大学数学基礎問題

積分1

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どうもこんにちは。初投稿のぶどう糖です。今回は私が参加している数学系OC「まったり数学部屋」においてとある人が問題を投下し、そこから発展した積分を解いていきます。今回解く積分は以下の通りです。

$I_{n} = \int_{n π}^{(n + 1) π} | \frac{\sin (x)}{x} | d x (n \in N)$

それでは解法をつらつらと書いていこうと思います。

解法

マクローリン展開

ある関数 $f (x)$ が区間 $I (I \subset R, I ∋ 0)$ において $C^{\infty}$ 級であり、かつ $lim_{n \to \infty} \frac{f^{(n)} (θ x)}{n!} x^{n} (0 < θ < 1)$ が0に収束するとき関数 $f (x)$ は以下のようにあらわせる。またこの変形は収束半径の中であれば厳密一致するという性質を持つ。
$f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k}$

上記および $\sin (x), \frac{1}{x}$ が $C^{\infty}$ であることから $\frac{\sin (x)}{x}$ も同様に $C^{\infty}$ であることがわかり、 $lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{\sin (θ x)}{θ x})^{(n)}}{n!}$ も0に収束するので(?)、マクローリン展開が用いれる。

積分と級数の交換条件

$\int_{a}^{b} \sum_{k = 0}^{\infty} g_{k} (x) d x = \sum_{k = 0}^{\infty} \int_{a}^{b} g_{k} (x) d x$
となるためには $\sum_{k = 0}^{N} g_{k} (x)$ が一様収束することが十分である。

マクローリン展開と一様収束

あるマクローリン展開可能な関数 $f (x)$ は収束半径内で一様収束する

上記の定理より積分と総和が交換可能であるため、下記のように項別積分できる。
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + k}}{(2 k + 1)!} \int_{n π}^{(n + 1) π} x^{2 k} d x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + k} π^{2 k} (π - 1)}{(2 k + 1)^{2} (2 k)!} \sum_{i = 1}^{2 k + 1}_{2 k + 1} C_{i}$

$(- 1)^{n + k}$ の指数のnは絶対値記号を外すためのものである

ゆえに答えが導きだされた。(これ以上綺麗な変形があればお願いします。)

まとめ

$\int_{n π}^{(n + 1) π} | \frac{\sin (x)}{x} | d x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + k}}{(2 k + 1)!} \int_{n π}^{(n + 1) π} x^{2 k} d x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + k} 2^{2 k + 1} π^{2 k} (π - 1)}{(2 k + 1)^{2} (2 k)!} (n \in N)$

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編集履歴
23/11/18　表記ミスを修正。　別解を追加。
25/03/02　式変形の余地を追求。別解を削除。

投稿日：2023年11月17日

更新日：11日前

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投稿者

ぶどう糖

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数学系OC「まったり数学部屋」のメンバーのぶどう糖です。まだ高校数学すら安定していないへっぽこですがよろしくお願いします

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