CW複体のホモロジー群の計算例 (球面, トーラス, 実射影平面, クラインの壺)

本稿では, かんたんな空間のCW複体のホモロジーを計算します.

CW複体のホモロジーは, 特異ホモロジーなどに比べるとたいていの場合計算しやすいので, さまざまな場面で役に立つと思います.

まず, $n \geq 1$に対して,

• $D^n$を$n$次元閉球体. i.e. $D^n := \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\| \leq 1 \}$
• $S^{n-1}$を$D^n$の境界. i.e. $S^{n-1} := \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\| = 1 \}$
• $B^n$を$D^n$の内部. i.e. $B^n := \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\| \lt 1 \}$

と表します. $n = 1$のときは, $D^1$は閉区間$[-1, 1]$, $S^0$は2点$\{-1, 1\}$です. $n = 0$に対しては,

• $D^0$, $B^0$は1点.
• $S^{-1} = \varnothing$

と定義します. $B^0$が1点であることに注意して下さい.

CW複体

単体複体や特異複体のホモロジーでは, 図形を三角形, 四面体, etcに分割しましたが, CW複体では各次元の球体に分割します. そのために, $n \geq -1$に対して, $n$スケルトンと呼ばれる位相空間$X_n$を以下のように定義します.

まず, $X_{-1} = \varnothing$とします. $X_{n-1}$が得られたとして, $X_n$を次のように構成します.

$B^n$と同相な位相空間$e^n_i$の族$(e^n_{i})_{i \in I}$と, 各$i$に対して$e^n_i$の境界$\partial e^n_i \simeq S^{n-1}$から$X_{n-1}$への連続写像$f^n_i: \partial e^n_i \rightarrow X_{n-1}$を与えます. 組$(e^n_i, f^n_i)$を$n$セルと呼びます. 混乱のおそれが無ければ, 単に$e^n_i$を$n$セルと呼びます.

各$e^n_i$の境界を$f^n_i$に沿って貼り合わせることで, $X_n$を構成します. すなわち, $X_n := X_{n-1} \sqcup_i e^n_i$であり, $y \in \partial e^n_i$と$f^n_i(y) \in X_{n-1}$を同一視します.

$\displaystyle X := \bigcup_n X_n$とします. $X$の部分集合$U$が開集合であるのは, すべての$n \geq 1$に対して$U \cap X_n$が開集合であるときと定義します. $X$にこの位相を入れたものを, CW複体といいます.

各$n$セル$e^n_i$に対して, $D^n_i = e^n_i \sqcup \partial e^n_i$と書きます. $n$セル$e^n_i$に対して, 特性写像$\Phi^n_i: D^n_i \rightarrow X$が, 合成$D^n_i = e^n_i \sqcup \partial e^n_i \xrightarrow{(\mathrm{id}, f^n_i)} e^n_i \sqcup X_{i-1} \rightarrow X^n \rightarrow X$で定まります.

以上を具体的にいえば, 以下のようになります.

逆に, 位相空間$X$が与えられたとき, $X$を上記のようなセル$e^n_i \subset X$ ($n \geq 0$, $i \in I$)の和

\begin{eqnarray} X &=& X_n \\ &=& X_{n-1} \sqcup (\bigsqcup_{i_n} e^n_{i_n}) \\ &=& X_{n-2} \sqcup (\bigsqcup_{i_{n-1}} e^{n-1}_{i_{n-1}}) \sqcup (\bigsqcup_{i_n} e^n_{i_n}) \\ &\cdots& \\ &=& (\bigsqcup_{i_0}e^0_{i_0}) \sqcup (\bigsqcup_{i_1}e^1_{i_1}) \sqcup \cdots (\bigsqcup_{i_n}e^n_{i_n}) \end{eqnarray}

に分割できれば, $X$をCW複体とみなすことができます. ただし, $X$をCW複体に分割する方法は, もしあったとしても, 一通りとは限りません.

チェイン複体とホモロジー

CW複体$\displaystyle X = \bigcup_n X_n$が与えられたとき, $X$のチェイン複体

$$ \cdots \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_n(X) \xrightarrow{\partial_n} \cdots \xrightarrow{\partial_2} C_1(X) \xrightarrow{\partial_1} C_0(X) \xrightarrow{\partial_0} 0 $$

を以下のように定義します.

まず, $C_n(X)$は$X$の$n$セル$(e^n_i)_{i \in I}$で生成される自由アーベル群とします.

