーイの定理の導出

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はじめに

流体力学の基本法則であるベルヌーイの定理は,オイラー方程式(または,ナビエ-ストークス方程式)を用いて導出されることが多いです.しかし,これだと高校物理からは繋げにくいのも事実です.なので,本記事では,オイラー方程式を用いいないベルヌーイの定理の導出を紹介したいと思います.

前提知識

密度の変化しない流体(気体あるいは液体)を非圧縮性流体といいます.また,流体中の各点の持つ速度をつないだ曲線を流線といい,隣接した流線を束にして考えてこれを流管といいます.さらに,時間とともに流れ方の変化しない流れを定常流といいます.
ここで,定常流の中に細い流管を考え,流管のなかの前方・後方にある2つの断面を考えると,流体が圧縮されないことにより,前方の断面から入る流体の量は,後方の断面から出ていく流体の量に等しいことがわかります.

ベルヌーイの定理とその導出

ベルヌーイの定理(Bernoulli's principle)

非圧縮性流体の流管の内部の各点において,
p+12ρv2+ρgh=const.
が成り立つ.

オイラー方程式を用いいないベルヌーイの定理の導出

流線の長さをsとする.定常流の中に細い流管を考え,流管の一部をとって,長さをdsとし,前方S1s=s)と後方S2s=s+ds)にある2つの断面を考える.dsが微小なことから,圧力はそれぞれp1=p(s)p2=p(s+ds)=p(s)+dpdsdsとなる.つまり,この細い流管の一部にかかる力F(s)は,流管の断面積をdAとすると,
F(s)=p(s)dAp(s+ds)dA=dpdsdsdA=dpdsdV
となる.dVは,考えている流管の一部の微小体積である.よって,外力がする仕事は,
S1S2F(s)ds=S1S2dpdsdVds=dVp1p2dp
となる.
ここで,エネルギー保存則12mv12+mgh1+S1S2F(s)ds=12mv22+mgh2S1S2の基準点からの高さをh1h2,速さをv1v2,重力加速度をgとした.)を考えると,
12mv12+mgh1+S1S2F(s)ds=12mv22+mgh212ρdVv12+ρdVgh1+dV(p1p2)=12ρdVv22+ρdVgh212ρv12+ρgh1+p1=12ρv22+ρgh2+p2
以上のことより,
p+12ρv2+ρgh=const.

投稿日:2024110
更新日:2024110
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