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双曲線と楕円に関する命題

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はじめに

こんにちは。双曲線と楕円について、この前思い付いた命題を語るだけです。名前がついていたりしたら教えてください。

命題

ある双曲線に対して
2曲線上の点それぞれ焦点とし、
双曲線の焦点の片方を通る楕円は
双曲線のもう片方の焦点も通る。

双曲線の焦点を$F_1,F_2$
双曲線上の点をそれぞれ$P_1,P_2$とする。
双曲線の定義から
$F_1P_1-F_2P_1=F_2P_2-F_1P_2 \\ F_1P_1+F_1P_2=F_2P_2+F_2P_1 $
よって$P_1,P_2$を焦点とした時
楕円は$F_1,F_2$のどちらかを通るなら両方を通る。
よって命題が成り立つ。

逆のような命題も成り立ちますが、読者の演習問題とします。(言ってみたいだけ)

ある楕円に対して
楕円上の長軸に対称でない2点を焦点とし、
楕円の焦点の片方を通る双曲線は
楕円のもう片方の焦点も通る。

投稿日:202369

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投稿者

AAG
AAG
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抽象代数学(群とか圏とか)が好きな高校3年生。気分屋です。 (元の名前:AGA) Twitterではキャベツとして呟いてます 厳密にテキトーにやってます。 基本検算しません。 間違いがあったら容赦なく指摘してください。

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