Sears-Thomaeの変換公式
Thomae, Kummerによる${}_3F_2$の変換公式 には$q$類似が存在する. 次はKummerによる変換公式の$q$類似である.
\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(e/a,de/bc;q)_{\infty}}{(e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{a,d/b,d/c}{d,de/bc}{\frac{e}a} \end{align}
$abcq^{1-n}=def$とする.
Searsの変換公式
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,f}q&=\frac{(e/a,f/a;q)_n}{(e,f;q)_n}a^n\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e,aq^{1-n}/f}q
\end{align}
において, $a,b,c,d,e$を固定して$n\to\infty$とすることによって,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\lim_{n\to\infty}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,f}q\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(e/a,f/a;q)_n}{(e,f;q)_n}a^n\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e,aq^{1-n}/f}q\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(e/a,de/bc;q)_n}{(e,de/abc;q)_n}\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e,de/bc}q\\
&=\frac{(e/a,de/bc;q)_{\infty}}{(e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{a,d/b,d/c}{d,de/bc}{\frac{e}a}
\end{align}
となって示される.
次はThomaeの変換公式の$q$類似であり, Newman A. Hallによって1936年に得られた公式である.
\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(b,de/ab,de/bc;q)_{\infty}}{(d,e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{d/b,e/b,de/abc}{de/ab,de/bc}{b} \end{align}
$2$つ目の
Searsの変換公式
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,abcq^{1-n}/de}q&=\frac{(b,de/ab,de/bc;q)_n}{(d,e,de/abc;q)_n}\Q43{d/b,e/b,de/abc,q^{-n}}{de/ab,de/bc,q^{1-n}/b}q
\end{align}
において$n\to\infty$とすればよい.
定理2において$e=abcx/d$とすると,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,abcx/d}{x}&=\frac{(b,ax,cx;q)_{\infty}}{(d,abcx/d,x;q)_{\infty}}\Q32{d/b,acx/d,x}{ax,cx}{b}
\end{align}
となる. ここで, $c=0$とすると
Heineの変換公式
\begin{align}
\Q21{a,b}{d}{x}&=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(d,x;q)_{\infty}}\Q21{d/b,x}{ax}{b}
\end{align}
を得る. つまり, 定理2はHeineの変換公式の一般化になっている. また,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,abcx/d}{x}&=\frac{(b,ax,cx;q)_{\infty}}{(d,abcx/d,x;q)_{\infty}}\Q32{d/b,acx/d,x}{ax,cx}{b}
\end{align}
において$b\to 0$とすると
\begin{align}
\Q21{a,c}{d}{x}&=\frac{(ax,cx;q)_{\infty}}{(d,x;q)_{\infty}}\Q22{acx/d,x}{ax,cx}{d}
\end{align}
という関係式も得られる. この左辺をHeineの変換公式で書き換えて変数を置き換えることによって,
Jacksonの${}_2\phi_2$変換公式
を得ることもできる.
