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高校数学解説

双曲線と楕円に関する命題

双曲線,幾何学,楕円

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はじめに

こんにちは。双曲線と楕円について、この前思い付いた命題を語るだけです。名前がついていたりしたら教えてください。

命題

ある双曲線に対して
2曲線上の点それぞれ焦点とし、
双曲線の焦点の片方を通る楕円は
双曲線のもう片方の焦点も通る。

双曲線の焦点を $F_{1}, F_{2}$
双曲線上の点をそれぞれ $P_{1}, P_{2}$ とする。
双曲線の定義から
$F_{1} P_{1} - F_{2} P_{1} = F_{2} P_{2} - F_{1} P_{2} F_{1} P_{1} + F_{1} P_{2} = F_{2} P_{2} + F_{2} P_{1}$
よって $P_{1}, P_{2}$ を焦点とした時
楕円は $F_{1}, F_{2}$ のどちらかを通るなら両方を通る。
よって命題が成り立つ。

逆のような命題も成り立ちますが、読者の演習問題とします。（言ってみたいだけ）

ある楕円に対して
楕円上の長軸に対称でない2点を焦点とし、
楕円の焦点の片方を通る双曲線は
楕円のもう片方の焦点も通る。

投稿日：2023年6月9日

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抽象代数学とか好きなB1。気分屋です。 (元の名前:AGA) 厳密にテキトーにやってます。基本検算しません。間違いがあったら容赦なく指摘してください。

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