その広義積分、本当に正しいですか？

$\mathbb{R}$の半開区間$I=[a,b)$ ($b=+\mathrm{\infty }$でもよい)で定義された実数値関数$f$が次の(1)，(2)を満たすとする．

1. 任意の$u\in I$に対し，有界閉区間$[a,u]$で$f$は有界かつ可積分である．
2. ${\displaystyle \underset{u\to b-0}{lim}{\int }_a^{u}f(x)dx\in \mathbb{R}}$が存在する．

このとき$f$は$I=[a,b)$で広義可積分であるといい，
$${\displaystyle \underset{u\to b-0}{lim}{\int }_a^{u}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx}$$
と書く．

半開区間$(a,b]$ ($a=-\mathrm{\infty }$でもよい)上での広義積分も同様に定める．

$f:(a,b)\to \mathbb{R}$ ($a=-\mathrm{\infty }$でもよいし，$b=+\mathrm{\infty }$でもよいし，その両方でもよい)について，任意の$c\in (a,b)$に対し
$$\underset{v\to a+0}{lim}{\int }_v^{c}f(x)dx,\underset{u\to b-0}{lim}{\int }_c^{b}f(x)dx$$
が実数値として存在するとき，
$$\underset{v\to a+0,u\to b-0}{lim}{\int }_v^{u}f(x)dx=\underset{v\to a+0}{lim}{\int }_v^{c}f(x)dx+\underset{u\to b-0}{lim}{\int }_c^{b}f(x)dx$$
と定め，これを${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$と書く．