$n$セル$(e^n_i, f^n_i)$, $n-1$セル$(e^{n-1}_{j}, f^n_j)$に対して, 連続写像$d^{n}_{i,j}: S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}$を以下の写像の合成で定義します.

• $\Phi^n_i|_{\partial D^{n-1}_i}: S^{n-1} \simeq \partial e^n_i$
• $f^n_i: \partial e^n_i \rightarrow X_{n-1}$
• $q: X_{n-1} \rightarrow X_{n-1}/(X_{n-1}\setminus e^{n-1}_j)$
• $X_{n-1}/(X_{n-1}\setminus e^{n-1}_j) \simeq S^{n-1}$

最初の写像は, $n$セルの境界$\partial e^n_i$と$S^{n-1}$との自然な同型です. 2つめの写像は, $n$セルの境界から$n-1$スケルトン$X_{n-1}$への写像です. 3つめの写像は, $X_{n-1}$に$e^{n-1}_j$以外のセルの点をすべて1点に同一視する同値関係を入れたときの商写像です. 最後の写像は, $D^{n-1}_j = e^{n-1}_j \sqcup \partial e^{n-1}_j$において$\partial e^{n-1}_{j}$を1点に縮めてできる同型です.

$n$セル$e^n_i$に対して, 境界準同型$\partial_n$を

$$ \partial_n(e^n_i) = \sum_{j} \mathrm{deg}(d^n_{i,j}) \ e^{n-1}_j $$

で定義します. ここで, $\mathrm{deg}$は$d^n_{i,j}: S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}$の写像度です. これは, 各セル$e^n_i$に向きをつけることで, 「境界$\partial e^n_i$を一周するあいだに$e^{n-1}_j$を何回通ったか（逆走する場合は$-1$回と考える）」で計算することができます.

任意の$n \geq 1$に対して, $\partial_{n-1} \circ \partial_n$をみたすことが示せます. $\partial_n$を$C(X_n, X_{n-1})$全体に線型に拡張することで, チェイン複体$C_{\bullet}(X)$のホモロジー群が

$$ H^i(C_{\bullet}) = \mathrm{Ker} \ \partial_i/\mathrm{Im} \ \partial_{i+1} \ (i=0, 1, \cdots) $$

で定義されます. これは, 特異ホモロジー群$H^i(X, \mathbb{Z})$と同型になります.

ホモロジー群の計算例

$n$次元球面$S^n$

すでに述べたように, $S^n$は以下のようにCW複体に分割できます.

$p \in S^n$とし, $e^0 = p$, $e^n = S^n \setminus p$として,

\begin{eqnarray} X_0 &=& X_1 = \cdots = X_{n-1} = e^0, \\ X_n &=& e^0 \sqcup e^n. \end{eqnarray}

よって,

\begin{eqnarray} C_0 &=& \mathbb{Z} \ e^0 \\ C_i &=& 0 \ (i=1, \cdots, n-1) \\ C_n &=& \mathbb{Z} \ e^n. \end{eqnarray}

境界準同型$\partial_i$ $(i=0, 1, \cdots, n)$はすべて自明なので,

$\begin{eqnarray} H^i(S^n, \mathbb{Z}) = \left\{ \begin{array}{l} \mathbb{Z} \ (i = 0, n) \\ 0 \ (i \neq 0, n). \end{array} \right. \end{eqnarray}$

2次元トーラス$T^2$

$T^2$は長方形$ABCD$の辺$AB$と$DC$, 辺$BC$と$AD$をこの向きに同一視して得られます. したがって, $T^2$は

\begin{eqnarray} e^0 &=& A = B = C = D \\ e^1_1 &=& \overline{AB} = \overline{DC}, \ e^1_2 = \overline{BC} = \overline{AD} \\ e^2 &=& \square ABCD \end{eqnarray}

と分割できます. よって,

\begin{eqnarray} C_0 &=& \mathbb{Z}e^0 \\ C_1 &=& \mathbb{Z}e^1_1 \oplus \mathbb{Z}e^1_2 \\ C_2 &=& \mathbb{Z}e^2. \end{eqnarray}

