Searsの変換公式の証明

$_{4} F_{3}$ のWhippleの変換公式は $a + b + c + 1 - n = d + e + f$ のとき,
$\begin{aligned} _{4} F_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, - n \\ d, e, f \end{array}; 1] & = \frac{(e - a, f - a)_{n}}{(e, f)_{n}}_{4} F_{3} [\begin{array}{c} a, d - b, d - c, - n \\ d, 1 - n + a - e, 1 - n + a - f \end{array}; 1] \end{aligned}$
という公式である. 今回はその $q$ 類似であるSearsの変換公式を示す.

Searsの変換公式

$n$ が非負整数, $a b c q^{1 - n} = d e f$ のとき,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, q^{- n} \\ d, e, f \end{array}; q] & = \frac{(e / a, f / a; q)_{n}}{(e, f; q)_{n}} a^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, d / b, d / c, q^{- n} \\ d, a q^{1 - n} / e, a q^{1 - n} / f \end{array}; q] \end{aligned}$
が成り立つ.

Heineの変換公式における3つ目の式
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \frac{(a b x / c; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / a, c / b \\ c \end{array}; \frac{a b x}{c}] \end{aligned}$
を用いて, $\frac{a b}{c} = \frac{f}{d e}$ のとき,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \frac{(a b x / c; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / a, c / b \\ c \end{array}; \frac{a b x}{c}] \\ _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} d, e \\ f \end{array}; \frac{f x}{d e}] & = \frac{(x; q)_{\infty}}{(f x / d e; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} f / d, f / e \\ f \end{array}; x] \end{aligned}$
を掛け合わせると,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x]_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} d, e \\ f \end{array}; \frac{f x}{d e}] & =_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / a, c / b \\ c \end{array}; \frac{a b x}{c}]_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} f / d, f / e \\ f \end{array}; x] \end{aligned}$
を得る. 両辺の $x^{n}$ の係数を比較すると,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} \frac{(d, e; q)_{n - k}}{(f, q; q)_{n - k}} {(\frac{f}{d e})}^{n - k} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(c / a, c / b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{a b}{c})}^{k} \frac{(f / d, f / e; q)_{n - k}}{(f, q; q)_{n - k}} \end{aligned}$
これは
$\begin{aligned} \frac{(d, e; q)_{n}}{(f, q; q)_{n}} {(\frac{f}{d e})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b, q^{1 - n} / f, q^{- n}; q)_{k}}{(c, q^{1 - n} / d, q^{1 - n} / d, q; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(f / d, f / e; q)_{n}}{(f, q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(c / a, c / b, q^{1 - n} / f, q^{- n}; q)_{k}}{(c, d q^{1 - n} / f, e q^{1 - n} / f, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
と変形できるので,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, q^{1 - n} / f, q^{- n} \\ c, q^{1 - n} / d, q^{1 - n} / e \end{array}; q] & = \frac{(f / d, f / e; q)_{n}}{(d, e; q)_{n}} {(\frac{d e}{f})}^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} c / a, c / b, q^{1 - n} / f, q^{- n} \\ c, d q^{1 - n} / f, e q^{1 - n} / f \end{array}; q] \end{aligned}$
が得られる. $f \mapsto q^{1 - n} / f, d \mapsto q^{1 - n} / d, e \mapsto q^{1 - n} / e$ とすると,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, f, q^{- n} \\ c, d, e \end{array}; q] & = \frac{(d / f, e / f)_{n}}{(q^{1 - n} / d, q^{1 - n} / e)_{n}} {(\frac{f q^{1 - n}}{d e})}^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} c / a, c / b, f, q^{- n} \\ c, f q^{1 - n} / d, f q^{1 - n} / e \end{array}; q] \\ = \frac{(d / f, e / f)_{n}}{(d, e)_{n}} f^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} c / a, c / b, f, q^{- n} \\ c, f q^{1 - n} / d, f q^{1 - n} / e \end{array}; q] \end{aligned}$
であり, 条件は $a b f q^{1 - n} = c d e$ となる. よって, 変数を付け替えることによって定理を得る.

Searsの変換公式は $f = a b c q^{1 - n} / d e$ を代入して表すと,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, q^{- n} \\ d, e, a b c q^{1 - n} / d e \end{array}; q] & = \frac{(e / a, d e / b c; q)_{n}}{(e, d e / a b c; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, d / b, d / c, q^{- n} \\ d, d e / b c, a q^{1 - n} / e \end{array}; q] \end{aligned}$
と書き換えることができる. そして, 右辺を入れ替えてもう一度Searsの変換公式を用いることによって, 以下が得られる.

非負整数 $n$ に対し,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, q^{- n} \\ d, e, a b c q^{1 - n} / d e \end{array}; q] & = \frac{(b, d e / a b, d e / b c; q)_{n}}{(d, e, d e / a b c; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} d / b, e / b, d e / a b c, q^{- n} \\ d e / a b, d e / b c, q^{1 - n} / b \end{array}; q] \end{aligned}$
が成り立つ.

特別な場合として, 以下の $q$ -Saalschützの和公式を得る.

非負整数 $n$ に対して,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, q^{- n} \\ c, a b q^{1 - n} / c \end{array}; q] & = \frac{(c / a, c / b; q)_{n}}{(c, c / a b; q)_{n}} \end{aligned}$
が成り立つ.

$a b c q^{1 - n} = d e f$ として, Searsの変換公式
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, b, c, q^{- n} \\ d, e, f \end{array}; q] & = \frac{(e / a, f / a; q)_{n}}{(e, f; q)_{n}} a^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, d / b, d / c, q^{- n} \\ d, a q^{1 - n} / e, a q^{1 - n} / f \end{array}; q] \end{aligned}$
において $d = c$ とすると, $a b q^{1 - n} = e f$ のとき,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, q^{- n} \\ e, f \end{array}; q] & = \frac{(e / a, f / a; q)_{n}}{(e, f; q)_{n}} a^{n} \\ = \frac{(e / a, b q^{1 - n} / e; q)_{n}}{(e, a b q^{1 - n} / e; q)_{n}} a^{n} \\ = \frac{(e / a, e / b; q)_{n}}{(e, e / a b; q)_{n}} \end{aligned}$
だから, 変数を付け替えることによって示すべき式が得られる.