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Sears-Thomaeの変換公式

Thomae, Kummerによる $_{3} F_{2}$ の変換公式には $q$ 類似が存在する. 次はKummerによる変換公式の $q$ 類似である.

Kummerの変換公式の

q

類似

$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ d, e \end{array}; \frac{d e}{a b c}] & = \frac{(e / a, d e / b c; q)_{\infty}}{(e, d e / a b c; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, d / b, d / c \\ d, d e / b c \end{array}; \frac{e}{a}] \end{aligned}$

$a b c q^{1 - n} = d e f$ とする. Searsの変換公式
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, q^{- n} \\ d, e, f \end{array}; q] & = \frac{(e / a, f / a; q)_{n}}{(e, f; q)_{n}} a^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, d / b, d / c, q^{- n} \\ d, a q^{1 - n} / e, a q^{1 - n} / f \end{array}; q] \end{aligned}$
において, $a, b, c, d, e$ を固定して $n \to \infty$ とすることによって,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ d, e \end{array}; \frac{d e}{a b c}] & = lim_{n \to \infty}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, q^{- n} \\ d, e, f \end{array}; q] \\ = lim_{n \to \infty} \frac{(e / a, f / a; q)_{n}}{(e, f; q)_{n}} a^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, d / b, d / c, q^{- n} \\ d, a q^{1 - n} / e, a q^{1 - n} / f \end{array}; q] \\ = lim_{n \to \infty} \frac{(e / a, d e / b c; q)_{n}}{(e, d e / a b c; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, d / b, d / c, q^{- n} \\ d, a q^{1 - n} / e, d e / b c \end{array}; q] \\ = \frac{(e / a, d e / b c; q)_{\infty}}{(e, d e / a b c; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, d / b, d / c \\ d, d e / b c \end{array}; \frac{e}{a}] \end{aligned}$
となって示される.

次はThomaeの変換公式の $q$ 類似であり, Newman A. Hallによって1936年に得られた公式である.

Sears-Thomaeの変換公式

$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ d, e \end{array}; \frac{d e}{a b c}] & = \frac{(b, d e / a b, d e / b c; q)_{\infty}}{(d, e, d e / a b c; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} d / b, e / b, d e / a b c \\ d e / a b, d e / b c \end{array}; b] \end{aligned}$

$2$ つ目の Searsの変換公式
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, q^{- n} \\ d, e, a b c q^{1 - n} / d e \end{array}; q] & = \frac{(b, d e / a b, d e / b c; q)_{n}}{(d, e, d e / a b c; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} d / b, e / b, d e / a b c, q^{- n} \\ d e / a b, d e / b c, q^{1 - n} / b \end{array}; q] \end{aligned}$
において $n \to \infty$ とすればよい.