本稿では, かんたんな空間のCW複体のホモロジーを計算します.
CW複体のホモロジーは, 特異ホモロジーなどに比べるとたいていの場合計算しやすいので, さまざまな場面で役に立つと思います.
まず, に対して,
- を次元閉球体. i.e.
- をの境界. i.e.
- をの内部. i.e.
と表します. のときは, は閉区間, は2点です. に対しては,
と定義します. が1点であることに注意して下さい.
CW複体
単体複体や特異複体のホモロジーでは, 図形を三角形, 四面体, etcに分割しましたが, CW複体では各次元の球体に分割します. そのために, に対して, スケルトンと呼ばれる位相空間を以下のように定義します.
まず, とします. が得られたとして, を次のように構成します.
と同相な位相空間の族と, 各に対しての境界からへの連続写像を与えます. 組をセルと呼びます. 混乱のおそれが無ければ, 単にをセルと呼びます.
各の境界をに沿って貼り合わせることで, を構成します. すなわち, であり, とを同一視します.
とします. の部分集合が開集合であるのは, すべてのに対してが開集合であるときと定義します. にこの位相を入れたものを, CW複体といいます.
各セルに対して, と書きます. セルに対して, 特性写像が, 合成で定まります.
以上を具体的にいえば, 以下のようになります.
は点の離散空間.
は, にふくまれる点を開区間と同相な空間でつないだ空間.
は, 閉円板と同相な曲面の和で, 各セルの境界がに含まれるセルおよびセルの有限和になっているもの.
...
は, と同相な空間の和で, 各セルの境界がに含まれるセルの有限和になっているもの.
逆に, 位相空間が与えられたとき, を上記のようなセル (, )の和
に分割できれば, をCW複体とみなすことができます. ただし, をCW複体に分割する方法は, もしあったとしても, 一通りとは限りません.
次元球面
とする. はと同相なので, , として, は
とCW複体に分割できる.
実射影空間
. に対して, . したがって, , , として, は
とCW複体に分割できる.
2次元トーラス
2次元トーラスは, 長方形の辺と辺, 辺と辺を, それぞれこの向きに同一視した位相空間である. したがって,
として, CW複体に分割できる.
チェイン複体とホモロジー
CW複体が与えられたとき, のチェイン複体
を以下のように定義します.
まず, はのセルで生成される自由アーベル群とします.
セル, セルに対して, 連続写像を以下の写像の合成で定義します.
最初の写像は, セルの境界ととの自然な同型です. 2つめの写像は, セルの境界からスケルトンへの写像です. 3つめの写像は, に以外のセルの点をすべて1点に同一視する同値関係を入れたときの商写像です. 最後の写像は, においてを1点に縮めてできる同型です.
セルに対して, 境界準同型を
で定義します. ここで, はの写像度です. これは, 各セルに向きをつけることで, 「境界を一周するあいだにを何回通ったか(逆走する場合は回と考える)」で計算することができます.
任意のに対して, をみたすことが示せます. を全体に線型に拡張することで, チェイン複体のホモロジー群が
で定義されます. これは, 特異ホモロジー群と同型になります.
ホモロジー群の計算例
次元球面
すでに述べたように, は以下のようにCW複体に分割できます.
とし, , として,
よって,
境界準同型 はすべて自明なので,
2次元トーラス
は長方形の辺と, 辺とをこの向きに同一視して得られます. したがって, は
と分割できます. よって,
境界準同型は, , は自明で, もの境界は, , , , の和なので,
よって,
クラインの壺
クラインの壺は, 長方形の辺とDC, 辺とをこの向きに同一視して得られます. したがって,
と分割できます. よって,
境界準同型は, , は自明で, の境界は, , , , の和なので,
よって,
実射影平面
実射影平面は, 長方形の辺と, 辺とをこの向きに同一視して得られます. したがって,
と分割できます. よって,
境界準同型は, は自明. は
の境界は, , , , の和なので,
よって,