境界準同型は, $\partial_0$, $\partial_1$は自明で, $\partial_2$も$e^2$の境界は, $\overline{AB} = e^1_1$, $\overline{BC} = e^1_2$, $\overline{CD} = \overline{BA} = -e^1_1$, $\overline{DA} = \overline{CB} = -e^1_2$の和なので,

$$ \partial_2(e^2) = e^1 + e^2 - e^1 - e^2 = 0. $$

よって,

$\begin{eqnarray} H^0(T^2, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_0/\mathrm{Im} \ \partial_1 = C_0/0 \simeq \mathbb{Z} \\ H^1(T^2, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_1/\mathrm{Im} \ \partial_2 = C_1/0 \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \\ H^2(T^2, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_2 = C_2 \simeq \mathbb{Z}. \end{eqnarray}$

クラインの壺$K$

クラインの壺$K$は, 長方形$ABCD$の辺$AB$とDC, 辺$BC$と$DA$をこの向きに同一視して得られます. したがって,

\begin{eqnarray} e^0 &=& A = B = C = D \\ e^1_1 &=& \overline{AB} = \overline{DC}, \ e^1_2 = \overline{BC} = \overline{DA} \\ e^2 &=& \square ABCD \end{eqnarray}

と分割できます. よって,

\begin{eqnarray} C_0 &=& \mathbb{Z}e^0 \\ C_1 &=& \mathbb{Z}e^1_1 \oplus \mathbb{Z}e^1_2 \\ C_2 &=& \mathbb{Z}e^2. \end{eqnarray}

境界準同型は, $\partial_0$, $\partial_1$は自明で, $e^2$の境界は, $\overline{AB} = e^1_1$, $\overline{BC} = e^1_2$, $\overline{CD} = \overline{BA} = -e^1_1$, $\overline{DA} = \overline{BC} = e^1_2$の和なので,

$$ \partial_2(e^2) = e^1_1 + e^1_2 - e^1_1 + e^2_2 = 2e^1_2. $$

よって,

$\begin{eqnarray} H^0(K, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_0/\mathrm{Im} \ \partial_1 = C_0/0 \simeq \mathbb{Z} \\ H^1(K, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_1/\mathrm{Im} \ \partial_2 = C_1/2\mathbb{Z}e^1_2 \simeq \mathbb{Z} \oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \\ H^2(K, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_2 = C_1 \simeq \mathbb{Z}. \end{eqnarray}$

実射影平面$\mathbb{R}P^2$

実射影平面$\mathbb{R}P^2$は, 長方形$ABCD$の辺$AB$と$CD$, 辺$BC$と$DA$をこの向きに同一視して得られます. したがって,

\begin{eqnarray} e^0_1 &=& A = C, \ e^0_2 = B = D \\ e^1_1 &=& \overline{AB} = \overline{CD}, \ e^1_2 = \overline{BC} = \overline{DA} \\ e^2 &=& \square ABCD \end{eqnarray}

と分割できます. よって,

\begin{eqnarray} C_0 &=& \mathbb{Z}e^0_1 \oplus \mathbb{Z}e^0_2\\ C_1 &=& \mathbb{Z}e^1_1 \oplus \mathbb{Z}e^1_2 \\ C_2 &=& \mathbb{Z}e^2. \end{eqnarray}

境界準同型は, $\partial_0$は自明. $\partial_1$は

\begin{eqnarray} \partial_1(e^1_1) &=& e^0_2 - e^0_1 \\ \partial_1(e^1_2) &=& e^0_1 - e^0_2. \\ \end{eqnarray}

$e^2$の境界は, $\overline{AB} = e^1_1$, $\overline{BC} = e^1_2$, $\overline{CD} = \overline{AB} = e^1_1$, $\overline{DA} = \overline{BC} = e^1_2$の和なので,

\begin{eqnarray} \partial_2(e^2) &=& e^1_1 + e^1_2 + e^1_1 + e^1_2 = 2(e^1_1 + e^1_2). \end{eqnarray}

よって,

$\begin{eqnarray} H^0(\mathbb{R}P^2, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_0/\mathrm{Im} \ \partial_1 = C_0/\mathbb{Z}(e^0_2 - e^0_1) \simeq \mathbb{Z} \\ H^1(\mathbb{R}P^2, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_1/\mathrm{Im} \ \partial_2 = \mathbb{Z}(e^1_1 + e^1_2)/2\mathbb{Z}(e^1_1 + e^1_2) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ H^2(\mathbb{R}P^2, \mathbb{Z}) &=& \mathrm{Ker} \ \partial_2 = 0. \end{eqnarray}$