Evans-Stantonの漸近公式
$0$-balancedな$q$超幾何級数の$x=1$における漸近公式を示す.
$abc=de, |c|<1$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}-\frac 1{1-q^{n+1}}\right)=L_q
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
L_q:=\sum_{0\leq n}\left(\frac{aq^n}{1-aq^n}+\frac{bq^n}{1-bq^n}-\frac{2q^{n+1}}{1-q^{n+1}}\right)+\sum_{0< n}\frac{(d/c,e/c;q)_n}{(a,b;q)_n(1-q^n)}c^n
\end{align}
である. さらに, $N\to\infty$において, 漸近公式
\begin{align}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c;q)_n}{(d,e,q;q)_n}&=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{1-q^{n+1}}+L_q\right)+O(q^N)
\end{align}
が成り立つ.
Sears-Thomaeの変換公式
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(c,de/ac,de/bc;q)_{\infty}}{(d,e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{d/c,e/c,de/abc}{de/ac,de/bc}{c}
\end{align}
において, $t=de/abc$とすると,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,e}{t}&=\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(d,e,t;q)_{\infty}}\Q32{d/c,e/c,t}{at,bt}{c}\\
&=\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(d,e,t;q)_{\infty}}+\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(d,e,t;q)_{\infty}}\sum_{0< n}\frac{(d/c,e/c,t;q)_n}{(at,bt,q;q)_n}c^n\\
\end{align}
よって,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{(a,b,c;q)_n}{(d,e,q;q)_n}-\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\right)t^n\\
&=\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(d,e,t;q)_{\infty}}-\frac 1{1-t}\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}+\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(d,e,t;q)_{\infty}}\sum_{0< n}\frac{(d/c,e/c,t;q)_n}{(at,bt,q;q)_n}c^n\\
&=\frac{(c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}(1-t)}\left(\frac{(at,bt;q)_{\infty}}{(tq;q)_{\infty}}-\frac{(a,b;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\right)+\sum_{0< n}\frac{(d/c,e/c,t;q)_n}{(at,bt,q;q)_n}c^n
\end{align}
において, $t\to 1$として
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{(a,b,c;q)_n}{(d,e,q;q)_n}-\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\right)\\
&=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\left(\frac{aq^n}{1-aq^n}+\frac{bq^n}{1-bq^n}-\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}\right)+\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\sum_{0< n}\frac{(d/c,e/c;q)_n}{(a,b;q)_n(1-q^n)}c^n
\end{align}
よって,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}-1\right)\\
&=\sum_{0\leq n}\left(\frac{aq^n}{1-aq^n}+\frac{bq^n}{1-bq^n}-\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}\right)+\sum_{0< n}\frac{(d/c,e/c;q)_n}{(a,b;q)_n(1-q^n)}c^n
\end{align}
ここで, 両辺に
\begin{align}
-\sum_{0\leq n}\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}
\end{align}
を足して最初の式を得る. 後半は
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}-\frac 1{1-q^{n+1}}\right)=L_q+O(q^N)
\end{align}
の言い換えである.
古典極限を考えると以下を得る.
$a+b+c=d+e, \Re(c)>0$であるとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\left(\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(c+n)}{\Gamma(d+n)\Gamma(e+n)\Gamma(1+n)}-\frac 1{n+1}\right)&=L
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
L:=-2\gamma-\psi(a)-\psi(b)+\sum_{0< n}\frac{(d-c,e-c)_n}{(a,b)_nn}
\end{align}
とする. さらに, $N\to\infty$において, 漸近公式
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(a,b,c)_k}{(d,e)_kk!}&=\frac{\Gamma(d)\Gamma(e)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}(\ln N+L+\gamma)+O\left(\frac 1N\right)
\end{align}
$a+b+c=d+e, \Re(c)>0$のとき, $x\to 1$において, 以下の漸近展開が成り立つ.
\begin{align}
\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(e)}\F32{a,b,c}{d,e}{x}=-\ln(1-x)+L+O((1-x)\ln(1-x))
\end{align}
定理2の等式
\begin{align}
\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(e)}\sum_{k=0}^{N}\frac{(a,b,c)_k}{(d,e)_kk!}&=L+\sum_{n=1}^N\frac 1n+O\left(\frac 1N\right)
\end{align}
の母関数を考えると,
\begin{align}
\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(e)}\frac 1{1-x}\sum_{0\leq k}\frac{(a,b,c)_k}{(d,e)_kk!}x^k&=\frac{L}{1-x}-\frac 1{1-x}\ln(1-x)+O\left(\ln(1-x)\right)
\end{align}
を得る. 両辺に$1-x$を掛けて定理を得る.
