Searsの変換公式の証明
${}_4F_3$のWhippleの変換公式は$a+b+c+1-n=d+e+f$のとき,
\begin{align}
\F43{a,b,c,-n}{d,e,f}1&=\frac{(e-a,f-a)_n}{(e,f)_n}\F43{a,d-b,d-c,-n}{d,1-n+a-e,1-n+a-f}1
\end{align}
という公式である. 今回はその$q$類似であるSearsの変換公式を示す.
$n$が非負整数, $abcq^{1-n}=def$のとき,
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,f}{q}&=\frac{(e/a,f/a;q)_n}{(e,f;q)_n}a^n\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e,aq^{1-n}/f}{q}
\end{align}
が成り立つ.
Heineの変換公式
における3つ目の式
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(abx/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c}
\end{align}
を用いて, $\frac {ab}c=\frac{f}{de}$のとき,
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(abx/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c}\\
\Q21{d,e}{f}{\frac{fx}{de}}&=\frac{(x;q)_{\infty}}{(fx/de;q)_{\infty}}\Q21{f/d,f/e}{f}{x}
\end{align}
を掛け合わせると,
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}\Q21{d,e}{f}{\frac{fx}{de}}&=\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c}\Q21{f/d,f/e}{f}{x}
\end{align}
を得る. 両辺の$x^n$の係数を比較すると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}\frac{(d,e;q)_{n-k}}{(f,q;q)_{n-k}}\left(\frac {f}{de}\right)^{n-k}&=\sum_{k=0}^n\frac{(c/a,c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{ab}c\right)^k\frac{(f/d,f/e;q)_{n-k}}{(f,q;q)_{n-k}}
\end{align}
これは
\begin{align}
\frac{(d,e;q)_n}{(f,q;q)_n}\left(\frac f{de}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,q^{1-n}/f,q^{-n};q)_k}{(c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/d,q;q)_k}q^k&=\frac{(f/d,f/e;q)_n}{(f,q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(c/a,c/b,q^{1-n}/f,q^{-n};q)_k}{(c,dq^{1-n}/f,eq^{1-n}/f,q;q)_k}q^k
\end{align}
と変形できるので,
\begin{align}
\Q43{a,b,q^{1-n}/f,q^{-n}}{c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e}{q}&=\frac{(f/d,f/e;q)_n}{(d,e;q)_n}\left(\frac{de}f\right)^n\Q43{c/a,c/b,q^{1-n}/f,q^{-n}}{c,dq^{1-n}/f,eq^{1-n}/f}q
\end{align}
が得られる. $f\mapsto q^{1-n}/f,d\mapsto q^{1-n}/d, e\mapsto q^{1-n}/e$とすると,
\begin{align}
\Q43{a,b,f,q^{-n}}{c,d,e}{q}&=\frac{(d/f,e/f)_n}{(q^{1-n}/d,q^{1-n}/e)_n}\left(\frac{fq^{1-n}}{de}\right)^n\Q43{c/a,c/b,f,q^{-n}}{c,fq^{1-n}/d,fq^{1-n}/e}q\\
&=\frac{(d/f,e/f)_n}{(d,e)_n}f^n\Q43{c/a,c/b,f,q^{-n}}{c,fq^{1-n}/d,fq^{1-n}/e}q
\end{align}
であり, 条件は$abfq^{1-n}=cde$となる. よって, 変数を付け替えることによって定理を得る.
Searsの変換公式は$f=abcq^{1-n}/de$を代入して表すと,
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,abcq^{1-n}/de}q&=\frac{(e/a,de/bc;q)_n}{(e,de/abc;q)_n}\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,de/bc,aq^{1-n}/e}{q}
\end{align}
と書き換えることができる. そして, 右辺を入れ替えてもう一度Searsの変換公式を用いることによって, 以下が得られる.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,abcq^{1-n}/de}{q}&=\frac{(b,de/ab,de/bc;q)_n}{(d,e,de/abc;q)_n}\Q43{d/b,e/b,de/abc,q^{-n}}{de/ab,de/bc,q^{1-n}/b}{q}
\end{align}
が成り立つ.
特別な場合として, 以下の$q$-Saalschützの和公式を得る.
非負整数$n$に対して,
\begin{align}
\Q32{a,b,q^{-n}}{c,abq^{1-n}/c}{q}&=\frac{(c/a,c/b;q)_n}{(c,c/ab;q)_n}
\end{align}
が成り立つ.
$abcq^{1-n}=def$として, Searsの変換公式
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,f}{q}&=\frac{(e/a,f/a;q)_n}{(e,f;q)_n}a^n\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e,aq^{1-n}/f}{q}
\end{align}
において$d=c$とすると, $abq^{1-n}=ef$のとき,
\begin{align}
\Q32{a,b,q^{-n}}{e,f}q&=\frac{(e/a,f/a;q)_n}{(e,f;q)_n}a^n\\
&=\frac{(e/a,bq^{1-n}/e;q)_n}{(e,abq^{1-n}/e;q)_n}a^n\\
&=\frac{(e/a,e/b;q)_n}{(e,e/ab;q)_n}
\end{align}
だから, 変数を付け替えることによって示すべき式が得られる.
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