その広義積分、本当に正しいですか？
問題
いきなりですが……
定積分$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} xe^{x^2}dx$を求めよ．
この問題は次のような感じで，簡単に解けます．
被積分関数$xe^{x^2}$は奇関数なので，求める積分値は0である．
余裕ですね．
そんなわけないです．極限の扱いには気を付けましょう．
広義積分
杉浦1においては，次のように広義積分が定義されています．
$\mathbb{R}$の半開区間$I = [a,\, b)$ ($b = +\infty$でもよい)で定義された実数値関数$f$が次の(1)，(2)を満たすとする．
- 任意の$u \in I$に対し，有界閉区間$[a,\, u]$で$f$は有界かつ可積分である．
- $\displaystyle \lim_{u \to b - 0} \int_a^u f(x) dx \in \mathbb{R}$が存在する．
このとき$f$は$I = [a,\, b)$で広義可積分であるといい，
$$\displaystyle \lim_{u \to b - 0} \int_a^u f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$$
と書く．
半開区間$(a,\, b]$ ($a = -\infty$でもよい)上での広義積分も同様に定める．
$f : (a,\, b) \to \mathbb{R}$ ($a = -\infty$でもよいし，$b = +\infty$でもよいし，その両方でもよい)について，任意の$c \in (a,\, b)$に対し
$$\lim_{v \to a + 0} \int_v^c f(x) dx,\, \lim_{u \to b - 0} \int_c^b f(x) dx$$
が実数値として存在するとき，
$$\lim_{v \to a + 0,\, u \to b - 0} \int_v^u f(x) dx = \lim_{v \to a + 0} \int_v^c f(x) dx + \lim_{u \to b - 0} \int_c^b f(x) dx$$
と定め，これを$\displaystyle \int_a^b f(x) dx$と書く．
※本当はwell-defined性などを確かめるべきなのでしょうが，この記事では省略させていただきます．
最初の問題の正しい答え
$\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^{\infty} xe^{x^2} dx = \infty$なので，$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} xe^{x^2} dx$は存在しません．
おわりに
極限の扱いには気を付けましょう．
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